追不上烏龜的長跑英雄

王娟

古希臘哲學家們曾討論過這樣一個話題：阿基里斯是當時的一位長跑英雄，能否追趕上和他相距100米的烏龜。毋庸置疑，阿基里斯能在很短的時間內追上烏龜。但愛利亞學派的代表人物芝諾卻提出了完全相反的意見。

他的推理是這樣的：假定賽跑開始的時候，烏龜在阿基里斯前方的100米，并假設阿基里斯的速度是烏龜爬行速度的10倍。當阿基里斯跑了100米到達烏龜原來所在的位置時，烏龜又向前跑了10米。當他再跑完10米去追趕烏龜時，發現烏龜還在他前面1米。他再跑1米，烏龜還在他前面10厘米。如此下去，他似乎只能一次次到達烏龜所經過的地點，而永遠追不上烏龜。

芝諾的推論看似荒謬，但從純數學的角度來看，芝諾的推論卻沒有任何問題，因為任何兩點之間都有無數個點，根本無法逾越。這一現象告訴我們：無限并不遙遠，有限之中蘊含著無限。

如果讓人計算無窮數列S=1-1+1-1+1-1……的結果，很多人會說，結果是0，因為每兩項一組，每一組都是0，無窮個0相加，結果自然是0；也有人會說，結果應該是1，因為把第一項獨立出來，后面每兩項一組，每一組都是0，1與無窮個0相加，結果自然是1；還有人說，結果應該是1/2，因為上面的等式可以改寫作S=1-（1-1+1-1+1-1……）=1-S，移項后得出S=1/2。

這三種結果似乎都有道理。但是，根據現代無窮級數理論，這個式子沒有結果。因為人們習慣了1+1=2這類精確數學，卻不知道數學中的確存在沒有結果的“無限”算式。