基于馬爾可夫小概率事件統(tǒng)計(jì)模型的繼電保護(hù)隱藏故障分析

姜 臻

（廣東電網(wǎng)有限責(zé)任公司珠海供電局，廣東 珠海519000）

0 引言

隱藏故障是指保護(hù)裝置中存在的一種永久缺陷，這種缺陷只有在系統(tǒng)發(fā)生故障等不正常運(yùn)行情況時才會表現(xiàn)出來，其直接后果是導(dǎo)致被保護(hù)元件錯誤斷開。近年來，電力系統(tǒng)災(zāi)難性聯(lián)鎖故障時有發(fā)生，如1996年7月美國西部電網(wǎng)（WSCC）、1998年6月美國中部大陸電網(wǎng)（MAPP）解列事故，2003年8月美加大停電事故等，造成這些大規(guī)模停電事故的罪魁禍?zhǔn)渍抢^電保護(hù)系統(tǒng)的隱藏故障［1］。

聯(lián)鎖故障產(chǎn)生的原因多種多樣，距離保護(hù)、過電流保護(hù)及基于負(fù)荷控制的保護(hù)等繼電保護(hù)隱藏故障都是導(dǎo)致聯(lián)鎖故障的可能原因。比如在大系統(tǒng)與某節(jié)點(diǎn)（即母線）相連的一條線路上發(fā)生了閃絡(luò)，則與此節(jié)點(diǎn)相連的其他線路的保護(hù)由于自身存在的隱藏故障就可能發(fā)生誤動作（低電壓或是由于低電壓造成的無功不足）。

迄今，對繼電保護(hù)系統(tǒng)隱藏故障的研究主要集中在由隱藏故障引起的聯(lián)鎖故障的仿真和評估方面。在這些研究中，隱藏故障的發(fā)生概率主要是通過概率統(tǒng)計(jì)方法和現(xiàn)有概率模型來確定，但保護(hù)含隱藏故障的概率是極小的，所以這種小概率事件模擬就變得非常困難。而傳統(tǒng)的基于大數(shù)定理的模擬方法計(jì)算量和計(jì)算時間非常可觀，因此這種模擬仿真方法沒有實(shí)踐性。

本文介紹了一種基于馬爾可夫模型的小概率事件統(tǒng)計(jì)模型的重要采樣理論，利用這種模型可以增大小概率事件的發(fā)生幾率，從而大大降低計(jì)算量，提高仿真模擬算法的準(zhǔn)確率和可行性。

1 隱藏故障的概率模型

圖1 線路距離保護(hù)和過電流保護(hù)的隱藏故障特性線路距離保護(hù)隱藏故障概率PHF與保護(hù)裝置的測量阻抗Z

現(xiàn)有概率模型用來描述線路保護(hù)隱藏故障的有距離保護(hù)隱藏故障概率模型和過電流保護(hù)隱藏故障概率模型［2－3］，如圖1所示。有關(guān)。當(dāng)測量阻抗Z小于3倍距離保護(hù)第Ⅲ段的整定值Z3時，隱藏故障概率為常數(shù)PL，而測量阻抗Z大于3倍距離保護(hù)第Ⅲ段的整定值Z3時，隱藏故障概率按指數(shù)規(guī)律迅速減小。隱藏故障的概率模型如下：

過電流保護(hù)隱藏故障概率PHF與線路電流的大小有關(guān)。線路電流I大于過電流保護(hù)第Ⅲ段的整定值I3時隱藏故障概率為常數(shù)PI，而線路電流I在0.1I3和I3范圍內(nèi)時隱藏故障概率按直線規(guī)律迅速減小至0，在線路電流I小于0.1I3時隱藏故障概率為0。概率模型如下：

現(xiàn)有的用來描述母線和發(fā)電機(jī)保護(hù)隱藏故障的概率模型如圖2所示。

圖2 母線和發(fā)電機(jī)保護(hù)的隱藏故障特性

圖2 顯示了發(fā)電機(jī)或母線保護(hù)的隱藏故障特性。當(dāng)電壓（或無功）維持在一個正常的范圍內(nèi)時，保護(hù)誤動作的概率可以忽略不計(jì)。然而電壓（或無功）一旦越界，誤動作就極可能發(fā)生。為了模擬仿真計(jì)算，我們以無功量的范圍來評估保護(hù)的誤動率。

2 馬爾可夫小概率事件統(tǒng)計(jì)模型

馬爾可夫模型是統(tǒng)計(jì)模型，它用來描述一個含有隱含未知參數(shù)的馬爾可夫過程。其難點(diǎn)是從可觀察的參數(shù)中確定該過程的隱含參數(shù)，然后利用這些參數(shù)來做進(jìn)一步的分析，例如模式識別。在正常的馬爾可夫模型中，狀態(tài)對于觀察者來說是直接可見的，這樣狀態(tài)的轉(zhuǎn)換概率便是全部的參數(shù)。而在隱馬爾可夫模型中，狀態(tài)并不是直接可見的，但受狀態(tài)影響的某些變量則是可見的。每一個狀態(tài)在可能輸出的符號上都有一概率分布，因此輸出符號的序列能夠透露出狀態(tài)序列的一些信息。

馬爾可夫鏈，是數(shù)學(xué)中具有馬爾可夫性質(zhì)的離散時間隨機(jī)過程。該過程中，在給定當(dāng)前知識或信息的情況下，過去（即當(dāng)期以前的歷史狀態(tài)）對于猜測將來（即當(dāng)期以后的未來狀態(tài)）是無關(guān)的。馬爾可夫鏈?zhǔn)菨M足下面兩個假設(shè)的一種隨機(jī)過程：（1）t＋l時刻系統(tǒng)狀態(tài)的概率分布只與t時刻的狀態(tài)有關(guān)，與t時刻以前的狀態(tài)無關(guān)；（2）從t時刻到t＋l時刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移與t的值無關(guān)。馬爾可夫鏈模型如圖3所示。

圖3 馬爾可夫鏈模型

我們定義的離散時間小增益如下［4］：

假設(shè)A是一個可以看作馬爾可夫鏈模型的小概率事件，所以這是不太可能根據(jù)P（A）來直接進(jìn)仿真模擬的，因?yàn)槠湫枰ㄙM(fèi)大量的計(jì)算時間和資源。例如，假設(shè)P（A）是一個n采樣值（X1，…，Xn）的伯努力分布變量（Xi是通過馬爾可夫鏈軌跡計(jì)算得出）：

所以這里我們要引進(jìn)重要采樣的概念和定義：如果P和P＊是相互獨(dú)立連續(xù)的2個概率，就可以得出P（A）＝因此，我們就可以利用一個n采樣值（ω1，…，ωn）的分布P＊使得P＊（A）P（A），然后得出：

根據(jù)馬爾可夫鏈性質(zhì)，對于所有指數(shù)變化（概率變化）的線性變換P→是漸進(jìn)線性最佳的，它可以使取最小值。

3 重要采樣原理

假設(shè)（X1，…，Xn）是伯努力分布隨機(jī)變量，則P｛Xi＝1｝＝P（A）＝P｛Xi＝0｝，由此我們估計(jì)P（A）值為：

可以看出這種方法計(jì)算量是極大的。

重要采樣原理就是用一個較大的概率pp代替原來較小的概率p，從而使小概率事件在模擬仿真中出現(xiàn)的次數(shù)大大增加。下面以圖4中簡單的4節(jié)點(diǎn)模型來說明重要采樣的基本原理。

圖4 簡單的%節(jié)點(diǎn)模型

當(dāng)線路1跳開（2、3和5沒有跳），這時的線路2、5和6存在誤動作的可能，如果此時2、5跳開（6沒有），這樣母線2就被孤立了，這就是一次簡單的仿真過程（因?yàn)槟妇€一旦孤立，意味著大面積的停電），計(jì)數(shù)為1。但是我們并非由式（7）那樣去計(jì)算相應(yīng)概率，而是采用基于馬爾可夫小概率事件統(tǒng)計(jì)模型的重要采樣模型。我們可以得到：

p3（1－p）4表示聯(lián)鎖故障發(fā)生的實(shí)際概率，pp3（1－pp）4表示仿真模擬中設(shè)定的聯(lián)鎖故障發(fā)生的概率，由此我們可以得到故障概率的計(jì)算公式（由前一部分的結(jié)論得到）：

4 算法

我們的計(jì)算方法是基于馬爾可夫小概率事件統(tǒng)計(jì)模型的重要采樣模型，那么根據(jù)第3部分的介紹，關(guān)于參考概率即pp的選擇是非常重要的。如果我們定義每條線路的pp值均相同，那么每次得到的計(jì)算結(jié)果將會不同（由性質(zhì)決定）。所以我們定義pp值如下：

式中，pj是線路實(shí)際誤動作的概率；μj是0～1之間的隨機(jī)數(shù)。

開始仿真之前我們需要得到網(wǎng)絡(luò)中基本的負(fù)荷流動情況，然后選擇一條線路作為觸發(fā)線路，重復(fù)算法N次（前面已經(jīng)介紹）。

（1）查看所有與觸發(fā)線路所在母線相連的線路，它們都是潛在的誤動線路。

（2）查看所有節(jié)點(diǎn)無功越限情況，并得出發(fā)電機(jī)保護(hù)的誤動率（圖2）。

（3）如果發(fā)電機(jī)保護(hù)誤動作，則將所有與之母線相連的線路加入潛在的誤動線路名單。

（4）計(jì)算功率流動情況（牛頓法），并查看區(qū)域功率是否平衡及頻率是否穩(wěn)定。

（5）計(jì)算線路阻抗，查看誤動作概率（圖1）。

（7）記錄動作線路號。

（8）當(dāng)由線路動作導(dǎo)致母線孤立或系統(tǒng)失去負(fù)荷過多時，停止仿真，這表示系統(tǒng)將瓦解。

5 參考算例

下面以一個39節(jié)點(diǎn)的系統(tǒng)（圖5）為例，給出相關(guān)的參考算例，在概率鏈及概率距的層面上說明此算法的意義和相關(guān)的結(jié)論。

圖5 $’母線系統(tǒng)

表1條件下仿真結(jié)果概率P＝0.001 1，表2條件下仿真結(jié)果概率P＝0.000 362 9。仿真結(jié)果表明：對于線路6而言，0.001 1／0.000 362 9＝3.03＞0.05／0.025＝2，所以很明顯線路6是一條非常敏感的線路，而且此線路極易造成誤動作。

6 結(jié)語

本文先分析了繼電保護(hù)隱藏故障的概率特性，然后通過對繼電保護(hù)裝置隱藏故障的動作機(jī)理的討論，并利用保護(hù)裝置隱藏故障概率模型及基于馬爾可夫模型的小概率事件統(tǒng)計(jì)模型，給出了一種重要采樣的仿真方法，建立了輸電線路聯(lián)鎖跳閘的概率模型。最后，利用實(shí)際數(shù)據(jù)分析了算例，驗(yàn)證了模型的合理性，且對電力系統(tǒng)線路保護(hù)的可靠性做出了分析，分析結(jié)果對聯(lián)鎖故障風(fēng)險(xiǎn)評估具有參考價值。

表1 定義 (()!.!&且以線路*為觸發(fā)線路的仿真結(jié)果

表2 定義 (()!.!#&且以線路*為觸發(fā)線路的仿真結(jié)果

［1］J.S.Thorp，A.G.Phadke，S.H.Horowitz，et al.Anatomy of power system disturbances：importance sampling［J］.International Journal of Electrical Power ＆ Energy Systems，1998，20（2）：147～152

［2］ M.Cottrell，J.Fort，G.Malgouyres.Large deviations and rare events in the study of stochastic alg orithms［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1983，28（9）：907～920

［3］熊小伏，蔡偉賢，周家啟，等.繼電保護(hù)隱藏故障造成輸電線路連鎖跳閘的概率模型［J］.電力系統(tǒng)自動化，2008，32（13）：6～10

［4］K.Bae，J.S.Thorp.A stochastic study of hidden failures in power system protection［J］.Decision Support Systems，1999，24（3）：259～268