復雜介質球對平面波電磁散射的解析解

翁海峰+陳建+田印炯

摘 要：利用球矢量波函數對復雜介質球電磁散射的解析解開展了理論研究，并給出了數值計算結果。方法是從無源麥克斯韋方程組，結合媒介的本征結構推導出含參數的矩陣方程，再由矩陣方程的非零解的存在條件解出方程中的參數，然后將解出的參數反代入矩陣方程得到矩陣方程的非零解，進而推出介質球中的電磁場的解析表達式，再利用在復雜介質球表面電場、磁場所滿足的邊界條件求得散射場。

關鍵詞：復雜媒介；矢量球波函數；電磁散射

中圖分類號：TN011；O441 文獻標識碼：A 文章編號：2095-1302（2014）02-0061-02

0 引 言

在過去的幾十年中，研究物體的電磁散射對射頻識別有著重要的意義，其中對于各向異性的介質球的電磁散射研究一直比較熱。各種數值方法被提出來，如時域有限差分法、有限元法、邊界元法。由于解析法可以為其他數值計算提供比較有效的數據，可以對數值計算結果的正確性進行驗證，成為許多學者的追求[1-3]。文獻[2]首次用T矩陣法來研究旋磁介質球電磁散射，隨后該方法被其他學者用來研究單軸媒介、旋電磁介質球的散射[5]。

本文借助T矩陣法研究復雜介質球的電磁散射。文中的復雜介質是在各項異性媒介的本征方程的基礎上增加一個新的張量，在本構式子中，電場磁場之間存在耦合。

1 基公式及原理

在無源均勻的媒質中電磁場滿足的麥克斯韋方程為（時間因子eiωt）：

（1）

圖1所示的介質球的半徑為α，球心位于原點。區域0為自由空間，介電常數和磁導率分別為ε0和μ0。區域1中的介質本征結構方程為：

（2）

介質參數的各張量的表達式分別為：

（3）

圖1 復雜介質球示意圖

將式（2）帶入到麥克斯韋方程組式（1）并對其進行化簡，最終可以得出下列方程：

（4）

其中=ω2εSμS。

1.1 介質球內部的電磁場展開

根據矢量球波函數的性質以及磁場所滿足的麥克斯韋方程，介質球內的磁場Bint可以展開為[2]：

（5）

其中k為待定參數，[2]，E0表示入射電場的場強。將式（4）中與Bint相關的量轉換為球矢量波函數的表達式并代入式（4）最后整理得到：

（6）

由矢量波函數M，N的性質可以推出：

（7）

其中是由媒介的張量決定的。

（8）

上式表達的含義是：存在這樣的參數k使得方程有非零解。由矩陣的知識可知：只需令式（8）的行列式為0，解出參數k記解為kl，（l=1，2，3…）再用kl代入式（8），求出方程不為0的解 [dmnl，cmnl]-1即可。可以構造一新的矢量函數Vl：

球內部的磁感應強度Bint可以表示為：

αl為待定系數，由介質球體表面的邊界條件決定。這樣磁場就可以得到：

同樣電場可以得到：，可設：

1.2 介質球外部入射場和散射場

散射場和入射場分別定義為：ES，HS和EI，HI利用邊界條件可以得到[2]：

這樣就得到了散射場中的系數amn，bmn。式中的mS=kS/k0，， ，，x=k0a，而ψn（z）和ξn（z）是里卡蒂 -貝塞耳函數。

2 數值結果

找到了文獻中這樣的數值計算結果，便可計算一個特例。令張量，退化為各向異性的介質球。從圖2可以看到，其與參考文獻[5]的數據有一個較好的匹配。從而說明了本方法和程序的正確性。

圖2 退化為各項異性的介質球

圖3 復雜介質球的RCS

圖4 E面和H面的雷達散射截面

圖5 在E面的前向散射和后向散射

圖3中張量的各個參數分別為εS=2ε0，μSμt=4μ0，εSεg=0.4ε0，εSεt=4ε0，μSμg=0.4μ0，μS=2μ0，ξS=0.3/c，ξt=ξg=0，設c是光在真空的速度且x=0.5π。這樣，從圖中可以看到，在大約50°的地方，在H面雷達散射截面RCS達到了最小的值。圖4所示是顯示張量中的參數張量參數為μS=μ0，εSεg=0.6ε0，μg=0，εSεt=2ε0，ξ=0.3/c，ξt=ξg=0，x=0.6π。圖5說明球的前向散射和后向散射各參數分別為：μS=μ0，εS=2ε0，μSμt=2μ0，εSεt=2ε0，εg=0，μSμg=0.5μ0，ξ=0.3/c，ξt=ξg=0，x=0.45π。

3 結 語

本文給出了三個張量的復雜媒介的球散射解析解，同時給出了一些算例。所增加的張量可以推廣到更一般的形式。這是從各向異性到雙各項異性邁出的一小步。接下來需要對雙各向異性介質球電磁散射的解析解開展深入研究。

參 考 文 獻

[1] GENG Y L， WU X B， LI L W， et al. Mie scattering by a uniaxial anisotropic sphere [J]. Physical Review E， 2004， 70（5）： 0566091-0566098.

[2] LIN Z F，CHUI S T. Electromagnetic scattering by optically anisotropic magnetic particle [J]. Physical Review E， 2004， 69（5）： 0566141-05661414 .

[3] LIU M K， JI N， LIN Z F， et al. Radiation torque on a birefringent sphere caused by an electromagnetic wave [J]. Physical Review E， 2005， 72（5）： 0566101-05661013.

[4] LIU S Y， LIN Z F. Opening up complete photonic bandgaps in three-dimensional photonic crystals consisting of biaxial dielectric spheres [J]. Physical Review E， 2006，73（5）： 0666091-066609111.

[5] LI L W， W L ONG. A new solution for characterizing electromagnetic scattering by a gyroelectric sphere [J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagte， 2011， 59（9）： 3370-3378.

摘 要：利用球矢量波函數對復雜介質球電磁散射的解析解開展了理論研究，并給出了數值計算結果。方法是從無源麥克斯韋方程組，結合媒介的本征結構推導出含參數的矩陣方程，再由矩陣方程的非零解的存在條件解出方程中的參數，然后將解出的參數反代入矩陣方程得到矩陣方程的非零解，進而推出介質球中的電磁場的解析表達式，再利用在復雜介質球表面電場、磁場所滿足的邊界條件求得散射場。

關鍵詞：復雜媒介；矢量球波函數；電磁散射

中圖分類號：TN011；O441 文獻標識碼：A 文章編號：2095-1302（2014）02-0061-02

0 引 言

在過去的幾十年中，研究物體的電磁散射對射頻識別有著重要的意義，其中對于各向異性的介質球的電磁散射研究一直比較熱。各種數值方法被提出來，如時域有限差分法、有限元法、邊界元法。由于解析法可以為其他數值計算提供比較有效的數據，可以對數值計算結果的正確性進行驗證，成為許多學者的追求[1-3]。文獻[2]首次用T矩陣法來研究旋磁介質球電磁散射，隨后該方法被其他學者用來研究單軸媒介、旋電磁介質球的散射[5]。

本文借助T矩陣法研究復雜介質球的電磁散射。文中的復雜介質是在各項異性媒介的本征方程的基礎上增加一個新的張量，在本構式子中，電場磁場之間存在耦合。

1 基公式及原理

在無源均勻的媒質中電磁場滿足的麥克斯韋方程為（時間因子eiωt）：

（1）

圖1所示的介質球的半徑為α，球心位于原點。區域0為自由空間，介電常數和磁導率分別為ε0和μ0。區域1中的介質本征結構方程為：

（2）

介質參數的各張量的表達式分別為：

（3）

圖1 復雜介質球示意圖

將式（2）帶入到麥克斯韋方程組式（1）并對其進行化簡，最終可以得出下列方程：

（4）

其中=ω2εSμS。

1.1 介質球內部的電磁場展開

根據矢量球波函數的性質以及磁場所滿足的麥克斯韋方程，介質球內的磁場Bint可以展開為[2]：

（5）

其中k為待定參數，[2]，E0表示入射電場的場強。將式（4）中與Bint相關的量轉換為球矢量波函數的表達式并代入式（4）最后整理得到：

（6）

由矢量波函數M，N的性質可以推出：

（7）

其中是由媒介的張量決定的。

（8）

上式表達的含義是：存在這樣的參數k使得方程有非零解。由矩陣的知識可知：只需令式（8）的行列式為0，解出參數k記解為kl，（l=1，2，3…）再用kl代入式（8），求出方程不為0的解 [dmnl，cmnl]-1即可。可以構造一新的矢量函數Vl：

球內部的磁感應強度Bint可以表示為：

αl為待定系數，由介質球體表面的邊界條件決定。這樣磁場就可以得到：

同樣電場可以得到：，可設：

1.2 介質球外部入射場和散射場

散射場和入射場分別定義為：ES，HS和EI，HI利用邊界條件可以得到[2]：

這樣就得到了散射場中的系數amn，bmn。式中的mS=kS/k0，， ，，x=k0a，而ψn（z）和ξn（z）是里卡蒂 -貝塞耳函數。

2 數值結果

找到了文獻中這樣的數值計算結果，便可計算一個特例。令張量，退化為各向異性的介質球。從圖2可以看到，其與參考文獻[5]的數據有一個較好的匹配。從而說明了本方法和程序的正確性。

圖2 退化為各項異性的介質球

圖3 復雜介質球的RCS

圖4 E面和H面的雷達散射截面

圖5 在E面的前向散射和后向散射

圖3中張量的各個參數分別為εS=2ε0，μSμt=4μ0，εSεg=0.4ε0，εSεt=4ε0，μSμg=0.4μ0，μS=2μ0，ξS=0.3/c，ξt=ξg=0，設c是光在真空的速度且x=0.5π。這樣，從圖中可以看到，在大約50°的地方，在H面雷達散射截面RCS達到了最小的值。圖4所示是顯示張量中的參數張量參數為μS=μ0，εSεg=0.6ε0，μg=0，εSεt=2ε0，ξ=0.3/c，ξt=ξg=0，x=0.6π。圖5說明球的前向散射和后向散射各參數分別為：μS=μ0，εS=2ε0，μSμt=2μ0，εSεt=2ε0，εg=0，μSμg=0.5μ0，ξ=0.3/c，ξt=ξg=0，x=0.45π。

3 結 語

本文給出了三個張量的復雜媒介的球散射解析解，同時給出了一些算例。所增加的張量可以推廣到更一般的形式。這是從各向異性到雙各項異性邁出的一小步。接下來需要對雙各向異性介質球電磁散射的解析解開展深入研究。

參 考 文 獻

[1] GENG Y L， WU X B， LI L W， et al. Mie scattering by a uniaxial anisotropic sphere [J]. Physical Review E， 2004， 70（5）： 0566091-0566098.

[2] LIN Z F，CHUI S T. Electromagnetic scattering by optically anisotropic magnetic particle [J]. Physical Review E， 2004， 69（5）： 0566141-05661414 .

[3] LIU M K， JI N， LIN Z F， et al. Radiation torque on a birefringent sphere caused by an electromagnetic wave [J]. Physical Review E， 2005， 72（5）： 0566101-05661013.

[4] LIU S Y， LIN Z F. Opening up complete photonic bandgaps in three-dimensional photonic crystals consisting of biaxial dielectric spheres [J]. Physical Review E， 2006，73（5）： 0666091-066609111.

[5] LI L W， W L ONG. A new solution for characterizing electromagnetic scattering by a gyroelectric sphere [J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagte， 2011， 59（9）： 3370-3378.

摘 要：利用球矢量波函數對復雜介質球電磁散射的解析解開展了理論研究，并給出了數值計算結果。方法是從無源麥克斯韋方程組，結合媒介的本征結構推導出含參數的矩陣方程，再由矩陣方程的非零解的存在條件解出方程中的參數，然后將解出的參數反代入矩陣方程得到矩陣方程的非零解，進而推出介質球中的電磁場的解析表達式，再利用在復雜介質球表面電場、磁場所滿足的邊界條件求得散射場。

關鍵詞：復雜媒介；矢量球波函數；電磁散射

中圖分類號：TN011；O441 文獻標識碼：A 文章編號：2095-1302（2014）02-0061-02

0 引 言

在過去的幾十年中，研究物體的電磁散射對射頻識別有著重要的意義，其中對于各向異性的介質球的電磁散射研究一直比較熱。各種數值方法被提出來，如時域有限差分法、有限元法、邊界元法。由于解析法可以為其他數值計算提供比較有效的數據，可以對數值計算結果的正確性進行驗證，成為許多學者的追求[1-3]。文獻[2]首次用T矩陣法來研究旋磁介質球電磁散射，隨后該方法被其他學者用來研究單軸媒介、旋電磁介質球的散射[5]。

本文借助T矩陣法研究復雜介質球的電磁散射。文中的復雜介質是在各項異性媒介的本征方程的基礎上增加一個新的張量，在本構式子中，電場磁場之間存在耦合。

1 基公式及原理

在無源均勻的媒質中電磁場滿足的麥克斯韋方程為（時間因子eiωt）：

（1）

圖1所示的介質球的半徑為α，球心位于原點。區域0為自由空間，介電常數和磁導率分別為ε0和μ0。區域1中的介質本征結構方程為：

（2）

介質參數的各張量的表達式分別為：

（3）

圖1 復雜介質球示意圖

將式（2）帶入到麥克斯韋方程組式（1）并對其進行化簡，最終可以得出下列方程：

（4）

其中=ω2εSμS。

1.1 介質球內部的電磁場展開

根據矢量球波函數的性質以及磁場所滿足的麥克斯韋方程，介質球內的磁場Bint可以展開為[2]：

（5）

其中k為待定參數，[2]，E0表示入射電場的場強。將式（4）中與Bint相關的量轉換為球矢量波函數的表達式并代入式（4）最后整理得到：

（6）

由矢量波函數M，N的性質可以推出：

（7）

其中是由媒介的張量決定的。

（8）

上式表達的含義是：存在這樣的參數k使得方程有非零解。由矩陣的知識可知：只需令式（8）的行列式為0，解出參數k記解為kl，（l=1，2，3…）再用kl代入式（8），求出方程不為0的解 [dmnl，cmnl]-1即可。可以構造一新的矢量函數Vl：

球內部的磁感應強度Bint可以表示為：

αl為待定系數，由介質球體表面的邊界條件決定。這樣磁場就可以得到：

同樣電場可以得到：，可設：

1.2 介質球外部入射場和散射場

散射場和入射場分別定義為：ES，HS和EI，HI利用邊界條件可以得到[2]：

這樣就得到了散射場中的系數amn，bmn。式中的mS=kS/k0，， ，，x=k0a，而ψn（z）和ξn（z）是里卡蒂 -貝塞耳函數。

2 數值結果

找到了文獻中這樣的數值計算結果，便可計算一個特例。令張量，退化為各向異性的介質球。從圖2可以看到，其與參考文獻[5]的數據有一個較好的匹配。從而說明了本方法和程序的正確性。

圖2 退化為各項異性的介質球

圖3 復雜介質球的RCS

圖4 E面和H面的雷達散射截面

圖5 在E面的前向散射和后向散射

圖3中張量的各個參數分別為εS=2ε0，μSμt=4μ0，εSεg=0.4ε0，εSεt=4ε0，μSμg=0.4μ0，μS=2μ0，ξS=0.3/c，ξt=ξg=0，設c是光在真空的速度且x=0.5π。這樣，從圖中可以看到，在大約50°的地方，在H面雷達散射截面RCS達到了最小的值。圖4所示是顯示張量中的參數張量參數為μS=μ0，εSεg=0.6ε0，μg=0，εSεt=2ε0，ξ=0.3/c，ξt=ξg=0，x=0.6π。圖5說明球的前向散射和后向散射各參數分別為：μS=μ0，εS=2ε0，μSμt=2μ0，εSεt=2ε0，εg=0，μSμg=0.5μ0，ξ=0.3/c，ξt=ξg=0，x=0.45π。

3 結 語

本文給出了三個張量的復雜媒介的球散射解析解，同時給出了一些算例。所增加的張量可以推廣到更一般的形式。這是從各向異性到雙各項異性邁出的一小步。接下來需要對雙各向異性介質球電磁散射的解析解開展深入研究。

參 考 文 獻

[1] GENG Y L， WU X B， LI L W， et al. Mie scattering by a uniaxial anisotropic sphere [J]. Physical Review E， 2004， 70（5）： 0566091-0566098.

[2] LIN Z F，CHUI S T. Electromagnetic scattering by optically anisotropic magnetic particle [J]. Physical Review E， 2004， 69（5）： 0566141-05661414 .

[3] LIU M K， JI N， LIN Z F， et al. Radiation torque on a birefringent sphere caused by an electromagnetic wave [J]. Physical Review E， 2005， 72（5）： 0566101-05661013.

[4] LIU S Y， LIN Z F. Opening up complete photonic bandgaps in three-dimensional photonic crystals consisting of biaxial dielectric spheres [J]. Physical Review E， 2006，73（5）： 0666091-066609111.

[5] LI L W， W L ONG. A new solution for characterizing electromagnetic scattering by a gyroelectric sphere [J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagte， 2011， 59（9）： 3370-3378.