基于實測地磁數據仿真的插值算法適構性分析

于運治，姜 璐，田茂均

(海軍潛艇學院，山東 青島 266044）

基于實測地磁數據仿真的插值算法適構性分析

于運治，姜 璐，田茂均

(海軍潛艇學院，山東 青島 266044）

地磁數據具有結構性質多樣性，使得對于地磁數據插值的研究在不同區域往往得到不同結論。針對此情況，本文提出插值算法的適構性概念，并建立基于統計學指標的算法適構性評價體系。根據實測地磁數據變化劇烈程度的不同劃分5個實驗區域;通過等間隔采樣的方式，從原始數據中抽取大間隔數據作為實驗數據，然后算法插值得到估值數據;圍繞原始數據與估值數據殘差的集中趨勢、離散程度和分布形態等因子，建立基于統計學指標的算法評價體系;仿真驗證3種較優插值算法的效果。通過對仿真結果的定量分析，得出了3種插值算法的適構性結論。

地磁圖;插值算法;統計學指標

0 引言

地磁數據和其他空間數據一樣，結構性質具有多樣性。因此，地磁數據的插值很難找到一種插值算法適用于所有情況，學者們在這方面的研究結果佐證了這一點。例如張維娜等學者的研究指出改進的謝別得法非常適用于地磁圖插值重構［1］。但黃學功等學者的研究認為徑向基函數法更適合于其所研究區域的地磁圖構建［2］;而對于克里金插值法及其衍生模型的研究就更多見。這些都說明對于不同的研究區域，由于研究的地磁要素和區域地磁數據空間結構性質的不同，研究得出的結果往往也不盡相同。

由此看來，只研究某一類型區域的最優插值算法，對于插值加密構建地磁匹配基準圖還是不夠，因為它很有可能在其他性質相異區域得不到如預想的效果。總的來說，對多種類型區域分別驗證數種插值算法的效果，最終評價得出各種插值算在不同地磁數據情況中的效果十分必要。針對這一需要，這里提出了插值算法的適構性概念。其中，插值算法適構性是指:插值算法對地磁圖插值構建的適應能力，地磁基準圖的實測法構建以最大限度的接近自然真值為目的，而插值算法的插值反演以最大限度接近實測值為宗旨。文章圍繞評價各插值算法的適構性展開，最后定性得出各類型區域的最優插值算法。

1 算法原理

插值算法在許多工程領域都得到了大量運用，典型的如最小曲率法、樣條函數法、多元回歸法、數據度量法等［3－4］。而在地理數據的插值研究中，反距離加權法、改進的謝別得法、克里金法、徑向基函數法、局部多項式法、自然鄰點法等的應用則較為普遍［5］。經過筆者前一階段的研究發現克里金法、徑向基函數法、局部多項式法在海洋地磁數據的插值處理中有較好的表現，本文插值算法適構性的分析即針對這3種方法而展開。

1.1 克里金法

克里金 (Kriging）插值法是一種空間自協方差最優內插算法，實質是利用區域化變量的原始數據和變異函數的結構特點，對未知樣點進行線性無偏、最優估計。它一方面通過距離對已知樣本點賦權重來計算未知點的值;另一方面又通過變異函數的引入來考慮已知點與未知點的空間關系。克里金法常采用的變異函數模型有常數模型、指數模型、球狀模型、高斯模型等［6］。算法原理如下:

對于研究區域A，設在區域內采樣的位置坐標為Xi，變量的觀測值為 Z(Xi），i=1，2，3，…，n，則預測點X0的估計值Z^(X0）可用這n個樣本點的線性組合來表示:

其中λi為已測量點Z(Xi）的權系數。上式中權系數的確定由克里金方程組決定，方程組可表示為:

式中:γ(Xi，Xj）為磁測量點的變異函數，μ為拉格朗日系數。本文采用的變異函數為克里金立方模型。

1.2 局部多項式法

多項式插值也是常用的插值方法之一，有著廣泛應用。但在進行多項式插值時，要找到一個適合的函數模型不那么容易，而且當多項式的階數較高時，其波動加大，運算時間也加長。因此，衍生出了局部多項式法 (local polynomial，LP）。局部多項式法是一種局部加權最小二乘方法，即對插值對象給定一搜索域，然后根據適當的特定階數的多項式函數插值出待插值點的值。局部多項式插值產生的曲面主要依賴于區域化變量的局部變異。其主要采用的多項式有一次、二次和三次多項式［7］。

1.3 徑向基函數法

徑向基函數法 (radial basis function，RBF）是一種精確的插值方法，適用于對大量點數據進行插值計算，從而獲得平滑表面，且能預測比樣點高或低的未知點的值，因而具有較高的預測精度，能較好地反應數據變化情況。它首先將插值函數構造成下面形式的空間點函數:

式中:X=(x，y，z），Xi為已知點 (i=1，2，…，n）;λi為待定系數;φ為指定的基函數;‖·‖為歐氏范數。然后權系數的求解可以用已知數據點的值通過插值設定的條件確定。

影響徑向基函數法插值精度關鍵是基函數的確定，常用的有逆二次曲面、二次曲面、自然三次樣條、Gauss函數、復二次函數、倒轉復二次函數、薄板樣條函數［8］。本文采用復二次函數。

2 算法仿真實驗

2.1 仿真實驗數據

數據來源于某單位在某海區科研課題所采集的磁異常數據。涉及到數據保密性等原因去掉了經緯度而改為絕對距離。為驗證算法在不同數據變化區域的效果，依據該區域磁異常變化的劇烈程度確立了5個實驗區。其中實驗區1數據的特點是變化幅度大，程度相對劇烈;實驗區2數據特點是變化幅度較大，程度非常劇烈;實驗區3數據則變化幅度小，劇烈程度較弱;實驗區4數據變化最為平緩;實驗區5是包含上述4個實驗區的一個大區，作為不確定數據變化劇烈程度的區域存在。實驗區原始數據 (50 m精度）三維圖如圖1～圖4所示。

圖1 實驗區1磁異常三維圖Fig.1 Experimental zone 1 magnetic anomalies in three-dimensionalmap

圖2 實驗區2磁異常三維圖Fig.2 Experimental zone 2 magnetic anomalies in three-dimensionalmap

圖3 實驗區3磁異常三維圖Fig.3 Experimental zone 3 magnetic anomalies in three-dimensionalmap

圖4 實驗區4磁異常三維圖Fig.4 Experimental zone 4 magnetic anomalies in three-dimensionalmap

實驗區5范圍較大，且是綜合上述4個區域的綜合區，因此不再圖示說明。

2.2 算法評價體系

1）評價方法

算法評價是將部分已知屬性值的樣本點作為“訓練數據集”(占原始數據量的1%）用于算法插值計算;將原始所有數據點作為“驗證數據集”存在。然后利用“訓練數據集”樣本點進行插值計算，將得出的插值結果與“驗證數據集”中的點測量值對比得出插值算法殘差;最后運用各定量評價指標比較各插值算法的適構性。文章采取等間隔采樣的方式 (由于目前大部分海上測量都采用的是等間隔）確定等間隔500 m的點作為訓練數據集，原始50 m精度的點作為驗證數據集。

2）定量評價指標

評價指標確立從2方面考慮，一是算法的運算時間;二是殘差的性質。對殘差性質的分析目前還是以統計學指標定量評價為主，為此本文從數據集中趨勢、離散程度和分布形態3個方面確定均值、平均絕對差、全距、標準差、峰度和偏態等6個統計學指標，再加上運算時間共計7個定量評價指標。指標表示如下［9－10］:

2.3 仿真結果與分析

1）各插值算法仿真驗證指標值

各插值算法仿真驗證指標值如表1～表5所示。

表1 實驗區1指標值Tab.1 Experimental zone 1 indicator value table

表2 實驗區2指標值Tab.2 Experimental zone 2 indicator value table

表3 實驗區3指標值Tab.3 Experimental zone 3 indicator value table

表4 實驗區4指標值Tab.4 Experimental zone 4 indicator value table

表5 實驗區5指標值Tab.5 Experimental zone 5 indicator value table

2）分析結論

從實驗區1可看出，克里金法與真值的偏差、數據離散程度、極距等都最小，且分布形態也較為合適，唯一不足的是時效性太差;徑向基函數法與克里金法效果接近，而且在時效性上優于克里金法;而局部多項法則在時效性上占了優勢。

實驗區2結果反映出徑向基函數法平均絕對差、標準差、以及運算時間3個重要指標上都占了優勢，而且分布形態也較為理想，適構性最好。另外2個次之。

實驗區3雖然徑向基函數法在絕對差、標準差等重要指標上都最好，但是其時效性太差，而各指標和它接近的克里金法時效性適中，適構性最優。

實驗區4中方法的效果除了運算時間外，差別非常小;而參考運算時間來看局部多項式法適構性最佳。

實驗區5反映出的結果和實驗區3相似，綜合來看克里金法適構性優于另外2個。

綜合上述5個實驗區的分析結果可得出結論;在海洋地磁數據的插值處理中，如果不明確數據變化的劇烈程度應當優先采用克里金法;而明確數據變化程度特別劇烈時應當采用徑向基函數法;變化緩慢時優先考慮局部多項式法。

3 結語

由于海洋地磁數據獲取的困難性，要獲得高精度、高密度的地磁數據非常困難。然而，隨著目前地磁匹配導航應用于水下潛航器導航研究的發展。對于地磁圖網格精度的要求卻在逐漸提高，針對這一矛盾，插值算法的引入是解決困境的關鍵技術之一。但是插值算法眾多，地磁數據的結構特性也各異，因此為選擇合適的插值算法給出一定參考準則十分必要。本文研究了3種插值算法在數個地磁變化情況不同區域的效果，以適構性作為算法選取準則的核心做了仿真驗證，并得出了克里金法、局部多項式法和徑向基函數法的適構性結論。雖然本文的研究取得了一定的成果，但是諸多方面還有待進一步研究。由于海上數據測量的困難性，所能提供的實測數據有限，要更好的評價算法的適構性，就需要大量的實測數據作為實驗數據或者佐證數據。這一方面還需要進一步的拓展。

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Analysis of interpolation suitability of algorithm based on simulation of themeasured geomagnetic data

YU Yun-zhi，JIANG Lu，TIAN Mao-jun
(Navy Submarine Academy，Qingdao 266044，China）

The structural properties diversity of the geomagnetic data，make for geomagnetic data interpolation research in different areas often get different conclusions.In view of this situation，this paper puts forward the optimal structure concept of the interpolation algorithm，and to establish the interpolation suitability of algorithm evaluation system based on the statistical indicators.Firstly，the paper based on different change intensity of the geomagnetic data has division of the five experimental area;Secondly，through the way such as sampling interval，extract big interval data from the original data as experimental data，and use the interpolation algorithm gets valuation data;Thirdly，around the original data and valuation data residual concentration trend，discrete degree and distribution form factors，this paper build the interpolation suitability of algorithm evaluation system based on statistics index;Finally，take advantage of simulation results show the effectof three better interpolation algorithm.Based on the quantitative analysis of the simulation results，it is concluded that interpolation suitability of algorithm conclusion of the three kinds of interpolation algorithm.

geomagnetic mapping;interpolation method;statistical indicators

U666.1

A

1672－7649(2014）05－00130－05

10.3404/j.issn.1672－7649.2014.05.027

2013－01－29;

2013－03－18

于運治(1964－），男，高級工程師，主要從事潛艇導航方面研究。