存在時延和拓撲不確定的多彈分散化協同制導時間一致性分析

王青，后德龍，李君，董朝陽

(1.北京航空航天大學 飛行器控制一體化技術重點實驗室，北京100191;2.北京宇航系統工程研究所，北京100080;3.北京航空航天大學 航空科學與工程學院，北京100191)

0 引言

多枚導彈協同攻擊能有效地提高打擊目標的效能［1-3］。多導彈之間通過信息共享實現配合、協作，共同完成打擊任務，極大地增強了導彈的打擊能力，增加了導彈突防和摧毀目標的概率。

在研究導彈協同攻擊問題時，多枚導彈同時到達是一個重點關注的問題，該問題可以歸結為制導時間的一致性問題［4］。制導時間一致性問題主要研究導彈協同攻擊系統中各導彈之間的信息交互方式，使所有導彈的制導時間趨于同一值。

文獻［5］給出了一種攻擊時間可控的制導律(ITCG)，該制導律由兩部分組成，一部分用于對目標的攻擊，另一部分用于對給定制導時間指令的跟蹤。文獻［6］提出了一種雙層協同制導結構來解決導彈協同攻擊問題，將ITCG 制導律作為底層導引律，上層為協調一致性算法，實現對制導時間指令的解算。協調一致性算法采用網絡鄰域通信實現相互之間的信息傳遞，因此可能存在網絡拓撲切換問題，文獻［4］基于強連通平衡有向圖的相關性質研究了存在網絡拓撲切換時的分布式協同制導問題。

除了拓撲切換問題外，網絡傳輸過程不可避免地存在傳輸時延和時變拓撲結構不確定問題，從而對多彈協同攻擊任務的完成產生嚴重影響。時變拓撲結構不確定可以理解為未考慮在切換拓撲內的通訊連接短暫中斷或權值的改變等。而針對這兩類問題，在多彈協同制導領域還沒有得到研究。相關研究主要在多智能體的一致性［7-9］、無人機和衛星編隊方面［10-12］。多智能體的一致性算法與多彈協同制導的一致性算法類似，但是針對其開展的相關研究主要針對強連通平衡圖，具有較強的局限性。文獻［7］利用圖論和矩陣理論將一階有向網絡的一致性分析結果拓展到了高階情況，并對切換拓撲下的一致性作了分析，但是沒有考慮時延情況。文獻［8］研究了存在網絡時延和切換拓撲的多智能體系統一致性問題，但其針對的拓撲結構是強連通平衡圖拓撲結構。文獻［9］針對存在時延的強連通平衡圖下的多智能體一致問題給出了相關穩定判據。文獻［10 -11］針對編隊衛星協同中存在拓撲結構切換、通信時延等問題進行了研究。文獻［12］針對無向平衡圖存在切換拓撲和時延的情況進行了分析。

本文針對存在網絡通信時延、時變拓撲結構不確定和動態拓撲切換情況下的多導彈協同齊射攻擊問題開展了研究。以線性矩陣不等式的形式給出了協同制導時間實現一致的條件。本文的研究不依賴于特定的網絡通信拓撲結構，在此基礎上開展存在時延、拓撲結構不確定、切換拓撲情況下的協同制導一致性研究，具有更廣泛的適用性。

1 問題描述

針對打擊固定目標問題，文獻［5］給出了一種時間可控的制導律，即ITCG，為了配合協同制導的描述，考慮n 枚導彈參與攻擊的情形，每枚導彈均采用ITCG 進行攻擊。ITCG 中每枚導彈的法向加速度為

文獻［6］以系統總體控制能量消耗最小作為設計目標得到剩余制導時間指令值為

式中:wi為加權系數，wi=

考慮到(2)式給出的制導時間指令值為加權平均形式，與存在通信連接權值的一致性算法收斂值［8］相同，文獻［6］提出了一種雙層協同制導結構。該制導系統的上層為(3)式給出的一致性算法，下層采用ITCG 實現對給定的制導時間指令的跟蹤。制導時間一致性算法為

式中:i=1，…，n;xi表示第i 個導彈的剩余飛行時間指令值，即xi=;aij是拓撲結構的鄰接矩陣A中的元素，在圖論相關的定義中給出詳細描述。

本文采用該雙層協同制導結構實現多導彈同時攻擊。從對該雙層制導結構的分析可以看出，一致性算法對于協同制導的實現至關重要。在一致性算法收斂的情況下，ITCG 總能實現對制導時間指令的跟蹤，從而實現協同制導。本文將研究存在網絡通信時延、時變拓撲結構不確定和動態拓撲切換情況下一致性算法收斂性問題，給出該問題的分析方法。

下面首先給出圖論的相關定義:

定義有向圖G =(V，E，A)，其中:有限非空集V={v1，v2，…，vn}是圖G 的節點集，節點的下標集記為I ={1，2，…，n}，節點可以用vi∈V 或其下標i∈I來表示;E?V×V 是圖G 的邊集，邊記為eij=(vi，vj);A=［aij］∈Rn×n是圖G 的鄰接矩陣，當節點j 存在信息流向節點i 時，aij=1，否則為0，定義aii=0.

定義Laplace 矩陣L =［lij］∈Rn×n(i，j ∈I)為［13］

2 固定拓撲下的一致性分析

本節針對固定拓撲情況下協同制導一致性算法展開分析。

由圖論的相關定義，(4)式可以轉化為以下矩陣形式:

式中:x=［x1，x2，…，xn］;C =diag(1/w1，1/w2，…，1/wn)，為權值矩陣;L 為Laplace 矩陣。

存在時延和拓撲不確定情況下的一致性算法可以寫成以下形式:

式中:ωi＞0，i=1，…，n.

將(5)式表示為

并作以下轉換［14］:

取y=［y12，y13，…，y1n］T，則有

式中:1 為適維單位列向量;E ∈R(n-1)×n、F ∈Rn×(n-1)，且定義在不存在時延和拓撲不確定情況下，由(9)式可以推導如下:

式中:A= -ECLF.將系統命名為分歧系統。上述推導過程中使用了拓撲結構Laplace 矩陣的一個性質，即L·1 =0.在存在時延和時變拓撲不確定情況下的分歧系統動力學為

式中:ΔA 為時變拓撲引起的A 陣不確定。假定ΔA可以表示為ΔA=Λ1Φ(t)Λ2，其中Λ1和Λ2為適維常數矩陣，Φ(t)為未知時變矩陣且滿足ΦT(t)Φ(t)≤I.

在進行分析之前給出以下相關引理:

引理1［14-15］對任何可微函數x(t)∈Rn和任何n×n 維的正定對稱常值矩陣W，存在如下的不等式關系:

式中:t ＞0;τ 滿足0≤τ≤h，h ＞0.

引理2［16］Schur 補引理。針對給定的矩陣M、P、Q，且Q 為正定矩陣，以下兩個關系等價:

引理3［9］若給定合適維矩陣B =BT，J，K，則對所有滿足DT(t)D(t)≤I 的矩陣D(t)，不等式B+JD(t)K+KTDT(t)JT＜0 等價于

式中:c0為任意正常數。

通過反證法可以推出一致性算法的收斂性和分歧系統的穩定性等價。針對固定拓撲網絡結構，基于線性矩陣不等式方法以定理形式給出(7)式所示的多導彈協同制導時間一致性算法收斂的充分條件。

定理1 對于系統，固定網絡拓撲為G，且權值系數陣C 非負，網絡傳輸時延τ ＜h，如果存在正定對稱矩陣P 滿足Π ＜0，則系統漸近一致。Π=其中Q為任意對稱正定陣。

證明 通過分析分歧系統的穩定性分析系統的漸近一致性。構造如下形式的Lyapunov-Krasovskii泛函［14］:

將系統作如下處理:

定義

則

對泛函V(t)求導可以得到

應用引理1 給出的不等式，則有

將(19)式表達為矩陣形式

根據Schur 補引理，若存在正定對稱矩陣P 滿足:

進一步，矩陣不等式可以整理為

式中:

應用引理3，(21)式等價為

(22)式可以表示為

應用Schur 補引理，(23)式可以轉化為Π ＜0，定理1 得證。

事實上，在定理1 滿足的情況下，總存在一個常數c 滿足:(t)＜-cV，即Lyapunov-Krasovskii 泛函按指數速率衰減，從而分歧系統收斂，即一致性算法收斂，從而保證了多彈協同制導的實現。

3 切換拓撲下的一致性分析

本節考慮存在時延、時變拓撲結構不確定，且在有限個時間點存在網絡拓撲切換情況下多導彈協同制導時間的一致性分析。在存在網絡拓撲切換情況下，一致性算法的分歧系統可以表示為如下形式:

式中:k∈s(t):［0，∞］→{1，2，…，N}為網絡拓撲結構的切換信號;Ak= -ECL(Gk)F，Gk∈Γn，Γn為包含n 個導彈的信號傳輸網絡拓撲結構的有限集合;ΔAk=Λ1(Gk)Φk(t)Λ2(Gk)為拓撲結構不確定，Φk(t)為未知時變矩陣且滿足(t)Φk(t)≤I.

針對同時存在網絡時延、時變拓撲結構不確定和切換拓撲下多彈協同制導時間一致性分析可給出以下定理:

定理2 對于系統，權值系數陣C 非負，網絡傳輸時延τ ＜h，在有限次任意切換信號s(·)下漸近一致的條件為對于切換序列中的任一傳輸拓撲結構Gk，存在對稱正定矩陣P 滿足以下矩陣不等式組:

式中:

Q 為任意對稱正定陣。

證明 定義與定理1 證明中相同的Lyapunov-Krasovskii 泛函，重寫為

由定理1 的證明可知，對于切換序列中的任意信號傳輸網絡拓撲結構Gk，存在常數ck，使得

即對于切換序列s(·)，(28)式給出的公共Lyapunov 函數指數下降，因此可以證明系統的漸近穩定性。定理2 得證。

上述證明可以采用論述方式說明。假設系統在t1時刻和t2時刻發生兩次切換，盡管系統的公共Lyapunov 函數的導數在切換時刻存在跳變，但是由于狀態不會發生突變，公共Lyapunov 函數是連續的，在每個區間的指數下降保證了在整個過程中公共Lyapunov 函數的衰減，系統是穩定的，從而多彈協同制導一致算法漸近收斂。

4 仿真驗證

本節將通過仿真驗證對存在網絡時延和拓撲結構不確定的多彈協同制導時間一致性問題理論分析結果的正確性。

4.1 固定拓撲情況

假設3 枚導彈協同攻擊一個固定目標，目標靜止位于(0，0).導彈的初始參數如表1所示。

表1 導彈的初始參數Tab.1 Missile initial parameters

3 枚導彈之間的網絡傳輸信息的拓撲結構如圖1所示。A 陣的不確定來源于L 陣的不確定，選取L 陣的不確定ΔL 滿足ΔL =Λ'1Φ(t)Λ'2，則可以推論出Λ1= - ECΛ'1和Λ2= Λ'2F，令Λ'1=0.2I，

時延τ =h =0.2 s 時，存在正定對稱陣P 滿足線性矩陣不等式。而取h ＞0.2 s，即網絡時延τ ＞0.2 s 時，不存在滿足條件的P，則不能證明(6)式所示的多導彈分散化協同策略的漸近一致性。因此，在線性矩陣不等式給出的充分條件下，h =0.2 s 是能證明系統漸近一致性的最大時延。

圖1 導彈之間通信傳輸拓撲結構Fig.1 Communication topology

設系統存在固定時延τ=0.2 s，分別計算t =5 s，10 s，15 s，20 s，25 s，30 s 的矩陣P，求解線性矩陣不等式，得到矩陣P 的解為

在下面的仿真中，協調時間是制導時間一致性算法的狀態，即剩余制導時間指令值。分別進行理想情況和τ=0.2 s 且包含拓撲結構不確定兩種情況的仿真，仿真結果分別如圖2～圖4所示。在圖2中，虛線結果表示存在時延及拓撲結構不確定情況下的仿真結果，實線表示理想情況下的仿真結果。從圖2可以看出，在網絡傳輸時延為τ =0.2 s 且包含拓撲不確定時，導彈協同制導系統仍能實現同時攻擊，即系統是漸近一致的，但是對系統的性能產生了影響，尤其是對協調時間產生較大的影響。

圖2 不同情況下導彈飛行軌跡Fig.2 The flight trajectories under different conditions

圖3 不同情況下剩余飛行時間估計值Fig.3 Estimate values of time-to-go under different conditions

圖4 前10 s 內導彈制導協調時間Fig.4 The cooperative time-to-go in the first 10 s

4.2 切換拓撲情況

針對網絡拓撲切換、時延及拓撲結構不確定同時存在的情況進行仿真驗證。拓撲不確定的取法與4.1 節相同，仍取網絡傳輸時延為τ =0.2 s，假設系統分別在2.5 s 和6 s 發生拓撲切換，圖5(a)和圖5(b)給出了兩種拓撲結構，切換序列為s(·):(a)→(b)→(a)

圖5 兩種導彈通信傳輸拓撲結構Fig.5 Two communication topologies

針對上述兩種網絡拓撲結構，在網絡傳輸時延τ=0.2 s 及存在不確定時存在公共Lyapunov 函數，仍以t=5 s，10 s，15 s，20 s，25 s，30 s 為例:

因此上述切換是穩定的。仿真結果如圖6和圖7所示，圖6給出了制導時間一致性算法狀態，圖7以導彈M2協調時間曲線為例給出與僅存在時延及不確定不存在切換情況的對比。從仿真結果看，網絡傳輸拓撲結構的切換對系統的性能產生了一定的影響，但是仍然能夠實現一致，這與理論分析結果相同。

圖6 切換情況下的協調時間曲線Fig.6 The curves of cooperative time-to-go under the condition of switching

圖7 τ=0.2 s 條件下的制導時間一致性算法狀態對比曲線Fig.7 The comparison curves of cooperative time-to-go for τ=0.2 s

5 結論

本文針對存在網絡時延下多導彈協同制導時間一致性問題進行了研究，結論如下:

1)將多彈協同制導時間一致性問題轉化為制導時間分歧系統的穩定性問題，利用穩定性的控制理論方法，拓展了對該問題的研究手段。

2)給出了存在通信時延及拓撲結構不確定時制導時間一致性算法收斂的線性矩陣不等式判據。

3)將針對固定拓撲情況提出的Lyapunov 函數方法拓展成公共Lyapunov 函數方法適用于分析網絡傳輸時延、拓撲不確定和拓撲結構切換同時存在下的多彈協同制導時間一致性分析。

References)

［1］ 王建青，李帆，趙建輝，等.多導彈協同制導律綜述［J］.飛行力學，2011，29(4):6 -10.WANG Jian-qing，LI Fan，ZHAO Jian-hui，et al.Summary of guidance law based cooperative attack of multi-missile method［J］.Flight Dynamics，2011，29(4):6 -10.(in Chinese)

［2］ 張友安，馬國欣，王興平.多導彈時間協同制導:一種領彈-被領彈策略［J］.航空學報，2009，30(6):1109 -1118.ZHANG You-an，MA Guo-xin，WANG Xing-ping.Time-cooperative guidance for multi-missiles:a leader-follower strategy［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2009，30(6):1109 -1118.(in Chinese)

［3］ 王昊宇，徐學強，房玉軍.網絡化協同打擊彈藥技術［J］.兵工學報，2010，31(增刊2):136 -139.WANG Hao-yu，XU Xue-qiang，FANG Yu-jun.Networked cooperative attack ammunition technology［J］.Acta Armamentarii，2010，31(S2):136 -139.(in Chinese)

［4］ 彭琛，劉星，吳森堂，等.多彈分散化協同末制導時間一致性研究［J］.控制與決策，2007，25(10):1557 -1562.PENG Chen，LIU Xing，WU Sen-tang，et al.Consensus problems in distributed cooperative terminal guidance time of multi-missiles［J］.Control and Decision，2007，25(10):1557 -1562.(in Chinese)

［5］ Jeon I S，Lee J I，Tahk M J.Impact-time-control guidance law for anti-ship missiles［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2006，14(2):260 -266.

［6］ 趙世鈺，周銳.基于協調變量的多導彈協同制導［J］.航空學報，2008，29(6):1605 -1611.ZHAO Shi-yu，ZHOU Rui.Multi-missile cooperative guidance using coordination variables［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2008，29(6):1605 -1611.(in Chinese)

［7］ 于鏑，伍清河，王寅秋.高階多智能體網絡在固定和動態拓撲下的一致性分析［J］.兵工學報，2012，33(1):56 -62.YU Di，WU Qing-he，WANG Yin-qiu.Consensus analysis of high-order multi-agent network in fixed and dynamical switching topology［J］.Acta Armamentarii，2012，33(1):56 -62.(in Chinese)

［8］ Olfati-Saber R，Murray R M.Consensus problems in networks of agents with switching topology and time-delays［J］.IEEE Transactions on Automatic Control.2004，49(9):1520 -1533.

［9］ 張慶杰，沈林成，朱華勇.多智能體系統實現魯棒一致的時延相關穩定判據［J］.控制與決策，2012，27(4):584 -592.ZHANG Qing-jie，SHEN Lin-cheng，ZHU Hua-yong.Delay-dependent stability criteria for robust consensus of multi-agent systems［J］.Control and Decision，2012，27(4):584 -592.(in Chinese)

［10］ 張保群，宋申民，陳興林.帶時延和拓撲切換的編隊衛星魯棒協同控制［J］.宇航學報，2012，33(7):910 -919.ZHANG Bao-qun，SONG Shen-min，CHEN Xing-lin.Robust coordinated control for formation flying satellites with time delays and switching topologies［J］.Journal of Astronautics，2012，33(7):910 -919.(in Chinese)

［11］ 胡慶雷，周稼康，馬廣富.無需角速度的含通信時延衛星編隊飛行自適應姿態協同跟蹤控制［J］.自動化學報，2012，38(3):462 -468.HU Qing-lei，ZHOU Jia-kang，MA Guang-fu.Angle velocity free attitude synchronization adaptive tracking control for satellite formation flying with time-varying delays［J］.Acta Automatica Sinica，2012，38(3):462 -468.(in Chinese)

［12］ Proskurnikov A V.Average consensus in networks with nonlinearly delayed couplings and switching topology［J］.Automatica，2013，49(9):2928 -2932.

［13］ 孫惠泉.圖論及其應用［M］.北京:科學出版社，2004.SUN Hui-quan.Graph theory and its application［M］.Beijing:Science Press，2004.(in Chinese)

［14］ Sun Y G，Wang L.Consensus of multi-agent systems in directed networks with nonuniform time-varying delays［J］.IEEE Transactions on Automatic Control.2009，54(7):1607 -1613.

［15］ Sun Y G，Wang L，Xie G.Average consensus in networks of dynamic agents with switching topologies and multiple time-varying delays［J］.Systems ＆ Control Letters，2008，57(2):175 -183.

［16］ El Ghaoui L，Feron E，Balakrishnan V.Linear matrix inequalities in system and control theory［M］.Philadelphia:Society for Industrial and Applied Mathematics，1994.