航行器水中運動數(shù)學(xué)模型及數(shù)值仿真

齊 強，陳志剛，周 源

(1.海軍航空工程學(xué)院飛行器工程系，山東煙臺 264001;2.海軍航空工程學(xué)院戰(zhàn)略工程導(dǎo)彈系，山東煙臺 264001）

航行器水中運動數(shù)學(xué)模型及數(shù)值仿真

齊 強1，陳志剛1，周 源2

(1.海軍航空工程學(xué)院飛行器工程系，山東煙臺 264001;2.海軍航空工程學(xué)院戰(zhàn)略工程導(dǎo)彈系，山東煙臺 264001）

根據(jù)水下垂直發(fā)射航行器水中運動的特點，利用質(zhì)心運動定理和繞質(zhì)心的動量矩定理，推導(dǎo)建立航行器水中運動的運動學(xué)模型和動力學(xué)模型。采用Matlab軟件中的ODE解算器，對建立的數(shù)學(xué)模型進行數(shù)值仿真，得到航行器水中運動的速度和姿態(tài)角。

水下垂直發(fā)射;數(shù)學(xué)模型;ODE解算器;數(shù)值仿真

0 引言

水下垂直發(fā)射的航行器，從發(fā)射筒中被彈射出去之后，要經(jīng)過水下航行器所特有的水中彈道。雖然航行器在水中的行程很短，只占全彈道很小的一部分，但由于水中力學(xué)環(huán)境復(fù)雜，它的設(shè)計和研究在水中航行器研制過程中占有很重要的地位。水中彈道設(shè)計計算的準確性直接影響到整個航行器系統(tǒng)的性能［1－2］。

無控航行器可以近似地看作自由剛體，在水中做六自由度運動，即質(zhì)心的運動和繞質(zhì)心的運動［3］。在不考慮發(fā)射海情的條件下，對水中運動的航行器進行受力分析，并通過質(zhì)心運動定理和相對于質(zhì)心的動量矩定理，建立航行器的運動學(xué)模型和動力學(xué)模型，確定航行器的6個自由度的運動，從而確定航行器在空間的任一瞬時的位置和姿態(tài)。

1 坐標系的建立

根據(jù)航行器水中運動模型的需要，文中建立發(fā)射坐標系、彈體坐標系和速度坐標系3個右手坐標系 (見圖1）。

發(fā)射坐標系原點o位于脫離發(fā)射筒時航行器浮心對應(yīng)的位置，ox軸指向發(fā)射方向，oy軸鉛垂向上。

彈體坐標系原點o1位于航行器浮心，o1x1軸與航行器縱軸重合指向航行器頭部，o1y1軸居于縱對稱面，指向上方。

速度坐標系原點o1位于航行器浮心，o1xv軸始終與航行器的速度矢量方向重合，o1yv軸在航行器的縱對稱面，指向上方。

設(shè)發(fā)射坐標系到彈體坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣為Az-z1，且

圖1 坐標系示意圖Fig.1 Diagram of coordinate system

2 航行器水中運動的受力分析

2.1 作用在航行器上的力和力矩

1）流體動力和流體動力矩

航行器在水中運動時受到流體動力和流體動力矩的作用，流體動力和流體動力矩的大小取決于流體介質(zhì)的性質(zhì)、航行器外形以及航行器的運動狀態(tài)［4－5］。將流體動力和流體動力矩分解到彈體坐標系，有:

式中:Cx1，Cy1和Cz1為流體動力因數(shù);mx1，my1和mz1為流體動力矩因數(shù);q為流體動壓力;S為航行器的最大橫截面積;L為航行器的長度。

2）重力

航行器所受到的重力為

其中m為航行器的質(zhì)量。

重力鉛垂向下，沿著發(fā)射坐標系oy軸負向，其在彈體坐標系中的3個分量為

航行器的浮心和重心不重合。設(shè)航行器重心在航行器的縱對稱軸上，且與航行器浮心之間的距離為lB，則航行器的重力矩MG在彈體坐標系中的分量為

3）浮力

航行器在水中運動時所受到的浮力大小為

式中:ρ為海水密度;V為航行器體積。

浮力是鉛垂向上的力，方向沿發(fā)射坐標系oy軸，在彈體坐標系中的分量為

2.2 航行器的附加慣性質(zhì)量

航行器所受的流體慣性力和慣性力矩根據(jù)理想流體慣性力計算，表現(xiàn)為航行器運動的附加質(zhì)量和附加轉(zhuǎn)動慣量［4，6］。在選定坐標系后，航行器的附加質(zhì)量僅與導(dǎo)彈的外形有關(guān)。在彈體坐標系中，航行器的附加質(zhì)量矩陣為

3 航行器運動學(xué)方程和動力學(xué)方程

3.1 運動學(xué)方程

1）航行器的質(zhì)心運動

以發(fā)射坐標系作為慣性參考系，在慣性參考系內(nèi)，假設(shè)航行器質(zhì)心的坐標為(x，y，z），那么航行器在發(fā)射坐標系中的速度為(˙x，˙y，˙z）。

設(shè)航行器的速度在彈體坐標系中的投影為(vx1，vy1，vz1），根據(jù)彈體坐標系到發(fā)射坐標系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，得到

2）航行器繞質(zhì)心的運動

設(shè)航行器的姿態(tài)角 (歐拉角）在發(fā)射坐標系中的分量分別為俯仰角θ、偏航角φ和滾轉(zhuǎn)角γ，那么航行器的歐拉角角速度為(˙θ，˙φ，˙γ）。

設(shè)航行器的角速度ω在彈體坐標系中的投影為(ωx1，ωy1，ωz1），根據(jù)坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系，有

3.2 動力學(xué)方程

根據(jù)動量定理和動量矩定理，航行器的動力學(xué)方程［3，5，7 －8］為

式中:I和I'分別為航行體和航行體周圍流體的動量矢量;L和L'分別為航行體和航行體周圍流體的動量矩矢量;ω為航行體的角速度矢量;v為航行體的速度矢量;F為航行體所受到的外力矢量之和;M為航行體所受到的外力矩矢量之和。

將式(3）～式(8）代入式(12）可以得到航行器水中運動的動力學(xué)方程組(13）和(14）。

4 算例

對于航行器水中運動模型，采用4階5級Runge-Kutta法［9］進行數(shù)值求解，可以保證數(shù)值解的高精度和穩(wěn)定性。由于Matlab軟件中的ODE解算器可以快速精確地計算常微分方程組，所以本文在Matlab環(huán)境中對航行器的運動學(xué)和動力學(xué)方程組進行求解。

計算中取航行器的質(zhì)量m=40 t，直徑D=2 m，長度L=12 m，發(fā)射深度H=28 m。

航行器水中運動的速度和姿態(tài)角的仿真曲線如圖2～圖5所示。

圖2 速度－時間曲線Fig.2 Velocity-time curve

圖3 姿態(tài)角－時間曲線Fig.3 Angle of attitude-time curve

圖4 角速度－時間曲線Fig.4 Angular velocity-time curve

圖5 航行器質(zhì)心空間位置曲線Fig.5 Diagram of centroid

航行器從離開發(fā)射筒到頭部出水之間的時間為0.64 s。航行器在頭部出水之前的速度為18.792m/s，俯仰角為85.425 7°。

航行器從發(fā)射筒中垂直發(fā)射出去之后，受到水動力的作用，航行器的速度、角速度和姿態(tài)角發(fā)生，特別是航行器的軸向速度和滾轉(zhuǎn)運動呈現(xiàn)急劇的變化。航行器的水中運動是加速度逐漸減小的減速過程。航行器運動速度大時加速度大，速度減小時加速度減小。

5 結(jié)語

本文建立的動力學(xué)模型和運動學(xué)模型可以很好地體現(xiàn)航行器的水中運動規(guī)律，所采用的數(shù)值計算方法快速準確地計算出了航行器的水中彈道，為航行器發(fā)射內(nèi)彈道和出水彈道計算提供理論參考。

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Mathematicalmodel and simulation for underwater motion of vehicle

QIQiang1，CHEN Zhi-gang1，ZHOU Yuan2
(1.Naval Aeronautical Engineering Institute，Department of Airborne Vehicle Engineering，Yantai264001，China;2.Naval Aeronautical Engineering Institute，Department of Strategic Missile Engineering，Yantai264001，China）

Based on features of vertical launching underwater，the kinematics model and dynamics model for underwater motion of vehicle were established by the theorem of centroid movement and the moment theorem.Themathematicalmodelwas simulated numericallywith the ODE solver ofMatlab.And the resultwas the velocity and attitude angle of vehicle in the underwatermotion.

vertical launching underwater;mathematicalmodel;ODE solver;numerical simulation

TJ02

A

1672－7649(2014）05－0080－04

10.3404/j.issn.1672－7649.2014.05.016

2013－04－09;

2013－05－06

齊強(1965－），男，博士，副教授，主要研究方向為發(fā)射工程。