讓枯燥無味的數學變得“有趣、有味、有惑”
——Matlab中的音樂合成

易昆南， 李 慧， 趙澍源

(中南大學 數學與統計學院，湖南 長沙 410075)

0 引 言

如何在實驗中提高學生綜合素質與創新能力[1]？興趣是最好的老師。學生沒有學習興趣，就不可能有學習積極性，當然更談不上進一步提高學生的數學素質。我們在Matlab實驗教學中，通過“音樂與數學有關嗎？”問題的精心設計，把一個基礎性、驗證性實驗轉變成設計性、綜合性實驗，讓學生真正感悟到數學無處不在，數學大有用武之地。數學建模大有作為。

1 興趣入手做驗證性實驗

從人才能力結構的組成來看，基礎性、驗證性實驗側重于對理論知識的理解和記憶；設計性、綜合性實驗則要求學生在扎實的理論基礎上拓寬知識面，培養較強的實驗動手能力和分析、解決問題的能力。所以，從本質上說，實驗本身就是一種創新活動。對于基礎性、驗證性實驗強調學生自己動手。為此，介紹了聲音的構成的三要素[2]，即聲音頻率決定音調；聲音振幅決定音量；聲音諧波決定音色。 音樂是一系列振幅和頻率不一的正弦波疊加形成的！為驗證這一說法，從興趣入手讓學生做如下驗證性實驗。

步驟1：下載mp3格式的貝多芬《月光曲》[3]。

步驟2：下載音頻轉換器，將mp3格式的《月光曲》轉換為wav格式 。

步驟3：wavread調入wav格式的《月光曲》，wavplay語句在Matlab中播放。

步驟4：對wavread調入的數據作圖。

結果是一邊可以聽到一段美妙的《月光曲》音樂，一邊可以觀察到音樂信號是由一系列振幅和頻率不一的正弦波疊加且帶有不同包絡[4]修飾形成的。極大地提高了學生想進一步探索的實驗的積極性。

2 實驗中創新素質的培養

1,21/6,21/3,25/12,27/12,23/4,211/12,2

學生以此作為頻率，確定音高，就可以組成樂音的各級音階。

進一步，每個指定音調的唱名都對應固定的基波信號頻率[6]。所謂唱名是指平日讀樂譜唱出的1(do) 、2(re)、3(mi) ……, 每個唱名并未固定基波頻率。當指定樂曲的音調時才知道此時唱名對應的頻率值。如C調“1(do)”的基波頻率為261.63 Hz, F調“1(do)”的基波頻率為174.61Hz。 那么，F調的故各音的頻率又是多少？學生思考后也給予回答：

1(do)，2(re)，3(mi)，4(fa)，5(sol)，

對應的頻率為：

174.610 0 195.993 1 219.994 8 233.076 4

261.619 4 293.657 8 329.619

3 教師指導是關鍵

由于聲音諧波[7]決定音色，在音樂領域中稱諧波為“泛音”[8]，由諧波產生的作用稱為音色變化。當指定音調之后，僅指定了樂音信號的基波頻率，諧波情況并未說明。各種樂器，如鋼琴或單簧管，都可以發出某一音調下的唱名，而人的聽覺會明顯感覺兩者不同，這是由于諧波成分有所區別，頻譜[9]結構各異。

由于在一定條件下，任何周期信號都可以展開為三角型傅里葉級數[10]，作為音樂信號也不例外，即周期信號f(t)可表示為：

φn)

圖1 傅里葉級數逼近的方波

f(t)與An、φn有一一對應的關系，依據An、φn作出的圖稱為頻譜圖[11]。要完成各種樂器發出聲音的音色的模擬，只需錄制各種樂器的聲音信號，通過傅里葉級數變換，獲得對應的頻譜圖，就可以模擬還原該樂器奏出的聲音。

介紹了音樂合成的原理，提供了如何使用Matlab中的傅里葉級數變換的工具[12]，在教師的指導下，以學生為主體，學生根據研究課題規定的任務，自己主動去探索、去發現各種樂器的傅里葉級數變換的頻譜圖，自己用曲線擬合的方法去獲得各種樂器的包絡。教師引導學生按下述步驟進行：①實驗教學中學生要主動搜集并分析有關的信息及資料；②實驗教學中學生要把當前學習內容與已有的知識相聯系，并對這種聯系加以認真思考；③實驗教學中學生需要充分地與教師和學習伙伴進行交流、討論，主動接受教師的指導及伙伴的協作完成一首樂曲的音樂合成；④對各種方式得到的結果(樂曲)進行優化(樂音的修飾)并進行驗證(對照正式演奏音樂)；⑤最后提交實驗報告對自己所做的綜合性、設計性實驗進行總結。下面是取自學生自己模擬的鋼琴音的實驗。

步驟1：將鋼琴do、re、mi、fa四個音用wavread語句讀出并直接畫出圖像(見圖2)。

圖2 頻譜圖

步驟2：用曲線擬合法獲得鋼琴發出聲音的包絡。

步驟3：使用Matlab中提供的傅里葉級數變換的工具作出鋼琴發出音do的頻譜圖(見圖3)。

圖3 頻譜圖

步驟4：由傅里葉級數變換頻譜圖獲得鋼琴發音的諧波(正弦波的疊加)，頻譜圖獲得的數據見表1。

表1 頻譜數據

步驟5：用wavplay語句在Matlab中播放。最后作出由傅里葉級數合成聲音的數字信號圖像(見圖4)。

圖4 頻譜圖

有的學生在完成的小提琴、中提琴、大提琴各種音的模擬實驗后，以音樂合成[13]了提琴四重奏“情深意長”[14]，許多的學生還用音樂合成了中外名曲。

事實上，培養學生創新能力，對承擔實驗教學的教師提出了很高的要求。教師作用主要體現在：①組織整個實驗教學，從教學內容、教學方法、教學結構等方面作出科學的安排；②激發學生的學習興趣，幫助學生形成強烈的學習動機；③對學生的學習進行指導，提供掌握整個實驗教學的知識架構與學習線索，幫助學生建構所學知識；④對實驗教學中的重點、難點進行輔導，幫助學生克服學習難點；⑤創設問題情境，激發學生積極思維，加深學生對所學內容的理解，積極促進知識遷移；⑥培養學生積極的態度、情感，促進個性優良品質的發展；⑦強化教學的創造性，歸納演繹并重，鼓勵學生進行求異思維、發散思維，重點培養學生的創新思維能力；⑧在促進學生“學會知識技能”的基礎上，著力培養學生“學會學習”。教會學生學習應是實驗教學高層次的任務。

5 結 語

“音樂與數學有關嗎？”這一講，在學生中起了轟動性效應，每次課聽講人數達200人以上，在2013年8月西安舉辦的全國數學建模研討和經驗交流會上發言[15]，獲得了與會者一致的好評。這對在綜合性、設計性實驗中培養學生的創新能力，全面提高大學生的綜合素質，推動和深化大學數學教學改革、推動數學建模的活動的開展，無疑是十分有益的。

[1] 易昆南.在綜合性、設計性實驗中培養學生的創新能力，實驗技術與管理[J].2007(8):8-9,14.

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[14] 丁芷諾.弦樂四重奏《情深誼長》,http://www.tudou.com/programs/view/xsnwq5ZkLTo/DING Zhi-nuo. String quartet “Deep emotion”, http://www.tudou.com/programs/view/xsnwq5ZkLTo/

[15] 易昆南.中南大學易昆南音樂合成，http://202.117.3.94/sxtjxy/jxtz/article.jsp?articleId=11421，二分會場報告止園飯店長安廳.

YI Kun-nan. Central South University YI Kun-nan’s beyonding music synthesis, http://202.117.3.94/sxtjxy/jxtz/article.jsp?articleId=11421,Half the meeting report check Changan hall garden hotel.

要全面落實本科專業類教學質量國家標準對實踐教學的基本要求，加強實踐教學管理，提高實驗、實習、實踐和畢業設計(論文)質量。支持高等職業學校學生參加企業技改、工藝創新等實踐活動。組織編寫一批優秀實驗教材。思想政治理論課所有課程都要加強實踐環節。

——摘自《教思政[2012]1號文件》