“恒成立”與“能成立”問題辨析

苗孟義

提問： 有道題是這樣的：“已知函數f（x）=lnx，g（x）=ax2-bx （a，b∈R）.令h（x）=f（x）+g（x）.當a=，b≥2時，若對任意兩個不相等的實數x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立，求實數b的值”.

“對任意兩個不相等的實數x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立”這句話，我不是太理解，究竟意味著什么呢？

回答： 這位同學的困惑其實是由于不理解恒成立的含義造成的. “恒成立”和“能成立”問題是一類非常典型的數學問題. 只有先準確理解其含義，才能實現問題的等價轉化.

恒成立，要求自變量在給定區間內可取任意值，即給定區間內所有x均能滿足條件.

能成立，要求滿足條件的自變量在給定區間內存在，即給定區間內有一個x能滿足條件即可.

我們再來看題目，“對任意兩個不相等的實數x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立”，就是要求區間[1，2]上所有的實數x1，x2（x1≠x2）都能夠使f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立.也就是說f（x1）-f（x2）的最小值要大于g（x1）-g（x2）的最大值，即f（x1）-f（x2）min>g（x1）-g（x2）max.

對于我省高考中常見的恒成立與能成立問題，存在以下結論（結論均建立在函數在給定區間內存在最值的前提下）：

①對任意x∈D，不等式f（x）≤g（x）恒成立[f（x）-g（x）]max≤0；

②對任意x∈D，不等式f（x）≥g（x）恒成立[f（x）-g（x）]min≥0；

③若存在x∈D，使不等式f（x）≤g（x）能成立[f（x）-g（x）]min≤0；

④若存在x∈D，使不等式f（x）≥g（x）能成立[f（x）-g（x）]max≥0.

例1 已知函數f（x）=lnx，g（x）=x2-bx，對任意的實數x∈[1，2]，f（x）≤g′（x）恒成立，求實數b的取值范圍.

解析： 令φ（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x+b.因為x∈[1，2]，所以φ′（x）=-1≤0，函數φ（x）單調遞減.要使f（x）≤g′（x）在x∈[1，2]上恒成立，只需φ（x）max≤0，即φ（1）=b-1≤0.所以實數b的取值范圍為（-∞，1].

例2 已知函數f（x）=lnx，g（x）=x2-bx，若存在實數x∈[1，2]，使不等式f（x）≥g′（x）成立，求實數b的取值范圍.

解析： 令φ（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x+b.因為x∈[1，2]，所以φ′（x）=-1≤0，函數φ（x）單調遞減.要使f（x）≥g′（x）在x∈[1，2]能成立，只需φ（x）max≥0，即φ（1）=b-1≥0，所以實數b的取值范圍為[1，+∞）.

有時題目中會包含兩個自變量，要求分析兩個函數大小關系恒成立或能成立的條件.通過對函……