基于相平面法的制動方向穩定性分析*

李 靜，王子涵,2，王宣鋒

(1.吉林大學,汽車仿真與控制國家重點實驗室，長春 130022； 2.上海泛亞汽車技術中心有限公司,上海 201201;3.中國第一汽車集團技術中心,長春 130011)

前言

制動方向穩定性是指在制動過程中，汽車按駕駛員給定的軌跡行駛的能力，即維持直線行駛或按預定彎道行駛的能力[1]，對車輛安全具有重要影響，本文旨在評價分析汽車制動方向穩定性，完善制動方向穩定性的評價方法。

目前，較多學者從整車特征參數時域角度對制動方向穩定性展開研究，如文獻[2]中對轉向制動的研究和文獻[3]中對差動制動穩定性的研究，它們均應用如橫擺角速度、質心側偏角等整車參數的時間歷程曲線對制動穩定性進行定性分析，但也僅局限于定性評價。

文獻[4]中在前輪轉向控制研究中應用了質心側偏角-橫擺角速度相平面，該類相平面通常用于轉向穩定性分析，較好地反映了轉向穩定域，但其穩定域受車速影響較大，不適用于速度實時變化的制動穩定性分析；文獻[5]中基于大量實驗提出β相平面穩定域，實現制動穩定性分析和判斷，該類相平面隨速度變化相對較小，可用于制動穩定性分析，但未明確提出穩定域邊界函數的判定方法；文獻[6]中針對β-r相平面，通過求解2自由度模型穩定點和相軌跡的向前合并與向后合并，得到了該類相平面的穩定域；同時，文獻[7]中通過神經網絡和遺傳算法提出一種得到穩定邊界的方法，但較為復雜。除此之外，文獻[8]中提出能量相平面方法，用于分析兩軸車操縱穩定性，通過能量相平面表征了諸如側向能量、轉向瞬態半徑等運動特性變化規律。

結合以上研究，本文中基于兩軸汽車Simulink模型，應用β相平面和能量相平面法進行制動方向穩定性分析，并針對β相平面，提出基于鞍點和初始穩定相點分布的穩定域邊界計算方法。

1 7自由度動力學模型

為分析制動方向穩定性，須分別計算各輪縱向力與側向力。因此，本文中建立了7自由度動力學模型，包括整車3自由度和4個車輪轉動自由度，既考慮了側向運動，又考慮了縱向運動，全面分析了整車運動狀態。

建立動力學模型之前，作如下假設：忽略空氣阻力，認為汽車只做平行于地面的平面運動；假設輪胎滾動阻力矩為一定值，并且沒有輪胎變形引起的回正力矩，車輪半徑為定值，將每個車輪簡化為具有轉動慣量、只有轉動的單自由度系統；不考慮載荷的轉移，制動器簡化為理想的1階慣性元件。

圖1為整車受力分析圖，包含建模所用的3種坐標系：地面固定坐標系OXYZ、車輛坐標系oxyz和輪胎坐標系owxwywzw。其中車輛坐標系的原點位于車輛質心o，x軸位于車輛的縱向對稱平面內，且指向前進方向為正向，規定y軸正向指向駕駛員左側，指向上方規定為z軸正向；規定輪胎坐標系xw軸在車輪中分平面與水平地面的交線上、且指向前進方向為正，規定xw軸與車輪旋轉軸線在水平地面投影線的交點為輪胎坐標系的原點ow，yw軸位于水平地面內、且規定面向xw正方向時、指向左側為yw軸正方向，規定指向上方為zw軸正方向。

1.1 整車模型

假設整車模型包括簧載質量、前非簧載質量和后非簧載質量3部分。整車的3個自由度為縱向速度u，側向速度v和橫擺角速度r。經過化簡，得整車模型計算公式為

(1)

(2)

(3)

式中：mf、mr為前、后軸非簧載質量，kg；Izzf、Izzr為前、后軸非簧載質量橫擺轉動慣量，kg·m2；Iz為通過車身質心關于z軸的轉動慣量，kg·m2；u為整車質心縱向速度，m/s；v為整車質心側向速度，m/s；r為整車橫擺角速度，rad/s；lf、lr為前、后軸中心到質心的距離，m；mb為簧載質量，kg。且Qu、Qv、Qr分別為對應自由度u、v和r的廣義力，N，公式為

Qu=(Fxw1+Fxw2)cosδf-(Fyw1+Fyw2)sinδf+Fxw3+Fxw4

(4)

Qv=(Fxw1+Fxw2)sinδf+(Fyw1+Fyw2)cosδf+Fyw3+Fyw4

(5)

[(Fxw2+Fxw1)sinδf+(Fyw1+Fyw2)cosδf]lf+

(6)

式中：Fxwi為第i輪縱向力，N；Fywi為第i輪側向力，N；δf為轉向輪轉角，rad；af為前軸輪距，m；ar為后軸輪距，m。

1.2 制動器模型

制動器模型指制動器力矩與制動壓力間的關系，假設制動器為理想元件，則制動方程為

Mbi=ki·Pi

(7)

式中：Mbi為第i輪制動力矩，N·m；ki為第i輪制動器制動因數,N·m/kPa；Pi為第i輪制動壓力，kPa。對于制動壓力到制動力轉換環節，在此簡化為一個帶遲滯的1階慣性環節，傳遞函數為

(8)

式中Km和Tm為制動器參數。

1.3 輪胎滾動動力學模型

對車輪進行受力分析，如圖2所示。建立車輪轉動動力學模型，輸入為車輪的縱向力Fxwi、制動力矩Mbi；輸出為各輪角速度ωi。其中i=1、2、3、4分別代表不同車輪。

根據牛頓第二定律對每個車輪列動力學平衡方程，得出車輪轉動的動力學方程為

(9)

式中：rdi為第i輪的滾動半徑，m；Iwi為第i輪繞輪心的轉動慣量，kg·m2。

1.4 輪胎模型

在此，輪胎模型采用GIM輪胎模型，輸入為各輪胎坐標系下的輪心縱向線速度uxwi、車輪轉動角速度ωi、側偏角βwi和垂向載荷Fzi，輸出為各輪所受縱向力Fxwi和輪胎側向力Fywi。其中uxwi、側偏角βwi通過車輛平面運動分析得到。

基于上述動力學和運動學分析，建立包含ABS系統的2自由度整車動力學模型如圖3所示。

2 應用于制動方向穩定性的β相平面及其穩定域邊界函數

為便于非線性方程求解[11]，通過簡化目標車得到2自由度模型，求解非線性方程鞍點和結點。基于鞍點和相平面穩定初始相點分布圖，得到相平面穩定域邊界函數，用于制動方向穩定性的分析。

為簡化動力性模型，便于繪制相平面，簡化的2自由度模型示意圖如圖4所示，其動力學方程為

(10)

式中：Izz為整車相對oz軸轉動慣量，kg·m2；m為整車質量，kg；Fyf為前輪側向力，N；Fyr為后輪側向力，N；其余參數與7自由度模型相同，且

結合以上公式，并簡化得

(11)

(12)

輪胎受力Fyf和Fyr通過GIM模型計算。通過式(11)和式(12)求穩定點，包括結點和鞍點，穩定點即對應式(11)和式(12)右側為0。對于β相平面的平衡點求解應滿足如下關系式：

圖5為β相平面及其奇點分布圖，圖中星點表示式(11)和式(12)所求在合理范圍內的結點(中間的穩定點)和鞍點(兩端的不穩定點)。

3 制動方向穩定性的能量相平面分析

能量相平面的分析機理為通過車輛轉向動能與前進動能之比表征車輛方向穩定性。制動失穩時，產生側向滑移等失穩現象會導致側向能量的增大。根據前述動力學方程，可得總能量為

(13)

式中：ms為車輛總質量，kg；Izs為整車對z軸轉動慣量，kg·m2。沿坐標系縱軸ox的縱向動能為ETrx：

(14)

沿oy軸的側向動能為ETry：

(15)

側向能量和縱向能量之比為

(16)

(17)

分別以v/u為橫坐標、ρr/u為縱坐標做出能量相平面圖，在一定初始條件下開始仿真，繪成的曲線看成是一種相平面曲線，該曲線上任意一點T，其坐標值為(x，y)，對應的向量oT的模代表了轉向能量相對前進能量的水平，從能量的角度對運行過程中側向能量進行表述，進而說明是否失穩。

轉向時瞬心半徑rds基本滿足關系rds·r=u，且能量相平面縱坐標為ρr/u，則縱坐標與轉向瞬心半徑成反比關系，結合相平面縱坐標可進行轉向情況的表征。

4 制動方向穩定性的能量相平面分析

為驗證能量相平面和β相平面評價制動方向穩定性效果，進行了極限工況轉向制動仿真，通過制動軌跡、能量相平面和β相平面對不同工況制動方向穩定性進行評價。仿真工況包括：(1)無ABS時，高/低附著路面轉向制動；(2)有/無ABS低附著路面轉向制動運動。

一方面通過無ABS系統時高低附著路面轉向制動，再現轉向制動無失穩與失穩工況，驗證相平面法對于制動方向穩定性表征的有效性；另一方面通過低附著路面有/無ABS轉向制動，驗證控制算法對制動方向穩定性的作用。

4.1 高低附著路面轉向制動

仿真工況為無ABS系統高低附著路面轉向制動。高附著路面附著系數為1.0，低附著路面附著系數為0.2，初始制動車速為60km/h，轉向盤轉角為1.4rad。仿真結果如圖7～圖9所示。

由圖7可知，高附著路面車輛可較好地按照駕駛員意圖實現轉向制動，而低附著路面車輛幾乎無法實現轉向動作。由圖8可見，每個圓形虛線表明一個能量級，能量級越大對應側向能量相對縱向能量比例越大，穩定性越差。表1為能量相平面數據表，可定量進行制動方向穩定性分析。結合圖表可知，低附著路面側向能量與縱向能量比值大約為高附著路面的5倍，且由縱坐標可知，低附著路面轉向半徑小于高附著路面，無法保證車輛轉向能力。

表1 高/低附著能量相平面數據表

由圖9可知，低附著路面的相軌跡越過穩定域邊界，進入非穩定區域，進一步表明已失去制動方向穩定性，而高附著路面仍保持在穩定區域內。

4.2 低附著路面有/無ABS系統轉向制動

4.2.1 基于PID控制的ABS控制器

制動方向穩定性的準確評價可提高相關控制策略的有效性。為驗證相平面分析方法對控制算法的評價效果，建立了基于PID控制的ABS控制器[12]，完成有/無ABS控制器低附著路面轉向制動方向穩定性評價。

PID控制器是利用設置給定的目標值和實際控制輸出值的偏差，對控制對象進行的一種控制，如圖10所示，以目標滑移率s0和實際滑移率sx之差為控制偏差e，即e=s0-sx，通過對其進行比例放大、微分放大和積分放大，進行制動壓力的調節進而實現滑移率的良好控制，其控制規律為

(18)

式中：pi為第i輪制動壓力；KP為比例系數；KI為微分系數；KD為積分系數。在離線仿真模型的基礎上，通過大量實驗實現了3個參數的匹配。

4.2.2 低附著路面有/無ABS轉向制動仿真分析

基于7自由度整車模型和PID控制的ABS控制器，進行低附著路面有/無ABS轉向制動穩定性評價。仿真工況為：低附著路面(附著系數為0.2)，初始制動車速為60km/h，轉向盤轉角為1.4rad。仿真結果如圖11～圖13所示。

由圖11可知，有ABS系統制動過程與高附著路面制動過程類似，可按駕駛員意圖完成轉向動作。

同圖8，圖12中每個圓形虛線表明一個能量級，能量級越大對應側向能量相對縱向能量比例越大，穩定性越差。表2為有/無ABS轉向制動能量相平面數據表，可定量進行制動方向穩定性分析。結合圖表可知，無ABS時側向能量與縱向能量比值大約為有ABS時的3.4倍，且由縱坐標可知，有ABS時轉向半徑較無ABS時小。

表2 有/無ABS能量相平面數據表

圖13為有/無ABS轉向制動時β相平面圖。由圖可見，無ABS時系統很快失穩，進入非穩定區域，而有ABS時，相軌跡隨著ABS作用，重新回到穩定區域，表明ABS控制保證輪胎附著力，進而起到了提高制動方向穩定性的功能，驗證了β相平面對ABS評價的有效性。

5 結論

(1) 基于Matlab/Simulink搭建了7自由度整車模型和ABS控制器，應用相平面法對制動方向穩定性進行定量分析與評價，所用相平面法包括能量相平面和β相平面。

(2) 針對β相平面，基于鞍點與初始穩定相點提出穩定域與非穩定域邊界函數的求解方法。

(3) 基于以上模型和分析方法，通過有/無ABS和高/低附著下的離線仿真，驗證了相平面法定性判斷和定量分析制動方向穩定性的可行性和有效性。

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