基于S型函數的α穩態分布脈沖噪聲有源控制

李 沛, 宋曉娜, 侯曉霞, 張景榮

(北京信息科技大學 機電實習中心, 北京 100192)

0 引 言

有源噪聲控制(Active Noise Control,ANC)是一種主動噪聲控制技術，其基本理念是基于聲波的相抗相消原理，系統通過控制輸出主動產生一個聲場來抵消現有聲場，進而達到抑制或消除噪聲的目的。噪聲控制基本原理波形如圖1所示。用輸入傳聲器采集輸入噪聲信息，即時處理后得到一個反相信息，再用揚聲器(次級聲源)“實時”播放反相信息。反相信號(消噪波)與噪聲波疊加相抗相消，從而使剩余噪聲波形幅值大大減小，噪聲得以控制[1-2]。

圖2為管道ANC基本框圖。從輸入點輸入參考信號x(n)(取自輸入傳聲器)和誤差信號e(n)(取自誤差傳聲器)，2個信號通過ANC控制器，經過算法處理，輸出控制 信號y(n)驅動消聲揚聲器工作，產生和主噪聲幅值相等、相位相反的次級聲信號，兩者相互抵消，有效衰減和抑制了噪聲。

圖1 噪聲控制基本原理

圖2 管道ANC基本框圖

1 經典FXLMS算法[3-5]

FXLMS算法是ANC中最具代表性的算法，基于FXLMS算法的ANC如圖3所示。FXLMS算法是自適應前饋算法，因其能有效地消除噪聲，算法簡單易行、容易實現、穩定有效，魯棒性強等特點被廣泛應用。FXLMS算法的聯機噪聲控制程序如下：

圖3 基于FXLMS算法有源噪聲控制

(1) 從輸入點輸入參考信號x(n)、和誤差信號e(n)。

(2) 計算抗噪聲信號y(n)，

其中：Wi(n)是自適應濾波器W(z)在n時刻的系數；N是濾波器W(z)的順序。

(3) 輸出抗噪信號y(n)到輸出點用以驅動消聲揚聲器工作。

(4) 計算濾波x轉換量x′,

(5) 使用FXLMS算法計算自適應濾波器的更新系數方程,

wi(n+1)=wi(n)-μe(n)x′(n-i)

i=0,1,…,N-1

其中，μ為步長。

(6) 為下一次迭代重復該過程，記錄該算法需要的存儲單元總數是2(N+M)乘以參數。

2 脈沖噪聲有源控制

2.1 脈沖噪聲對人體健康的影響

自然界中的噪聲主要有兩大類：① 噪聲強度波動范圍在5 dB以內的連續性噪聲，是穩態噪聲，如電機產生的連續穩定的噪聲;② 非穩態噪聲， 如瞬時、周期起伏、脈沖、無規則噪聲。

醫學研究表明：非穩態噪聲聽力損傷的檢出率明顯高于穩態組，脈沖噪聲危害程度更為明顯，如鍛錘、沖壓、射擊等產生的脈沖噪聲。此種噪聲具有突變、高能和覆蓋頻率范圍廣等特點。對作業工人聽覺系統的影響在低工齡段已經表現出來，脈沖噪聲被公認為對聽力損傷出現早、危害重。沖壓工人在強烈脈沖噪聲環境中工作，常有心悸、頭昏、惡心的感覺，心電圖監測可看出ST段異常、T波改變、R-Q間期增長等癥狀。一次或多次接觸高強度脈沖噪聲可導致不可逆的嚴重聽力損傷[6-7]。由此可見，對脈沖噪聲進行控制具有很大的意義。目前，在ANC方面已取得了很大進步，但大部分是關于高斯分布穩態噪聲控制，有關非高斯分布脈沖噪聲控制的研究還處于探索階段。

2.2 α穩定分布脈沖噪聲

研究脈沖噪聲，通常采用對稱α( 0<α<2) 穩定分布 ( SαS)來建模。如果隨機變量x存在參數,使其特征函數為：

式中:

則隨機變量x服從穩定分布。α穩定分布的特征指數(0 <α< 2)屬于非高斯分布，有無界二階矩。脈沖噪聲的幾大特點決定了對它的有源控制還處于摸索研究階段，脈沖噪聲不符合高斯分布特性；具有尖峰和厚尾統計特征的概率密度函數；只有階數小于α階的分數低階矩是有界的；不存在有界二階矩；脈沖噪聲還具有重復性。圖4為不同α值的概率密度分布曲線。從圖中可以看出，α值從2～0.5逐漸變小，分布拖尾逐漸變厚，脈沖特性越發顯著;相反，隨著α值變大，所對應分布的拖尾變薄，脈沖特性減弱。

圖4 不同α條件下的概率密度函數

脈沖噪聲往往具有無窮二階矩,因此基于FXLMS算法的均方-誤差準則,對于脈沖噪聲而言，不再是一種適合的優化準則。

2.3 脈沖噪聲ANC算法

針對脈沖噪聲的特點，國內外關于ANC算法主要有以下幾種。

(1) FXLMP算法、FXLMAD算法。此類算法主要針對脈沖噪聲不存在有界二階矩，所以采用p階矩(分數低階矩)代替二階矩。FXLMP算法需要獲得α先驗信息、計算量大，如先驗信息不足，系統可能發散導致不穩定。FXLMAD算法是FXLMP算法特例(p=1)，系統穩定性能好，但收斂速度緩慢。

(2) 加窗算法、改進歸一化FXLMS算法。此類算法主要針對脈沖噪聲的概率密度函數具有尖峰和厚尾的統計特征，用于限制參考樣本幅值。加窗算法的算法簡單、穩定性和收斂性好，但需離線估計閥值，閥值的合適估算非常關鍵，以防止算法停止更新。改進歸一化FXLMS算法算法簡單，不需設定閥值和α先驗信息，非常實用。但該算法沒有經過嚴密證明，只能算是一種直覺的改進。

(3) 迭代學習控制算法。主要針對脈沖噪聲具有重復性的特點。此種算法值得期待，但由于實際環境的時變性，系統的魯棒性需要關注討論。

(4) 非線性變換算法[8-9]。FxatanLMS 算法、FxlogLMS算法。基于α穩定分布信號建模的脈沖噪聲沒有有界的二階矩，即方差不存在，那么以最小均方誤差(二階矩)為準則的經典ANC算法(最小均方算法FXLMS)將不再是適合的優化準則。我們就考慮使用非線性預處理方法，使變換后的過程具有二階統計量，然后利用通常的LMS等方法進行處理，減少基于最小p范數的方法所帶來的計算量，又能使算法收斂性得以保證。

（2） FZ/T 82006-2018比 FZ/T 73044-2012在內在質量方面多要求考核：濕摩擦色牢度、耐光色牢度和洗后外觀。對于一等品，耐汗漬色牢度FZ/T 82006-2018要求更加嚴格 （高半級）。

非線性變換的目的在于保證二階矩的存在。實際上，許多非線性變換函數都可以用來抑制α穩定分布尖峰脈沖特性的影響，如對數函數、Sigmoid函數，反正切函數等等。由此產生了利用對數函數的FxlogLMS算法，利用反正切函數的FxatanLMS 算法等等。實驗表明，非線性變換后，任意隨機過程就具有了有界二階矩。這樣，就可以在自適應過程中采用基于二階統計量的算法[10]。實驗證明FxatanLMS 算法不需設定閥值，穩定性較好，但收斂速率存在問題。FxlogLMS算法存在一段死區，計算量大，限制了它的廣泛應用。

2.4 FXSIGMOIDLMS 算法的推導

Sigmoid函數是一個非線性連續函數，其形狀如“S”，下面我們提出一種新的基于Sigmoid函數非線性S型轉換FXSIGMOIDLMS算法，其代價函數為：

S型函數是單調、奇對稱有界函數，g(x)的極限為1，g(x)的方差表示如下：

var[g(x)]=E[(g(x)-E(g(x))2]<1

由此可見，S型轉換誤差信號方差是有界的，代價函數不依賴于α，因此，不需要先驗知識或選擇參數α，也無需通過離線統計估測閥值。和FXLMS算法相似，能得出代價函數J(n)相對于濾波器系數矢量梯度為

δ(e(n))x′(n)

其中：

因此，基于FXSIGMOIDLMS算法相應濾波器系數更新等式為

w(n+1)=w(n)-μδ(e(n))x′(n)

2.5 FXSIGMOIDLMS 算法收斂性

脈沖噪聲因具有高尖峰特性而幅值過大，Sigmoid 型函數具有飽和的非線性特性，采用基于Sigmoid函數的非線性變換算法對脈沖噪聲信號進行預處理，嵌位遠離中央位置的高尖峰幅值樣本點，約束了脈沖噪聲信號幅值，解決了系統穩定性問題。ANR計算機仿真曲線如圖5所示。

圖5 ANR 曲線圖

從圖5可以看出，本文提出的算法收到了令人滿意的收斂速度。不需要事先估測閥值，且算法可進行連續更新，有較好的快速性。可有效抑制脈沖噪聲，保證較快的收斂性能[11-12]。

2.6 FXSIGMOIDLMS 算法與FXlogLMS算法比較

α穩定分布具有無界的二階矩卻有有界的對數階矩。依據此特性，FXlogLMS代價函數表示為

J(n)=E[log2|e(n)|)]≈log2(|e(n)|)

基于FXlogLMS算法相應濾波器系數更新等式為

W(n+1)=W(n)+μsign(e(n))×

(log(|e(n)|))/|e(n)|[s∧(n)*x(n)]=

W(n)+β(e(n))e(n)x′(n)

可以看出，FXlogLMS算法對于處理高尖峰脈沖噪聲信號比較有效，實驗證明算法穩定性良好，不存在估測閥值和事先設定α值的問題，方便應用。但此算法結構比較復雜，計算量較大，當e(n)的絕對值≤1時，e(n)絕對值的對數與e(n)的比值趨近于無窮大。為了避免這種情況發生，通常會處理e(n)的絕對值等于1，使得此比值等于0，這樣的特殊處理后，就會損失原有噪聲樣本部分信息，影響最終噪聲控制效果。另一方面,FXlogLMS算法存在一個死區(|e(n)|≤1時)，對比而言，FXSIGMOIDLMS 算法以一個連續模式更新濾波器系數，因此，相比FXlogLMS算法，FXSIGMOIDLMS算法具有更好的消噪性能。

3 結 語

本文在Matlab編程環境下，采用FXSIGMOIDLMS 算法進行仿真，并對結果進行分析，驗證算法的有效性。采用不同的算法，根據在Matlab編程環境下仿真結果，對相關算法進行了比較。

從仿真結果可以看出，該算法具有良好的收斂性和穩定性，實際上，FXSIGMOIDLMS 算法從本質上來說是一種等變量步長的FXLMS算法，對于脈沖噪聲具有更好的魯棒性，避免了參數選擇和估計閥值的麻煩，更適用于實際應用。下一步預想是根據Sigmoid函數表達式，進一步實驗統計分析m值與α值的最佳匹配關系[13-15]。

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