基于隱馬爾可夫模型的線譜跟蹤技術

管景崇，胡金華

(海軍工程大學，湖北 武漢 430033）

基于隱馬爾可夫模型的線譜跟蹤技術

管景崇，胡金華

(海軍工程大學，湖北 武漢 430033）

線譜檢測和跟蹤是被動聲吶信號處理中的重要內容，本文給出一種基于隱馬爾可夫模型的線譜跟蹤方法。它采用前向后向算法對LOFAR譜圖上線譜進行狀態估計，然后根據連續檢驗對每根線譜的起始和終止時間進行檢測，實現對單根線譜和多根線譜的檢測與跟蹤。通過計算機仿真和海試數據處理，驗證了基于隱馬爾可夫模型的線譜跟蹤技術的有效性和穩定性。

隱馬爾可夫;被動聲吶;線譜檢測;線譜跟蹤

0 引言

隱馬爾可夫模型 (Hidden Markov Models，HMM）［1－2］是一種用參數表示，用于描述隨機過程統計特性的概率分布。它是一個雙重隨機過程，由馬爾可夫鏈和一般隨機過程組成。隱馬爾可夫模型適用于時間序列建模，并具有處理非線性時變信號的優勢，在語音識別、圖像處理、機器視覺及生物醫學等領域得到廣泛應用。

線譜跟蹤是被動聲吶信號處理的一個重要內容，對水下運動目標的檢測、跟蹤、識別及分類都具有重要作用，不僅有助于目標運動分析，而且還可用于對潛艇、魚雷等水下運動目標進行分類識別［3－5］。被動聲吶 (Low Frequency Analysis and Recording，LOFAR）譜圖包含豐富的目標信息，為提高目標檢測和識別性能，需要對LOFAR譜圖中的線譜進行自動檢測和跟蹤。

線譜跟蹤可看作是對LOFAR圖上線譜的估計，并抵消線譜周圍的噪聲。當進行線譜跟蹤時，通常需要估計線譜數目、線譜的起止時間，并同時處理相互交叉的線譜。由于線譜具有時變特性，其狀態可用1階馬爾可夫鏈來描述，因此可采用HMM實現線譜自動檢測和跟蹤［6－15］。

本文給出一種基于隱馬爾可夫模型的線譜跟蹤方法。它采用前向后向 (Forward Backward，FB）算法對LOFAR譜圖上線譜進行狀態估計，然后根據連續檢驗對每根線譜的起始和終止時間進行檢測。該方法屬于一種跟蹤置前檢測，能有效對多根線譜進行跟蹤，并能估計線譜的起止時間。通過計算機仿真和試驗數據處理，驗證了HMM線譜跟蹤的有效性和穩定性。

1 HMM 基本理論［2］

HMM模型由若干個狀態組成，隨著時間的變化，各個狀態之間可以發生轉移，也可以在一個狀態內駐留，每個觀測序列對不同狀態都有相應的輸出的概率。由于被動聲吶LOFAR譜圖中每根線譜隨著時間變化，因此線譜對應的狀態可用馬爾可夫鏈來描述。

1.1 HMM描述

HMM模型通常采用三元組λ =(π，A，B）來描述。假設HMM為離散平穩馬爾可夫鏈，其觀測序列為 Zk=(z1，…，zk），狀態序列為 Xk=(x1，…，xk），狀態集為 I。被動聲吶中觀測序列 Zk是LOFAR譜圖中第k時刻功率譜，而狀態序列Xk是頻率或者頻率的斜率。假定狀態序列Xk可以看作1階馬爾可夫鏈，則根據馬爾可夫鏈性質有:

由于LOFAR譜圖上線譜可能存在交叉或彎曲，因此狀態除了考慮頻率外還需頻率的斜率，則線譜的狀態矢量可表示為:

于是，線譜對應的各個狀態可由狀態方程描述為:

式中:H為狀態矩陣;ηk為零均值加性噪聲;R為協方差矩陣。則狀態矩陣和協方差矩陣分別可表示為:

由于初始狀態的先驗信息未知，因此常需要假定初始狀態分布為均勻分布，則初始概率分布為:

根據式(3）可知，線譜在k時刻的狀態由頻率和頻率的斜率來描述。假定狀態轉移概率矩陣表示為A=(aj，s(i，r））M×M，則狀態轉移概率可表示為:

式中:aj，s(i，r）為二維狀態轉移概率，表示k-1時刻狀態(j，s）轉移到k時刻狀態(i，r）的概率;det為行列式;c為歸一化因子。滿足下式:

若似然概率矩陣表示為B=(bki）K×M，且第k時刻觀測矢量為zk，則似然概率bi(zk）=Pr(zk|xk=i）表示為k時刻處于狀態i的觀測矢量zk概率。當信噪比已知，根據貝葉斯準則可計算似然函數概率。然而實際情況信噪比是未知的，這時似然概率可利用功率譜概率積分非參數方法［16］來計算，用公式可表示為:

式中Pk，i為到k時刻狀態i的功率譜。該式并不是似然概率的近似，而是概率統計特性。由于假定的模型不是確定的，而是1階馬爾可夫鏈，因此線譜的狀態序列對應著長時間功率譜積分的最大值。此外該式還可以減小計算量，節約計算時間。

1.2 Forward Backward算法

Forward Backward(FB）算法是一種局部最優法，它是狀態的最大后驗概率估計。根據觀測數據Zk來估計線譜的可能狀態k，用公式表示為:

由于FB算法采用αk(i）和βk(i）的遞歸計算，并且αk(i）和βk(i）的值都小于1，因此，αk(i）(隨著k的增加）和βk(i）(隨著k的減少）都迅速的趨向0，在計算過程中常常遇到溢出問題。為了解決溢出問題，通常采用增加比例因子的方法來對上述公式進行修正。根據HMM的前向和后向算法，前向遞推公式可表示為:

2 HMM檢測和跟蹤

傳統線譜跟蹤思想是先對線譜進行檢測即跟蹤初始化，然后再沿著時間對線譜進行跟蹤，可以概括為先檢測后跟蹤。HMM自動檢測跟蹤首先根據FB算法對線譜進行跟蹤，估計線譜所對應的狀態，然后利用連續檢驗來判斷線譜是否存在。因此，在某種意義，HMM自動檢測和跟蹤可以看作是一種“跟蹤置前檢測”。

2.1 線譜跟蹤

一般，被動聲吶的LOFAR譜圖上同時存在多根線譜，而且目標線譜間可能相互交叉或彎曲。因此，實際所遇到的問題需要對多根線譜進行同時跟蹤處理。假設LOFAR譜圖上存在L根線譜，則L根線譜的最大后驗概率估計可表示為:

當LOFAR譜圖上同時存在多根線譜時，多根線譜同時跟蹤處理一般較復雜，且處理過程中還必須避免產生“組合爆炸”問題。因此，本文采用互斥事件和馬爾可夫近似來解決上述的問題。為了避免FB算法返回相同L根線譜 (通常為最強的線譜），需將互斥事件作為前后向概率的條件。于是定義k時刻l事件為:

多根線譜跟蹤處理是基于互斥事件和馬爾可夫近似假設。在這個假設前提下對FB算法進行修改，采用一種并行結構的FB算法對多根線譜進行同時跟蹤處理。假設L根線譜所對應的L個馬爾可夫鏈過程相互獨立。由于每根線譜對應狀態由頻率和頻率的斜率兩維矢量組成，因此HMM模型中相應的前向概率和后向概率需用二維來表示。根據互斥事件可知，FB算法中概率是以互斥事件為條件的概率，則多根線譜跟蹤的前向遞推公式為:

多根線譜跟蹤處理時，為了消除多根線譜的前向概率或后向概率相互耦合，還需要對上述公式進行加權處理。定義2個變量如下:

2.2 線譜檢測

在LOFAR譜圖中，線譜并不是在整個觀測時間內存在。因此，線譜的跟蹤必須估計線譜在LOFAR譜圖上的起始和結束時刻，這就需要檢測所跟蹤的線譜在觀測的時間內是否存在。根據統計理論可知，可采用統計檢驗來判決線譜是否存在。若第k時刻所觀測數據為zk，假設H0表示為LOFAR譜圖不存在線譜，zk似然概率為P0(zk）;假設H1表示為LOFAR譜圖存在線譜，zk似然概率為P1(zk），則LOFAR譜圖上線譜的有無可用二元假設來表示為:

在上述2種假設條件下，若觀測數據是“無記憶”的，即只與當前觀測數據有關。根據貝葉斯準則，將所得的似然比與設定的門限比較，則可以判斷線譜是否存在。

然而，實際中觀測數據在一段時間內持續。由于統計檢驗是一種瞬時檢驗，它只利用當前時刻的信息，而與當前時刻以前的信息無關。因此，本文采用連續檢驗來檢測目標的線譜在觀測時間內是否存在。若所跟蹤的線譜在第k－1時刻和第k+1時刻都存在，則根據連續檢驗，可判斷目標的線譜在第k時刻也存在。由于連續檢驗和FB算法機理相似，因此可將一種類似FB算法應用連續檢驗來判斷LOFAR譜圖上線譜是否存在。定義新的狀態dk，其中dk=0表示線譜不存在，dk=1表示線譜存在。若把線譜存在或不存在當作2種狀態，則可將所處的狀態看作一階馬爾可夫鏈，則根據FB算法可估計線譜在觀測時間有無。由于目標線譜的狀態只有存在或不存在2種狀態，因此狀態轉移概率矩陣可定義為:

式中:DT為檢測門限;Λl(zk）為第L根線譜的似然比，與信噪比有關。然而，實際情況中信噪比是未知的，由式(31）很難得到似然比。因此，根據H0假設線譜統計獨立和H1假設線譜統計相關特性，將似然比定義為:

根據HMM前向概率式(19）和后向概率式(20），經過數學推導，可將式(32）的似然比寫為:

3 仿真和試驗數據處理

3.1 仿真數據分析

假定信號由單頻窄帶信號和零均值得高斯白噪聲組成，其中單頻信號的頻率為800 kHz，采樣頻率10 kHz，FFT的點數為8 192，信噪比為－20 dB。

圖1 原始LOFAR圖Fig.1 Original LOFAR

圖2 HMM線譜跟蹤Fig.2 HMM frequency line tracking

圖1和圖2給出了單根線譜仿真數據的處理結果，其中圖1是原始的LOFAR譜圖。從圖中可以看出，線譜只在觀測時間50～150 s內存在。圖2是HMM線譜跟蹤進行估計處理結果，它利用FB算法對線譜進行跟蹤，然后采用連續檢驗對線譜起止時間進行檢測。從圖中可以看出，線譜僅在50～150 s觀測時間內存在，而其它觀測時間為0，這與原始LOFAR圖的線譜一致。

假定信號由4個單頻窄帶信號和零均值得高斯白噪聲組成，且4個單頻窄帶信號的頻率分別為f1=600 Hz，f2=800 Hz，f3=820 Hz，f4=1 000 Hz，其中頻率為800 Hz的線譜僅在觀測時間50～150 s內存在，信噪比均為－20 dB，采樣頻率為10 kHz，FFT的點數為8 192，線譜跟蹤的參數為:L=10，vα=7，vβ=7，ω =0.001，DT=1。

圖3 原始LOFAR圖Fig.3 Original LOFAR

圖4 HMM線譜跟蹤Fig.4 HMM frequency line tracking

圖3和圖4給出了多根線譜跟蹤仿真數據的處理結果。從圖3中可以看出，原始LOFAR圖中含有4根線譜，其中800 Hz的線譜僅在一段觀測時間內存在，而在其他觀測時間不存在。圖4是對圖3的LOFAR譜圖進行線譜跟蹤處理。其結果表明，HMM線譜跟蹤能有效地對圖3中的4根線譜進行跟蹤，并且能估計每根線譜的起止時間。

3.2 試驗數據處理

為了進一步驗證所提算法的有效性，本節給出1組試驗數據來進行分析。數據的采樣頻率為10 kHz，數據更新0.1 s，積分時間3 s，FFT的點數為8 192，滑動時間窗的窗長為10，線譜跟蹤參數為:L=10，vα=7，vβ=14，ω =0.005，DT=1.5。

圖5是某試驗數據LOFAR分析所處理結果，從圖中可以看出，在觀測時間內同時存在多根線譜，其中高頻線譜成分較弱。圖6對圖5LOFAR譜圖上的線譜進行HMM自動檢測和跟蹤處理，其結果表明，HMM線譜跟蹤處理能有效地進行線譜檢測和跟蹤，而且更好地反映出原始LOFAR圖中線譜的信息，提高了線譜檢測能力和線譜質量，從而有利于目標檢測和分類識別。

圖5 原始LOFAR圖Fig.5 Original LOFAR

圖6 HMM線譜跟蹤Fig.6 HMM frequency line tracking

5 結語

本文通過將HMM應用到被動聲吶LOFAR譜圖中線譜的檢測和跟蹤，給出了一種基于HMM線譜自動檢測和跟蹤的方法。仿真和海試數據處理結果表明，該方法能有效地對多根線譜進行自動檢測和跟蹤，并能估計每根線譜的起止時間。為了避免多根線譜同時存在時產生的組合爆炸，本文對FB算法進行約束來同時處理多根線譜，消除線譜間相互影響，但其計算量隨著線譜數目增加而增加。

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Research on freguency tine tracking based on HMM

GUAN Jing-chong1，HU Jin-hua2
(Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China）

Automatic detection and tracking of narrow band signals，which makes sonar operators easily detect，track and classify moving targets of interest，and improves their surveillance efficiency，is a crucial function of passive sonar.However，confronted with the estimation of the number of lines and the dates of birth and death in practical application，sonar system is difficult to achieve automatic frequency line tracking efficiently.In view of complex situations，a novelmethod of frequency line tracking based on HMM is presented.Each frequency line is modeled as a first order Markov chain，estimated by forward and backward algorithm，and detected using sequential test.The proposed method can efficiently achieve automatic multiple frequency line tracking，and estimate dates of birth and death of target tracks.The processing results from simulation and sea trials have validated the proposed method.

HMM;passive sonar;sequential test;frequency line tracking

TB556

A

1672－7649(2014）05－0110－06

10.3404/j.issn.1672－7649.2014.05.023

2014－01－24;

2014－04－15

管景崇(1981－），男，碩士研究生，從事裝備管理研究工作。