一種基于二次型約束的最優對角加載量的計算方法*

鄭玉偉，張春良，岳 夏，劉 凱，朱厚耀

（1.南華大學機械工程學院，湖南衡陽 421000；2.廣州大學機械與電氣工程學院，廣東廣州 510006）

一種基于二次型約束的最優對角加載量的計算方法*

鄭玉偉1，張春良2，岳 夏2，劉 凱1，朱厚耀2

（1.南華大學機械工程學院，湖南衡陽 421000；2.廣州大學機械與電氣工程學院，廣東廣州 510006）

對角線加載技術可以使自適應波束形成器在失配情況下仍然能保持良好的性能，但是加載量的確定卻沒有一個嚴格的標準。采用一個二次型約束來討論對角加載問題。將加載水平同權值模的約束條件聯系起來，通過迭代的方法求出最優加載水平。該方法不需要知曉信號的先驗信息，其具有更好的靈活性與適用性。仿真結果表明：最優加載在不同信噪比，較少快拍情況下均具有較好的穩健性，且在模糊環境下更容易實現。

陣列信號處理；波束形成；DOA失配；對角加載；魯棒性

0 引言

波束形成技術廣泛應用于聲納、雷達和通訊系統中，長久以來研究者們致力于優秀算法的研究，其中MVDR、MUSIC和ESPRIT的方法不斷將波束形成技術推向更高的高度。在波束形成器的設計過程中，信號的向導矢量以及空域譜矩陣均采用理想的模型，但是在現實使用中波束形成器是按照離散的步進方式改變向導矢量進行空域掃描，并且采用快拍采樣協方差的方法估計空域譜矩陣。這將會造成波束形成器的失配，除此之外還有陣列擾動，波達方向失配等失配方式，都將造成波束形成的性能損失。

眾多學者在增強波束形成器的魯棒性方面也做出了許多卓越的成就。COX等人提出了一種對角加載的方法[1]，使得波束形成器在失配時更加穩健。Feldman等人提出了基于特征空間方法[2]，但是當子空間維數不確定或者SNR較低時，該方法有較為嚴重的性能衰落。Gershman等人基于加寬波束零陷帶的思想，提出了獨立數據微分約束法[3]。Bell等人提出基于貝葉斯方法的自適應算法，能在陣列接收信號與期望信號DOA的先驗信息之間取得一種平衡。其中，對角加載方法是最為常見一種，但是加載量的確定一直是一個比較困難的問題。文獻[4]分析了對角加載對自適應陣列SINR和INR性能的影響，研究加載量的門限選取問題，該方法是對預計的SINR和INR的水平有有足夠的信息，而選擇一個固定的適合的對角加載量。但是在現實中沒有足夠的先驗信息來確定固定的加載量。文獻[5]研究波束畸變的根本原因，根據接收信號協方差矩陣的結構特點，討論了小特征值λ與加載量的關系。但是在門限的選取和加載量的確定仍然沒有明確的說明。

1 基于二次型約束的對角加載

假設線性均勻陣列，陣元數為M，有K個不相干的信號源。

信號模型：

其 中 ， X(t)=[x0(t)，x1(t)，···，xM-1(t)]T，A=[a(θ1),a(θ2)，···,a(θk)]，a(θ)為陣列流矢量，N為背景噪聲。

陣列輸出：

其中，w=[w1,w2,···,wM]T，為陣列信號的加權矢量。

輸出功率譜：

其中R為接收信號的協方差矩陣R=E[x(t)xH(t)]，在現實實現中，通常采用快拍采樣估計其協方差矩陣

最小方差無畸變響應（Mvdr）的最優權矢量

所以針對失配問題，在陣列設計時，增加一個敏感度約束，即T≤T0。

則，二次型約束優化問題可以表示為，

根據拉格朗日乘子算法解得

上式與參考文獻[7]中加載模型一致。同時可以看出，加載水平λ與T的選擇有關。在前面提到的文獻中，加權水平都是根據信號先驗信息直接給出的，并沒有將其與加權的模的原約束值以及敏感度T聯系起來。

下面將通過二次型約束問題，求出最優加載值與敏感度以及加權模值得關系。

在上式中，施加的一次約束條件，是約束期望信號無畸變的通過波束形成器，但是在現實實現中，接收信號是由可能的多個期望信號、干擾信號以及噪聲復合的信息，為了使全部的期望信號按照一定的準則通過波束形成器，獲得最佳的波束形成，需要施加更多的約束條件。那么該問題的一次約束就轉化為了靈活度更大、適用性更廣的線性約束問題。下面將通過研究二次型線性約束問題，確定最佳的加載水平。

LCMV優化問題：

一次約束條件問線性約束：

二次約束條件：

其中，C是一個N×M維的約束矩，g為約束值。例如，如果希望感興趣的K個信號無畸變地通過波束形成器，則此時的約束矩陣C=[a(θ1),a(θ2),···,a(θK)]，約束值g=[1,1,···,1]Tk×1。

首先研究T0所允許的取值范圍。

先解出等式約束問題，即wHw=T0。

線性約束的一個等效的實現結構為廣義旁瓣對消器[7]。則把最優解wopt表示為廣義旁瓣對消器的形式，

其中PC是wopt向約束子空間的投影PC=C[CTC]-1CH，P⊥C是wopt向約束空間的正交空間投影。

所以

故，有

因此，

即

所以設置的約束值不能小于gH(CHC)-1g。現在解優化問題，

由Lagrange乘子算法解出，

定義

并為了強調不等式約束關系，定義

有廣義旁瓣對消結構，最優權矢量可以表示如下：

其中，阻塞矩陣B滿足BHC=0。注意B并不是唯一的，構造B的一個方法是P⊥C來確定，并且結果滿足BHB=I，

則

首先把式（22）寫為

其中，Rz=BHRB，是z的譜矩陣，z是阻塞矩陣的輸出，且pz=BHRwq，

當λ≥0時，對角加載數據矩陣(R+λI)是正定的，在上式的中的導數值是負值。即λ＞0時，權矢量的模隨著λ增大而減小。

現在求滿足不等式的約束情況的λ：

或

接下來將使用數值方法求解對角加載量的與二次型約束之間的關系。

開始有λ0=0；令λ1=λ0+Δλ且有

算法總結：

（1）由二次型約束構建線性約束問題；

（2）由約束條件確定二次約束的門限值T0；

（3）構造阻塞矩陣B，使其滿足BHC=0, BHB=I，并且求出wq與a表達式；

（4）根據求得的公式和條件，使用迭代法求出最優加載量λopt。

2 仿真分析

仿真1，采用16陣元均勻線陣，陣列間距為半波長，，背景噪聲為高斯白噪聲。DOA（波達方向）分別取-20，-10，0，20，30，60。期望的DOA為0，快拍次數為1 000。比較在T0條件下對角加載前后的無畸變約束下波束形成方向圖。這里取T0=0.15，因為無畸變約束下的白噪聲最大增益為均勻加權時的增益N，對于任意非均勻加權，都有

由圖1～4可以看出，在較低信噪比的情況下，陣列信號的擾動不是很明顯，加載前后的波束方向如沒有明顯變化，但是，隨著信噪比的提高，陣列信號失配逐漸增大，波束方向圖失真也更加嚴重，由圖4可以清楚的看到，加載前方向圖嚴重失真，幾乎無法獲得期望的DOA，而加載后的波束方向圖仍然具有良好的保形性。對失配環境具有較好的穩健性。再者，比較不同信噪比條件下，加載后的波束方向圖，不管信噪比如何變化，加載后的波束方向圖都沒有太大的變化，所以在不知道信號先驗信息的情況下，二次型約束最優加載具有更好的適用性。

圖1 SNR=-10的波束方向圖

圖2 SNR=0的波束方向圖

圖3 SNR=10的波束方向圖

圖4 SNR=20的波束方向圖

圖5 SNR=-10情況下的波束方向圖

圖6 SNR=10情況下的波束方向圖

仿真2，取快拍次數N=40，其他仿真條件與仿真以相同，比較SNR=-10，10情況下，加載前后的波束方向圖。

如圖5所示，在快拍次數較少時，即使在較低的信噪比的情況下，加載前已不能較好的實現波束形成，而加載后的情況有明顯改善；如圖六示，并與圖3比較，在快拍次數較多的情況下，加載前后的波束方向圖相近，只是加載后的保形性更好，但是，在快拍較少的情況下，加載前的波束形成已經失效，而加載后的波束方向圖依然保持較好的性能。

3 結論

通過以上的仿真分析可知，在估計協方差矩陣的采樣快拍次數有限，且信號的先驗信息未知的情況下，通過二次型約束確定的最優加載量，能夠有效的提高波束形成的穩健性，并且由于其不需要知曉信號先驗信息，所以該方法具有更廣泛的適用性和靈活性。

［1］H.COX Resolving power and sensitivity to mismatch of optimum array processors［J］.J.Acoust.Soc.Am.，vol.ASSP-54，pp.771-785，September 1973.

［2］Feldman D D，Griffith L J.A project approach for robust adaptive beam-forming［J］.IEEE Trans Signal Process? ing，1994（42）：867-876.

［3］ Gershman A B， Nickel U，Bohme J F.A adaptive beam-forming algorithms with robustness against jammer motion［J］.IEEE Trans Signal Processing， 1997（45）：1878-1885.

［4］陳曉初.自適應陣對角加載研究［J］.電子學報，1998，26（4）：29-35.

［5］張小飛，徐大專.自適應對角線加載波束形成算法［J］.中國空間科學技術，2007，4（2）：66-71.

［6］Harry L.Van Trees.Optimum Array Processing Part IV of Detection， Estimation，and Modulation Theory［M］. ISBN 978-7-302-14760-2.

［7］張小飛，汪飛，徐大專.陣列信號處理的理論與應用［M］.北京：國防工業出版社，2010.

［8］謝斌斌.穩健波束形成算法研究［D］.成都：電子科技大學，2012.

［9］蔣留兵，羅良桂，車俐.頻率不變約束的對角加載穩健寬帶波束形成算法［J］.現代雷達，2012，12（34）：41-45.

［10］史英春，鐘子發，鄒翔，等.基于范數優化的對角加載穩健自適應波束形成［J］.電路與系統學報，2013，18（1）：218-224.

A Method of Calculating the Optimal Diagonal Loading Based on a Quadratic Constraint

ZHENG Yu-wei1，ZHANG Chun-liang2，YUE Xia2，LIU Kai1，ZHU Hou-yao2
（1.School of Mechanical Engineering，University of South China，Hengyang421000，China；2.School of Mechanical and Electrical Engineering，Guangzhou University，Guangzhou510006，China）

Diagonal loading technique can make the adaptive beam-forming keep good performance in the case of mismatch，but there is not a strict standard in the determination of the loading quantity.This paper uses a quadratic constraint to discuss diagonal loading problems.The loading level will associate with the constraint conditions of weight module，and then calculate the optimal loading quantity by iteration.This method does not need to know the specific priori information of signal，so it is more flexible and applicative.Simulation results show that optimal load has better robustness in the case of both different SNR and less snap，and it is easier to implement in a fuzzy environment.

array signal processing；beam-forming；DOA mismatch；diagonal loading；robustness

TN957.51

A

1009－9492(2014)01－0021－05

10.3969/j.issn.1009-9492.2014.01.006

鄭玉偉，男，1989年生，安徽六安人，碩士研究生。研究領域：故障診斷。

(編輯：向 飛)

張春良，男，1964年生，教授，博士生導師。研究領域：設備狀態監測與故障診斷，制造過程自動化，微制造技術，激光加工技術，數控技術等。

*國家自然科學基金（編號：51275099/E050302）；廣東省自然科學基金項目（編號：S2012010009505）

2013－07－12