極限思想在高中數學中的應用

郭嬋嬋

（延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000）

極限思想在高中數學中的應用

郭嬋嬋

（延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000）

極限思想是重要的數學思想，高中學習極限思想一方面能鍛煉學生的思維能力，提高解題水平，另一方面對高等數學的學習做鋪墊.本文介紹了極限思想在高中數學的幾個應用.

極限思想；高中數學；應用

“極限”一詞的漢語意思是“最大限度”，在數學中的含義是：如果變量x按照某一規律變化，無限地接近于一個常數c，則稱c為x的極限，記作limx=c或x→c.極限思想是微積分學的基本思想，它將有限與無限、常量和變量、近似與精確統一起來.對于高中生來講，極限的嚴格定義并不易理解.本文將列舉極限思想在高中數學的一些應用.

一、用極限思想解釋為什么指數函數的定義域包括無理數

指數函數是高中生必須掌握的基本初等函數之一，其基本形式是y=ax（a＞0，a≠1），定義域為R.在學習指數函數前，學生已經掌握了冪運算以及分數指數與根式的互化，因此，學生很容易理解指數函數的定義域從整數擴充到有理數.例如，函數f（x）=2x，當x為任意有理數時，因有理數可化為分數，我們能理解分數指數冪的含義，因而能求出對應的函數值.但是，當x為無理數，比方說時有意義嗎？它的值可求嗎？事實上，指數函數的定義域也包括無理數，用極限思想來解釋就很容易理解了.對于任意有理數x， x的值越大，2x的值也越大，即當時，當x＞時由此我們可以得出下表.

表1

二、用祖暅原理求球的體積

用“無限分割，近似求和，取極限”的思想方法求球的體積.將球分割為無數個“薄圓片”，表示出任意一個“薄圓片”的體積表達式，然后求代數式的和式，最后取極限.這是定積分的基本思想，也是極限思想的重要運用.求球的體積的另一個方法是運用“祖暅原理”或“卡瓦列里原理”：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.意大利數學家卡瓦列里認為線是由無限多個點組成，面是由無限多平行線組成，立體則是由無限多個平行平面組成.他分別把這些元素叫作線、面和體的“不可分量”（indivisible）.利用祖暅原理和“不可分量”，可以求出球的體積.設曲線DHC是以為O圓心的半圓，ABCD是它的外切矩形，以OH為旋轉軸，則正方形OHBC畫出圓柱，三角形OHB畫出圓錐，的圓OHKC畫出半球.如上圖，在與底面平行的任何地方去截這些立體的截面，得到以G為中心，半徑分RG，FG，EG的圓，它們分別是圓柱、圓錐和半球的不可分量，這些不可分量存在關系：OE2=GO2+EG2，OE2=RG2=FG2+EG2.所以，πRG2=πFG2+πEG2，由于這個關系對于垂直于軸的任何截面都成立，所以根據卡瓦列里原理，圓柱的體積等于半球與圓錐的體積之和，即πOH3，所以，V半球=πOH3.因此，球的體積為πR3（R是球半徑）.這里的“不可分量”和定積分應用中的微元法類似，雖然卡瓦列里的不可分量并不嚴謹，但是將線作為面的微元，將面作為體的微元的思想有利于學生理解定積分的概念.

三、用極限證明雙曲線的漸近線

極限思想還貫穿了導數和積分的內容，新課程標準刪去了極限的概念，但是課本上仍然出現了極限符號和極限的簡單運算.因此，在實際教學中，教師應適當地增加極限的教學.在解題教學中，引導學生使用極限思想，開闊解題思路，為學習高等數學打下良好的基礎.

[1]袁小明.數學思想史導論[M].廣西教育出版社，1991.

[2]普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-1（A版）[M].人民教育出版社，2010.

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1674-9324（2014）35-0103-02