備好高中函數解題鑰匙：化歸思想

毛芹

【內容摘要】函數在高中數學中有著非常重要的作用，是學生在進行數學學習時的重點與難點。在函數教學中，教師應該注重學生分析能力的培養并加強解題思路的引導，其中化歸思想在函數教學中有著很重要的作用。化歸思想即是把一個比較復雜的問題通過一定的方法，將其轉化為我們能夠解決的簡單問題，進而解決原有問題的解題方法。在函數教學的過程中，教師可以有意識培養學生的化歸思想，使學生在解題的過程中思路更加清晰，提高解題速度。

【關鍵詞】高中函數 化歸思想 解題研究

引言

在對學生進行化歸思想教育的過程中，要注意化歸思想的幾個主要原則，首先是把未知的問題轉化為已知的問題，把復雜的問題轉化為簡單的問題。其次把有難度的問題轉化為基礎的問題，把抽象的問題具體化、特殊化。另外，還要注意理論與實際相結合，教師還要在解題的過程中，不斷的深化化歸思想，使學生能夠熟練的掌握和應用。

一、化歸思想方法的類型

化歸思想簡單的理解就是轉化與歸結，主要包括三個基本的要素：化歸的對象、化歸的途徑以及化歸的目標。轉化主要包括等價的轉化和非等價的轉化，其中通過等價轉化而得到的問題與原問題在本質上是相同的，而非等價轉化得來的問題與原問題的本質不相同，必須對結果進行檢驗并加以補充與修改，才能確定轉化的等價性。化歸思想主要有以下幾種

1.數與形的轉化

在函數教學中，數形結合是常用的解題方法之一，函數的解析式可以用函數的圖像清晰的表示，而且函數的圖像也可以借助函數表達式進行表達，在解題的過程中可以通過數與形的相互聯系和統一，使學生獲得準確而簡單的答案。

例：已知∣x∣=ax+1方程式中有一個負根，而且沒有正根，求出a的取值范圍。

根據分析，可以將方程的兩邊看作是兩個函數，然后分別作出函數圖像。

L1：y=∣x∣；L2：y=ax+1。等式中L2是通過（0，1）的直線，如果要使x的取值為負的，則需要a≥1。

2.映射的化歸

（1）高中數學中的函數概念有很強的抽象性與概括性，其本質是一種映射關系。在教學的的過程中，教師傾向于通過舉例來講解函數的概念，導致學生沒有從本質理解函數的概念，只是大概的了解函數的概念和例子。在函數性質的教學中，教師可以將抽象的函數概念化歸成簡單的形式，以便于學生的理解和記憶。例如：滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）的函數模型為三角函數，滿足f（x）·f（y）=f（xy）的函數模型為冪函數，另外滿足f（x+y）=f（x） ·f（y）的函數模型為指數函數，這些等價關系之間的化歸在函數解題過程中有著重要的作用。

（2）在計算函數問題的過程中，我們可以將其轉化為具體數值，通過對數值進行計算找到解題的思路與方法，這就是函數問題中經常用到的“賦值法”。例如：已知偶函數g（x）在零到正無窮上是增函數，那么g（x）>g（1）的解集是？對于這個問題，教師舉一個具體的函數g（x） =x2的例子即可以向學生說明。

3.一般與特殊的轉化

在解決數學問題的過程中，一般與特殊的情況可以進行相互的轉化。有些數學問題通過一般的方法比較復雜，但是如果根據特殊情形進行思考則可以獲得比較簡單的解題思路。另外，特殊情況下得到的結論通過總結與歸納也可以推廣到一般的情形。例如：如果（3x+1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3 +a4x4+a5x5，求a0+a2+a4的值。首先分析，這個題目運用一般的思路比較復雜也不容易得出答案，那么就可以考慮運用特殊值的方法進行解題。

令x=1，則可以得出a0+a1+a2+a3+ a4+a5=4

令x=-1，可以得出a0-a1+a2-a3+a4-a5=32相加得2（a0+a2+a4）=36，得出結果a0+a2+a4=18

這種方法不僅簡單那便捷，而且可以激發學生的學習興趣與思考的熱情，使其更愿意主動的發現的新的解題方法，以此來提高學生的解題能力。

4.正面與反面的轉化

解決數學問題的過程中，我們可以從不同的角度進行思考與分析，有的問題從正面解決比較容易，而有的問題則需從反面入手。根據實際情況，從正確的角度來解決問題。在解決概率問題的過程中，我們可以運用到正面與反面的轉化。例如某射擊選手每次擊中目標的概率為0.7，連續射擊8次，并且每次的射擊都是獨立、互不影響的。那么這個射擊選手至少擊中一次目標的概率為多少？

首先我們考慮從正面對這個問題進行解答，這就需要我們把8種情況進行逐一分析。那么就要考慮在射擊的過程中恰好擊中一次、兩次、三次、四次、五次、六次、七次、八次的情況，這個過程分析起來就比較的復雜，所以我們可以忽略這種方法，從反面進行著手，來分析對立事件的概率，即射擊選手八次均未擊中目標的情況。把八次均為擊中目標的概率記為p8（0），那么p8（0）=C80（0.7）0 （1-0.7）8那么射擊選手至少擊中一次目標的概率為1-p8（0）。這種方法避免了繁瑣的分析過程，不僅減少了運算過程中的錯誤率而且使問題的解決更加的快速。在考試的過程中，學生如果能夠熟練的運用。

二、化歸思想的重要性

1.學生在學習數學知識的過程中，化歸思想可以起到很好的融合作用，并使學生循序漸進的掌握數學知識。例如在平面幾何的教學中，我們可以多次使用化歸的思想，使學生清楚的了解到復雜的幾何圖形都是由簡單的圖形組合而成的，幫助學生理清思路。另外在鈍角三角函數中，將鈍角轉化為銳角進行來解決問題。通過這種方法，可以加深學生對化歸思想的理解。

2.化歸思想不僅可以提高學生的學習能力，而且可以培養學生分析解決問題的能力。在解題的過程中，學生不僅可以回顧已學過的知識，而且可以使用不同的方法進行模型轉換。在高中的函數教學中，化歸思想就是將各個函數溝通起來的橋梁，它可以把函數知識與解題模式充分的結合起來，從而提高學生的解題能力。

小結

化歸思想在高中函數教學中有著廣泛的應用，在解題的過程中，化歸思想可以把未知的問題轉化為已知的問題，將一些比較復雜的問題簡單化。在培養學生思維品質的基礎上，提高學生的解題能力。

（作者單位：江蘇省江安高級中學）