考慮維修的產品可靠性模型研究

張志華，李大偉，鐘強暉，梁勝杰

(1.海軍工程大學 科研部，湖北 武漢430033;2.海軍工程大學 兵器工程系，湖北 武漢430033;3.海軍工程大學 裝備經濟管理系，湖北 武漢430033;4.海軍91697 部隊，山東 青島266505)

0 引言

通過定期對產品進行維修可以恢復其性能狀態，不僅保證產品以較好的狀態繼續工作，而且還能夠延緩可靠性下降速度，起到延長使用時間的作用［1］。實際工程中，許多產品都會進行維修，比如水雷武器定期進行殼體補漆、對電纜涂滑石粉，航空發動機的調校，道路日常保養等［2-3］。鑒于維修的重要性和廣泛應用性，開展其相關研究，以掌握維修對產品使用可靠性的影響規律，對合理制定維修策略，降低維修費用，提高任務成功性有著重要意義。

在產品使用過程中，部分維修手段較為有限，比如潤滑、擦拭和校準等，通常情況下，其維修效果多表現為“不完全維修”，即介于“修復如新”和“修復如舊”之間。針對“不完全維修”的維修效果，國外學者在20 世紀80 年代便開展了相關研究，提出了(p，q)模型、虛擬壽命、(α，β)模型等經典方法［4］。上述方法主要是在不同的可靠性指標中引入維修參數來描述維修效果，具有描述直觀，處理過程簡便的優點，被廣泛應用于不完全維修策略研究當中［5-6］，但是由于具體的維修參數值往往需要借助專家打分或者工程經驗給出，導致該類方法又具有一定的主觀性和局限性。因此，部分學者進一步進行研究，Kijima 等從產品的失效原因出發提出了沖擊模型［7］，以較為客觀的產品性能退化量恢復情況來描述維修效果。該方法認為當退化量恢復到零值便認為產品“修復如新”，而實際中部分維修要求將性能狀態恢復到規定的數值(通常可記為零點)，比如慣導系統的初始對準、魚雷標校等［8］情況，顯然利用該方法會夸大維修的作用。按照該研究思路，國內外學者深入研究，提出了如δ-沖擊模型并將其應用到維修策略研究中［9-11］。由于現有的沖擊模型側重于沖擊時刻和沖擊類型的微觀描述，導致建模過程較為復雜，數學解析表達式較難獲得，同時，該類研究也較少從產品自身的性能變化角度進行分析。綜上所述，針對維修對產品性能狀態的恢復現象，如何建立一個擺脫主觀性且可以直觀利用數學解析表達式描述其維修效果的模型，進而掌握維修條件下的可靠性規律尚需進一步研究。

本文從產品的失效原因出發，結合維修后其性能退化量變化特點，描述了定期維修條件下的產品性能變化規律。以此為基礎，重點分析了該條件下產品的可靠度和失效率變化規律，進而建立了維修效果分析模型。最后以某水泵轉子的壽命數據為例，通過開展相關的數值分析，驗證并說明了本文方法的準確性和適用性。

1 維修過程描述

產品在使用過程中會受到外界因素(如應力、溫度、濕度等)的影響，這些影響因素與產品自身共同作用便會引起性能狀態的微小變化［12］。隨著使用時間的增加，因共同作用造成的產品性能退化量會逐漸增加，當超過某一規定值Ls 時便認為產品發生失效。該變化過程如圖1 所示，其中橫軸表示時間，縱軸表示產品的性能退化量。

圖1 產品的性能退化示意圖Fig.1 Schematic diagram of product performance degradation

圖1表示產品在沒有任何維修手段干預情況下的性能退化現象。一般情況下，產品的性能退化量可認為是時間的連續單調非減函數。

對于要求定期維修的部分產品而言，在實際使用過程中，每隔一定周期Δt 會將產品的性能退化量恢復到規定值(通常可記為零值)［8］，使產品以較好的性能狀態繼續工作。此時，產品的性能變化過程如圖2 所示。

圖2 定期維修條件下產品的性能退化示意圖Fig.2 Schematic diagram of product performance degradation under the condition of periodic maintenance

由圖2 可以發現，由于定期進行維修，產品的性能退化量被恢復到零點，導致退化量變化具有間斷性。同時，隨著維修次數的增加，產品性能退化速度逐漸加快，增幅變大，而當工作到一定時刻后，性能退化量會急速變化，存在一個“爆發期”，如圖2 中［3Δt，4Δt］之間的性能變化現象。

直觀來看，維修效果隨次數和時刻的增加而逐漸下降，這與實際情況是比較相符的。根據維修后產品的性能變化特點，如果僅從退化量恢復角度來描述維修效果［7］，很容易認為每次維修后均會使產品“修復如新”，顯然這是不合理的。那么，為了直觀準確地描述維修效果，需要從失效原因出發，對產品受到外界和自身因素共同作用的規律以及每次作用后的性能變化規律進行分析。

2 可靠性模型

根據上述分析，結合維修后產品性能退化量的變化特點，建立定期維修條件下產品的可靠性模型。首先，介紹本文所作出的相關假設:

1)相比較產品的工作時間，外界因素和自身屬性共同作用的時間較短，因此，可以忽略每次作用時間。在該前提下，設作用的次數為隨機變量且服從非齊次Poisson 過程，即產品在時間［t，t +s］內受到的作用數Nt，t+s是強度函數為atb-1的非齊次Poisson過程，即

式中:a、b 為參數。

2)每次作用均會對產品的性能狀態造成一定的影響，影響程度通常與產品的材料、制造工藝等因素有關。因此，可假設每次作用對產品造成的性能變化量Yi相互獨立且服從相同的正態分布，即

式中:μ 和σ 為產品的性能參數。

3)通常情況下，可認為Nt，t+s與Yi互相獨立。根據上述假設，可以確定在時間［t，t +s］內的性能退化量Xt，t+s為產品在該時間段內每次作用造成的性能變化量Yi的累加和，即滿足:

顯然，Xt，t+s為一個典型的復合Poisson 過程。進一步分析，Xt，t+s可以看作是Nt，t+s個正態分布的線性組合，即

由于Nt，t+s和Yi都為隨機變量，導致上式的解析表達式較為復雜。

根據復合Poisson 過程的性質，產品在時間［t，t +s］內的性能退化量Xt，t+s的數學期望和方差分別滿足:

通過(4)式可以知道產品在時間［t，t +s］內的性能退化量Xt，t+s為無窮個互相獨立的變量累加和。為了方便描述其變化規律，根據中心極限定理可以認為Xt，t+s近似服從正態分布，即Xt，t+s～N(μt，t+s，σ2)，式中:μt，t+s和s分別滿足μt，t+s=E(Xt，t+s)，

對于部分維修行為(如調校、潤滑和補漆等)而言，其技術手段往往有限，可以認為維修并不改變產品的退化機理，仍保持原有的作用強度繼續工作，僅是對性能退化量進行了恢復。那么，結合上述分析，當給定產品維修周期為Δt 時，可以得到其性能退化量X(i-1)Δt，t在不同周期內的變化規律為

式中:Φ(·)為標準正態分布;x 為任意實數。

當掌握了定期維修條件下產品的性能變化規律后，給定失效閾值Ls，利用(7)式能夠獲得任意時刻產品的可靠度函數滿足:

觀察(8)式可以發現該條件下產品的可靠度函數為一個條件概率，其數值大小不僅與工作時間t、維修周期Δt 有關，而且與t 時刻前各維修周期內產品不發生失效的概率密切相關。通過選取適宜的維修周期Δt，維修可以將各維修周期內產品不發生失效的概率控制在一個相對較高的水平。同時，維修后產品的性能狀態得到恢復，推遲了退化量到達失效閾值的時間。因此，維修延緩了可靠度隨時間增加而降低的速度，進而延長了產品的使用時間。

為了說明利用正態分布近似定期維修條件下產品性能變化規律的合理性，在給定相關性能參數和維修周期的情況下，利用數值仿真大量模擬產品的使用過程以獲得各維修時刻的可靠度值，然后采用本文方法(8)式確定可靠度解析值，將二者進行對比，得到結果如圖3 所示。

由圖3 可知，兩種方法獲得的各維修時刻產品的可靠度近似相等，說明利用正態分布近似產品的性能變化規律具有較好的精度。

圖3 可靠度對比圖Fig.3 Comparison of simulation and calculated reliabilities

3 維修效果分析

為了更加直觀地分析維修效果，對維修前后的產品失效率變化規律進行分析。根據失效率的定義，可以得到產品任意時刻失效率λ(t)滿足:

根據上文分析，產品性能退化規律(7)式的分布參數μt，t+s和σ2t，t+s為時變參數且形式較為復雜，導致上極限式較難求解。同時，由于維修的影響，對于任意維修時刻iΔt，上極限式左右極限并不相等，導致其并不是時間的連續函數。以上均給準確描述定期維修條件下產品的失效率函數造成了一定的困難。

為了方便且更直觀地描述維修過程的產品失效率規律，可以取各維修周期內可靠度的變化均值定義失效率，即取ε=Δt. 此時，產品的失效率滿足:

根據工程定義，上式可以表示若產品工作到時刻t 仍然正常，則其在時間(t，t +Δt］內單位時間發生失效的比例。那么，可以獲得產品在任意維修時刻iΔt 的失效率滿足:

如果產品在某維修時刻iΔt 并沒有進行維修，則可以獲得其失效率滿足:

式中:R-(iΔt+Δt)表示產品iΔt 時刻沒有進行維修繼續工作到iΔt+Δt 時刻的可靠度。

比較(11)式和(12)式，可以發現當產品進行維修后，失效率會有所下降，即(iΔt)＞(iΔt).此時，利用各次維修后產品失效率的恢復因子αi來反映各次維修后的維修效果，即

顯然，αi∈［0，1］. 特殊的，αi=0 說明該次維修使產品“修復如舊”，并沒有改變其失效率。相反，對于初始失效率為0(即λ(0)=0)的產品而言，αi=1 則說明該次維修使產品“修復如新”，令其失效率降低為0 值。由于失效率是時間的函數，在不同時刻進行維修恢復因子αi會各不相同，通過比較αi的數值大小便可以掌握產品在任意時刻進行維修所具有的恢復效果。

4 實例分析

4.1 算例分析

針對某型水泵轉子而言，在使用過程中會每隔一個周期便對其進行潤滑，即定期進行維修。對實際壽命數據進行處理，將各維修時刻未失效產品數除以總產品數記為可靠度試驗值，由此得到其可靠性規律。針對該組壽命數據所表現出來的可靠性規律，利用本文方法進行處理。首先，對相關參數進行假設，設該轉子受到作用數N(t)服從強度函數λ(t)=0.21t0.75的非齊次Poisson 過程，每次作用引起產品的性能變化量Yi～N(4.5 ×10-4，10-8). 基于(8)式，在給定失效閾值為0.04 和維修周期為10 d的情況下，化簡得到該轉子的可靠度函數滿足:

將壽命數據表現出來的可靠度規律與利用本文方法獲得的可靠度解析值進行比較，具體如圖4 所示。

如圖4 所示，二者在數值上較為接近。從失效過程來看，轉子在正常磨損階段，其磨損率較為穩定，往往較難發生失效。當過了正常磨損階段后，轉子尺寸會發生較大變化，導致失效概率隨時間延長而越來越高［13］，可靠度迅速下降。可見轉子的磨損失效過程與圖4 描述的變化規律也較為吻合。以上說明本文方法能夠較好地描述該型轉子在定期維修條件下的可靠度變化規律。

圖4 定期維修條件下轉子的可靠度變化圖Fig.4 Change in reliability of rotor under the condition of periodic maintenance

進一步分析，由于實際數據只能得到轉子在各維修時刻的可靠度值，無法反映其在維修周期內的變化趨勢。利用本文方法能夠彌補其不足，得到轉子任意時刻的可靠度值。觀察圖4 可以發現，每次維修后，轉子可靠度呈現出先近似保持平穩，而后迅速下降的變化趨勢。該現象說明產品維修后的一段時間內發生失效的概率較低，即維修后的可靠度與維修前的近似相等，但是維修效果畢竟有限，隨著時間延長，產品的性能退化量會急速變化，導致可靠度急速下降。綜上所述，利用本文方法描述出來的可靠度變化規律與直觀認識較為相符，能夠較好地反映維修是通過延緩可靠性下降速度來對產品產生積極影響的特性。

4.2 失效率恢復因子分析

針對上節研究的算例，利用本文提出的失效率恢復因子進行分析，以便更加直觀地反映維修效果。

將相關參數分別代入到(11)式和(12)式，然后將結果代入(13)式計算獲得轉子在各維修時刻的失效率恢復因子，具體數值見表1 所示。

表1 失效率恢復因子表Tab.1 Recovery factors of failure rate

觀察表1，可以發現恢復因子變化過程有兩個明顯的現象。一個現象是前10 次的恢復因子近似為100%，即表示通過維修使轉子“修復如新”。而事實上，圖4 中轉子前10 個維修時刻的可靠度也近似為1，驗證了該現象。究其原因:一方面是轉子工作時間相對較短，失效率本身就較低，通過維修可以及時降低;另一方面是因為較早的維修自身具有較好的維修效果，對降低轉子的失效率有著更為積極的影響。該現象也與實際中“較早的不完全維修可以使產品修復如新”的直觀認識較為吻合。另一個現象便是恢復因子隨著工作時間和維修次數的增加呈現出下降的趨勢，并且下降速度逐漸增快。該現象反映出不完全維修的特性:維修效果會隨產品的工作時間和維修次數增加而逐漸降低，符合一般工程經驗。

經典不完全維修模型描述維修效果往往需要專家打分主觀給出或者建模過程較為復雜，難以獲得解析表達式，而本文提出的失效率恢復因子以產品自身的性能退化規律為基礎，能夠較為客觀、直觀地描述維修效果。同時，通過本節分析說明該恢復因子能夠較為準確地描述維修效果，與實際工程規律較為吻合。

4.3 可靠性指標分析

在產品工作過程中，可靠度會隨著使用時間的增加逐漸下降。工程中，使用方往往關心產品可靠度下降到一定程度時所對應的時間，因此，本節將對水泵轉子在定期維修條件下的可靠壽命進行研究。

根據可靠壽命的定義［14］和水泵轉子的相關性能參數可以得到其可靠壽命，部分數值如表2 所示。

表2 可靠壽命表Tab.2 Reliability life

由表2 可以發現，當可靠度急速下降時，其可靠壽命變化卻不大。該現象表明轉子可靠度存在一個“拐點”，當工作時間達到一定時刻(如圖4 中所示的［130 d，140 d］)，其可靠度會迅速下降。對于轉子該類失效類型屬于磨損失效的產品而言，該現象合理。該類產品一般會有一段平穩的使用期，較難發生失效，當工作到某一臨界點后，失效數量會迅速增多［13］。同時，在該維修周期的安排下，根據可靠壽命，為了防止轉子大量發生失效，可以考慮在第13 個周期便停止維修，采取更換等手段使轉子“修復如新”。

通過開展產品的可靠性指標分析，可以為其制定相關的維修策略——優化使用時間和維修費用奠定一定的理論基礎。

5 結論

本文重點研究了不完全維修條件下的產品可靠性規律，建立了相應的分析模型，并針對某水泵轉子實際數據進行了處理，得到了以下結論:

1)本文建立的可靠性模型從維修后性能狀態變化角度出發，能夠較好地描述定期維修條件下產品的可靠度規律，揭示了維修的作用原理——通過延緩可靠性下降速度來延長產品使用時間。

2)提出的失效率恢復因子能夠較為準確直觀地描述維修效果，并且能夠反映出維修效果隨產品工作時間和維修次數逐漸下降的變化規律。

3)本文的研究內容為制定產品的維修策略奠定了一定的理論基礎，便于開展相關分析。

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