高速圓柱滾子軸承動力學分析

王風濤，景敏卿，劉 恒

(西安交通大學 機械工程學院，陜西 西安 710049)

高速圓柱滾子軸承動力學分析

王風濤，景敏卿，劉 恒

(西安交通大學 機械工程學院，陜西 西安 710049)

建立相應坐標系，對滾動軸承中滾子與滾道、滾子與保持架、保持架與引導套圈之間的相互幾何作用進行分析，計算出各部件之間作用力和力矩，采用牛頓-歐拉方程建立6自由度滾動軸承動力學模型，對滾動軸承進行動力學分析，為圓柱滾子軸承設計提供理論依據。

高速圓柱滾子軸承；6自由度；動力學分析

Abstract:high speed cylindrical roller bearing , 6 DOF, dynamic analysis

1 前言

滾動軸承由于其具有的摩擦系數小、極限轉速高、結構簡單、制造成本低、易達到較高制造精度等諸多優點，在現代工業中有著廣泛的應用。但隨著旋轉機械朝著高速化、高精度、高可靠性發展，對滾動軸承動態性能要求越來越高，且滾動軸承基本組成部件及相互間的潤滑膜本身也構成了一個較為復雜的多場耦合動力系統，這對滾動軸承的設計仿真技術提出了較高的要求，而滾動軸承動力學仿真無疑是其中最重要的組成部分[1]。

在滾動軸承動力學設計仿真方面，國外一直處于領先地位：R.J.Klecrnet等[2]以擬靜力學理論為基礎研制了圓柱滾子軸承分析程序CYBEAN；Hadden等[3]以擬動力學模型為基礎開發了SHABERTH程序；日本NSK公司[4]以擬動力學為基礎開發了滾動軸承分析軟件BRAIN；Walters[5]首先以動力學模型為基礎編寫了仿真程序BASDAP；Gupta[6]根據六自由度滾動軸承動力學模型為基礎編制了較為全面仿真程序 ADORE；瑞典SKF公司與PELAB[7]合作開發了三維滾動軸承動力學仿真軟件包BEAST； Sadehi.F[8]在FAG資助下也開發了滾動軸承動力學仿真分析程序。在國內，很多學者也進行了相應滾動軸承仿真技術的開發，但多數以擬靜力學分析和擬動力學分析為主[9-11]，雖然也有相關學者開發了動力學分析程序，但并沒有實現滾動軸承6自由度動力學仿真分析[12-15]。

針對滾動軸承動力學發展趨勢，本文以Hertz線接觸理論和空間幾何理論為基礎，對軸承各部件之間的相互作用關系進行分析，采用牛頓-歐拉方程建立6自由度圓柱滾子軸承多體動力學模型，以變步長龍格-庫塔數值積分方法求解該模型，獲得了軸承各部件動態特性分析結果，實現軸承的運動學和動力學分析，尋找軸承結構參數與其動態特性之間的聯系，為圓柱滾子軸承設計提供理論依據與參考。

2 動力學建模

鑒于圓柱滾子軸承實際物理模型較復雜，為了便于進行建模分析，做以下假設：零件質心與形心重合；軸承各部件都是剛性的，忽略柔性變形，接觸時產生局部彈性變形；外圈與軸承座固結，內圈限制軸向運動，其它部件為六自由度；保持架兜孔為矩形；軸承內部溫度恒定。

為了方便進行部件受力分析，如圖1 所示，需要建立以下坐標系：全局慣性坐標系OXYZ，滾子定體坐標系BXbYbZb，滾子方位坐標系AXaYaZa，套圈定體坐標系RXrYrZr，保持架定體坐標系CXcYcZc，兜孔坐標系DXdYdZd，其它坐標系（根據需要建立），坐標之間的轉換矩陣采用卡登角[6,14]建立。

圖1 圓柱滾子軸承坐標系

2.1 滾子與套圈相互作用

為了考慮滾子的凸度及滾子傾斜、歪斜時與滾道的作用關系，對滾子進行切片處理，針對滾子的每片與套圈的作用關系進行分析。滾子與套圈的相互作用關系如圖2 所示：接觸坐標系中，滾子與套圈法向接觸力Q，切向牽引力Ft。

圖2 滾子與套圈相互作用圖

滾子方位坐標系中，作用于滾子的力矢量為：

式中：Tpa——接觸坐標系到滾子方位坐標系的轉換矩陣。

慣性坐標系中，作用于套圈的力矢量為：

式中：Tai——滾子方位坐標系到慣性坐標系的轉換矩陣。

滾子定體坐標系中，滾子的力矩矢量為：

式中： Tib——慣性坐標系到滾子定體坐標系的轉換矩陣，

套圈定體坐標系中，套圈的力矩矢量為：

式中：Tir——慣性坐標系到套圈定體坐標系的轉換矩陣，

滾子與滾道總的作用力：

滾子與滾道總的作用力矩為：

式中：s ——滾子切片數。

2.2 滾子與保持架相互作用

為了考慮滾子的凸度及滾子傾斜、歪斜時與保持架的作用關系，對滾子進行切片處理，針對滾子的每片與保持架作用關系進行分析。滾子與保持架的相互作用關系如圖3 所示：兜孔坐標系中，滾子與保持架兜孔左側法向接觸力Qcb2，牽引力Fcb2；滾子與保持架兜孔右側法向作用力Qcb1，牽引力Fcb1。

圖3 滾子與保持架相互作用圖

滾子與兜孔左側作用時，滾子方位坐標系中，作用于滾子的力矢量為：

式中：Tdc——兜孔坐標系到保持架坐標系的轉換矩陣，

Tci——保持架坐標系到慣性坐標系的轉換矩陣。

慣性坐標系中，作用于保持架力矢量為：

滾子定體坐標系中，滾子力矩矢量為：

保持架定體坐標系中，套圈力矩矢量為：

滾子與兜孔右側作用時，采用同樣方法獲得：作用于滾子的力矢量，力矩矢量；作用于保持架力矢量，力矩矢量。

滾子與保持架總的作用力為：

滾子與保持架總的作用力矩為：

式中：s ——滾子切片數。

2.3 保持架與套圈相互作用

保持架與引導套圈的相互作用關系如圖4所示：接觸坐標系中，保持架與套圈的法向接觸力Qcr，切向牽引力Fcr。

圖4 保持架與套圈相互作用圖

慣性坐標系中，引導套圈對保持架作用力矢量為：

式中：Tpr——接觸坐標系到套圈坐標系的轉換矩陣。

保持架對引導套圈作用力矢量為：

保持架坐標系中，保持架的作用力矩矢量為：

套圈坐標系中，套圈作用力矩矢量為：

2.4 滾子與擋邊相互作用

滾子與套圈擋邊的相互作用關系如圖5 所示：接觸坐標系中，滾子與左側擋邊的法向接觸力Qbf1，牽引力Fbf1；滾子與右側擋邊的法向接觸力Qbf2，牽引力Fbf2。

圖5 滾子與擋邊相互作用圖

滾子與左側擋邊作用時，滾子方位坐標系中，作用于滾子的力矢量為：

式中：Tfi——左邊擋邊坐標系到慣性坐標系的轉換矩陣。

慣性坐標系中，作用于套圈力矢量為：

滾子定體坐標系中，滾子力矩矢量為：

套圈定體坐標系中，套圈力矩矢量為：

滾子與右側擋邊作用時，采用同樣的方法獲得：作用于滾子的力矢量，力矩矢量作用于套圈力矢量，力矩矢量。

滾子與擋邊總的作用力為：

滾子與擋邊總的作用力矩為：

2.5 動力學系統方程

獲得圓柱滾子軸承部件之間相互作用關系后，采用牛頓—歐拉動力學方程建立圓柱滾子軸承的運動控制方程。

內圈在慣性坐標系中建立質心受力運動微分方程，內圈定體坐標系中建立力矩運動微分方程：

式中： mr——內圈質量，

Irx、Iry和Irz——內圈的轉動慣量，

其中 ：

考慮到滾子的受力方向，在慣性圓柱坐標系中建立單個滾子的質心受力運動微分方程，滾子定體坐標系中建立力矩運動微分方程：

式中： mb——滾子質量，

Ibx、Iby和Ibz——滾子的轉動慣量，

Nb——滾子數目。

其中：

保持架在慣性坐標系中建立質心受力運動微分方程，保持架定體坐標系中建立力矩運動微分方程：

式中： mc——保持架質量，

Icx、Icy和Icz——保持架的轉動慣量。

其中：

2.6 擬靜力學

由于滾動軸承動力學模型較為復雜，計算量大，而且不易收斂，因此為了使動力學求解快速收斂，獲得理想的結果，采用擬靜力學分析結果作為動力學分析的初值，具體建模過程參考Gupta的著作[6]。

3 動力學程序結構

根據上述滾子軸承的受力分析和運動控制方程建立圓柱滾子軸承動力學分析模型，通過相應的數值求解方法進行求解，可以獲得各個部件質心相應的動態響應，因此圓柱滾子軸承整個動力學分析程序結構如圖6 所示。

圖6 程序結構圖

4 程序仿真結果

4.1 圓柱滾子軸承參數

圓柱滾子軸承幾何參數和材料參數如表1所示。滾子軸承的潤滑參數具體如下：滾子/套圈、滾子/保持架和保持架/套圈：K0=0，km=0.05，k∞=0.04，um=2.0m/s；材料參數：彈性模量2.0×1011N/m2，密度7.75× 103kg/m3，泊松比0.25。

工況：內圈轉速20 000r/min，徑向載荷15 000N。

表1 圓柱滾子軸承參數

4.2 擬靜力學仿真結果

從圖7 擬靜力學的分析結果可以看出：軸承中主要有5個滾子承受載荷，第7個滾子承受載荷最大，而且所有滾子都有徑向位移，同時根據已有文獻分析[9]可知：除了受載區滾子由于承受內圈作用，徑向位移值較大外，其他滾子由于離心力與外滾道發生作用，它們的徑向位移值基本一致。

圖7 擬靜力學分析結果

圖8 滾子1軸向位移

圖9 滾子1徑向位移

圖10 滾子1公轉速度

4.3 滾子動力學仿真結果

由圖8 ～圖14 可以看出：滾子運動狀態從0.07s開始趨于穩定；滾子軸向位移經過最終的距離震蕩之后，漸漸趨于穩定；滾子徑向位移呈現周期性振動，振動最大幅值與擬靜力學分析結果接近；從滾子的公轉速度和自轉速度可以看出，滾子在進出受載區時，出現加速與減速現象；根據現有經驗公式獲得滾子的公轉速度為886.1rad/ s，自轉速度為6 645.7rad /s，而本程序仿真出的公轉速度和自轉速度與已有經驗公式的值基本一致，雖有誤差，但在誤差允許范圍之內；滾子傾斜與歪斜（滾子繞坐標軸Zb的擺動為歪斜，繞坐標軸Yb的擺動為傾斜）經過開始的震蕩后，也趨于穩定，而相應角度值出現周期規律，最大幅值為0.005 3rad，相對較小，說明軸承系統趨于穩定。

圖11 滾子1自轉速度

圖12 滾子1傾斜角

圖13 滾子1歪斜角

圖14 內圈豎直位移

圖15 內圈水平位移

圖16 內圈傾斜角

圖17 內圈歪斜角

圖18 保持架空間質心軌跡

圖19 保持架轉速

圖20 保持架傾斜角

圖21 保持架歪斜角

4.4 內圈動力學仿真結果

由圖14 ～圖17 可以看出：與滾子分析結果類似，內圈的運動狀態從0.07s開始趨于穩定；內圈的豎直振動和水平振動逐漸趨于穩定，并且呈現周期性振動；滾子在進入受載區時，內圈的振動就會增大，這是由于內圈在受載區與滾子作用造成，出受載區之后，滾子由于離心力影響不再與內圈接觸，此時內圈的振動位移又會下降；內圈的傾斜角與歪斜角（內圈繞坐標軸Zr的擺動為歪斜，繞坐標軸Yr的擺動為傾斜）呈現周期性規律，但擺角較小，對軸承系統影響較小。

4.5 保持架動力學仿真結果

由圖18 ～圖21 可以看出：從0.07s開始，保持架的振動逐漸趨于穩定，且振動趨勢與國內外相關學者[8,14]分析結果在趨勢上較為接近，振動幅值為保持架與引導套圈的間隙值；保持架的軸向位移極值也為滾子與保持架的軸向間隙；保持架的轉速也是0.07s以后趨于穩定狀態，并且在一個恒定值附近波動，與滾子的公轉速度規律基本一致，符合現有文獻中的結果；保持架出現負歪斜角和負傾斜角（保持架繞坐標軸Zc的擺動為歪斜，繞坐標軸Yc的擺動為傾斜），這是載荷過大引起的；同時由于承受相對較大的徑向載荷，保持架的打滑率較小。

5 結束語

已開發的圓柱滾子軸承6自由度動力學分析程序，可以獲得滾子、保持架和套圈的運動狀態，也可輸出相應的作用力與力矩，了解軸承的動態特性，為圓柱滾子軸承的設計提供理論依據。

為了獲得更加接近實際的圓柱滾子軸承分析結果，改進軸承固態潤滑模型，后續需要引入彈流潤滑模型，進而可以更加真實、精確地模擬圓柱滾子軸承的動力學特性，指導圓柱滾子軸承的設計工作。

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（編輯：鐘 媛）

Dynamic analysis of high speed cylindrical roller bearing

Wang Fengtao,Jing Minqing, Liu Heng
( School of Mechanical Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049,China)

The corresponding coordinate systems are set up, the geometric interactions between roller and raceway, between roller and cage, between cage and guide ring are analyzed, and then the Newton-Euler equation is adopted to establish the six degrees of freedom dynamic model of cylindrical roller bearing, the dynamic analysis of high speed cylindrical roller bearing is made. The theoretical basis is provided for the design of cylindrical roller bearing based on the dynamic result.

TH 133.33+2

A

1672-4852（2014）04-0003-07

2014-08-13.

王風濤（1985-），男， 在讀博士.