定向鉆井PDC鉆頭切削參數計算方法

鄒德永王家駿于金平郭玉龍趙 健盧 威

（1.中國石油大學（華東）石油工程學院， 山東青島 266580；2.華北油田公司，河北任丘 062552）

定向鉆井PDC鉆頭切削參數計算方法

鄒德永1王家駿1于金平1郭玉龍1趙 健1盧 威2

（1.中國石油大學（華東）石油工程學院， 山東青島 266580；2.華北油田公司，河北任丘 062552）

定向鉆井PDC鉆頭的優化設計和導向性能分析需要準確計算PDC切削齒的切削面積、切削體積和切削弧弧長等切削參數。針對彎外殼螺桿馬達或推靠式旋轉導向系統，運用空間解析幾何理論和數值計算方法，分析了PDC鉆頭在井底的運動狀態，建立了切削齒的運動軌跡方程和切痕曲線方程。綜合考慮了鉆頭偏轉角、鉆頭的復雜運動、鉆頭結構參數及切削齒切削的先后次序等因素的影響，建立了切削齒的切削面積、切削體積和切削弧弧長等切削參數的數值計算方法，為PDC鉆頭的計算機優化設計和定向鉆井PDC鉆頭的導向性能分析提供了一種分析手段。實例計算表明，模型和方法具有實用性，可進一步推廣應用。

PDC鉆頭；切削齒；切削參數；運動軌跡；定向鉆井

在定向鉆井PDC鉆頭的優化設計和導向性能分析中，需要準確計算出每個切削參數。文獻［1］假設鉆頭軸線始終與井眼軸線重合，并且沿著井眼軸線（鉛垂線）方向運動，建立了垂直鉆井時PDC鉆頭的切削參數計算方法。而在定向鉆井過程中，鉆頭軸線與初始井眼軸線之間有鉆頭偏轉角，并且鉆頭在鉆壓和側向力作用下有沿著井眼軸線向前運動和垂直于井眼軸線的側向運動，因此直井中的切削參數計算方法并不適用于定向井。筆者在綜合考慮了鉆頭偏轉角、鉆頭的復雜運動、鉆頭結構參數及切削齒切削的先后次序等因素的基礎上，運用空間解析幾何理論和數值計算方法，建立了PDC切削齒的運動軌跡方程和切痕曲線方程，給出了切削參數的數值計算方法。

1 鉆頭在井底的運動狀態分析

定向鉆井時，使用的鉆具通常有：單彎外殼螺桿馬達雙穩定器鉆具組合（見圖1a）和推靠式旋轉導向系統（見圖1b）。用縱橫彎曲梁法對上述2種鉆具組合受力分析，求出鉆頭上的鉆壓W、側向力Fl和鉆頭偏轉角λ（側向力Fl是變井斜力Fα和變方位力FΦ的合力，λ可以分解為變井斜平面內的偏轉角λ1和變方位平面內的偏轉角λ2），分析鉆頭在鉆進前后與井眼的幾何關系。在圖1中，初始時鉆具組合用藍色線畫出，鉆進后的鉆具組合用紅線畫出。設鉆頭在鉆壓W和側向力Fl作用下分別向下鉆進了ha，向側向鉆進了hl。

圖1 底部鉆具組合的簡化模型

當使用彎外殼螺桿馬達滑動導向鉆井時，初始時鉆頭軸線O3X3與井眼軸線O2X2之間的夾角為鉆頭偏轉角λ。設近鉆頭扶正器與井壁接觸點從A點到B點是一段圓弧，其曲率半徑為R，則鉆進后的鉆頭軸線O4H與初始鉆頭軸線O3X3夾角為δ。δ可以分解為變井斜平面內的偏轉角δ1和變方位平面內的偏轉角δ2。

當使用推靠式旋轉導向系統導向鉆井時，初始時鉆頭軸線O3X3與井眼軸線O3X3之間的夾角為鉆頭偏轉角λ。鉆進過程中鉆頭軸線O4H與初始時鉆頭軸線O3X3平行。

由于使用不同種類的鉆具，鉆頭在井底的運動不同，所以需要針對這2種情況分別建立的切削齒運動軌跡方程。

2 PDC切削齒的運動軌跡方程

設某鉆頭共有N個切削齒，其切削齒號碼記為i∈（1，N）。如圖2所示，建立6套坐標系來描述切削齒與鉆頭和井眼的坐標關系。

圖2 PDC鉆頭的復合坐標系統

（1）直角坐標系O1-X1Y1Z1為大地坐標系。

（2）直角坐標系O2-X2Y2Z2為初始井眼坐標系。原點O2為初始井底中心，Z2軸為井眼軌跡在O2的切線方向。平面O2-X2Y2為變井斜平面，平面O2-Y2Z2為變方位平面。

（3）直角坐標系O3-X3Y3Z3為當前井眼坐標系。在定向鉆進過程中，原點O3隨著鉆頭中心一起移動，Z3軸與鉆頭軸線O4H始終重合，而X3和Y3軸不隨鉆頭旋轉而改變方向。當使用彎外殼螺桿馬達滑動導向鉆井時，初始時，Z3軸與Z2軸的夾角為鉆頭偏轉角λ，鉆進過程中Z3軸與Z2軸的夾角為 。當使用推靠式旋轉導向系統導向鉆井時，初始時鉆頭軸線O3X3與Z2軸的夾角為λ+δ，鉆進過程中Z3軸與Z2軸的夾角始終為λ。

（4）圓柱坐標系O4-RHθ為鉆頭坐標系。原點O4為鉆頭中心，初始時與原點O2重合，鉆進過程中與原點O3重合。H軸為鉆頭軸線，始終與Z3軸重合。R軸與鉆頭基準線夾角為周向角θ，設鉆頭在X2、Y2、Z2方向上每轉進尺分別為hx、hy、hz，鉆頭基準線與X3軸的夾角為鉆頭旋轉角ω。初始時鉆頭基準線與X2軸重合，鉆進中的t時刻的鉆頭旋轉角為ωt。此刻原點O4在O2坐標系中的坐標為（x0，y0，z0）

（5）平面直角坐標系O5-X5Y5為切削齒工作面坐標系。該坐標系在切削齒切削面上，原點O5為切削齒中心。令第i號切削齒的半徑為ri，將切削齒工作面邊緣稱為切削刃，設切削刃上任意一點P的坐標為（xc，yc）

（6）平面直角坐標系O5-X6Y6為切削齒剖面坐標系。過第i號切削齒中心O5和鉆頭軸線建立切削齒的剖面。X6軸與X5軸夾角為切削齒的側轉角βi，Y6軸與Y6軸夾角為切削齒的后傾角αi，Y6軸與Z3軸的夾角為切削齒的法向角γi。設點P在O5-X6Y6中的坐標為（xd，yd）

由式（1）~式（4）可得，使用螺桿馬達滑動導向鉆井時，切削刃上任意一點P的運動軌跡方程

由式（2）~式（4）可得，使用推靠式旋轉導向系統時，切削刃上任意一點P的運動軌跡方程

當R=Ri，H=Hi時，為第i號切削齒中心的運動軌跡方程。

3 PDC切削齒的切痕曲線方程

在初始井眼坐標系O2-X2Y2Z2中，當t=t1時刻，鉆頭基準線與X3軸夾角為ω1，將第i號切削齒中心坐標（Ri、Hi、Qi、）代入式（5、6）中得該齒中心為Xg1，Yg

1，Zg

1，將此時刻的第i號切削齒剖面O5-X5Y5稱為Ⅰ平面（下文簡稱為Ⅰ平面）。在初始井眼坐標系中Ⅰ平面的方程為

將第i號齒和其鄰齒的齒中心坐標代入式（5）或式（6）中，可得切削刃上任意一點P的運動軌跡方程。用迭代法求點P的運動軌跡到Ⅰ平面的距離為0的數值解，即與Ⅰ平面的交點，將交點連成線就是切削刃的切痕曲線。使用最小二乘法，將切痕曲線擬合成非標準橢圓方程，方程形式為

式中，a、b、c、d、e、f為系數，稱式（9）為切削齒的切痕曲線方程。

4 切削參數計算

當鉆頭中心O4在初始井底O2時，各切削齒在Ⅰ平面上的切痕曲線稱為該齒的初始切痕曲線。當鉆頭中心O4在當前井底O3時，各切削齒在Ⅰ平面上的切痕曲線稱為該齒的當前切痕曲線。第i號切削齒的切削面積是初始切痕曲線與當前切痕曲線所圍成圖形的面積。設在某布齒密度下，第i號切削齒的切削面積只與左邊2個鄰齒和右邊兩個鄰齒有關。

如圖3，紅色區域為第i號切削齒的切削面積，其不僅與該切削齒的尺寸、吃入深度、位置及空間方向有關，還取決于相鄰切削齒的重疊切削作用。采用數值積分的方法求各個切削齒的切削面積。

第i號切削齒切痕曲線在X6軸上覆蓋的范圍為（ni，mi），切削面積的計算方法如下。

（1）將（ni，mi）劃分為j個等長的小區間，取每個小區間的中點坐標 作為計算點，小區間的寬度為w。

圖3 切削齒初始切痕曲線和當前切痕曲線

（2）按式（9）計算每個小區間內與中點坐標xj對應的有效y坐標。當且僅當xj∈（ni，mi）時，直線x=xj必然與該切痕曲線相交于上、下2個交點，由于切削齒的切削面積總是位于Ⅰ平面坐標系O5-X6Y6的Y6軸正半軸，所以y值取正值。將射線x=x與各齒初始切痕曲線的交點記為yd（xj），將射線x=xj與各齒當前切痕曲線的交點記為yu（xj），比較這些值的大小和各切削齒的切削次序，得到最大值，則有

其中第i號切削齒的第j個小區間的切削深度為dij，小區間的面積為ΔAij，第i號切削齒的切削面積為Ai。接觸弧長的計算方法同文獻［1］。

根據文獻［2］中的PDC切削齒力學模型，輸入切削參數、巖石可鉆性和后傾角求出小區間的正壓力Fn

j和切削力Fcj。所有小區間的合力是整個切削齒的正壓力Fn和切削力F。根據文獻［2］中鉆頭合力計算方法，由各切削齒的受力和布齒參數可以求出鉆頭的鉆壓和側向力。這就建立了鉆頭鉆速與受力之間的關系模型。

計算流程首先假設鉆速，求出切削參數，進而求出鉆頭受力，如果計算出的鉆頭受力與實際鉆頭受力相等，則假設鉆速就是該力作用下的鉆速，否則重新假設鉆速，這樣就可以根據受力預測鉆速。根據上述模型和計算方法，編寫了定向鉆井PDC鉆頭的切削參數計算及鉆速預測軟件。

5 驗證實例

5.1 設備和方法

為了驗證上述切削參數計算方法的準確性，在中國石油大學（華東）XY-2B型定向鉆井平臺上進行了定向鉆進實驗（見圖4）。用軸向加壓裝置給鉆頭提供鉆壓，用側向加壓裝置給鉆頭提供側向力。用壓力傳感器、扭矩傳感器測定鉆頭的鉆壓、側向力和扭矩，用位移傳感器測定鉆頭的鉆速。

圖4 定向鉆井實驗裝置

5.2 計算實例

在定向鉆井平臺上使用不同布齒的3種鉆頭，當鉆壓為30 kN，側向力為3 kN時，實驗測得的軸向和側向鉆速見表1。

表1 實驗值與預測值的比較

表2是當軸向鉆速為1 mm/r，側向鉆速為0.1 mm/r時，計算出A鉆頭1號刀翼上各切削齒的切削參數。由圖5可知，內錐上的1、3、5號切削齒的切削面積隨鉆頭旋轉角度Ω的變化趨勢呈余弦函數形式，切削面積在Ω=180°時達到最大值，在Ω=0°或360°時達到最小值。同一刀翼上外錐上的10、15、20號切削齒的切削面積變化規律正好相反。這與實驗觀察到的情況吻合。

圖5 1號刀翼各齒切削面積隨旋轉角度的變化關系

表2 試驗鉆頭1號刀翼各切削齒的參數

6 結論

（1）運用空間解析幾何理論和數值計算方法，分析了定向鉆井PDC鉆頭在井底的運動狀態，給出了切削齒的運動軌跡方程和切痕曲線方程。

（2）綜合考慮了鉆頭的剖面形狀、切削齒的布置、切削齒的工作角、切削齒的尺寸及切削齒切削的先后次序等因素的影響，提出了切削參數的數值計算方法。實例計算表明，模型和方法具有實用性。

［1］鄒德永，王瑞和.PDC鉆頭的軌跡方程及切削參數計算方法［J］.石油鉆采工藝，2003，25（5）：34-38.

［2］鄒德永，張將海，王瑞和.PDC鉆頭力學模型試驗研究［J］.石油鉆探技術，2005，33（2）：41-43.

［3］MENAND S,SELLAMI H,SIMON C.How the bit profile and gages affect the well trajectory［R］.SPE 74459,2002.

［4］MENAND S,SELLAMI H.PDC bit classification according to anisotropic［R］.SPE 87837,2004.

［5］GERBAUD L,MENAND S,SELLAMI H.PDC bits： all comes from the cutter rock interaction［R］.SPE 98988,2006.

［6］DAGRAIN F,TSHIBANGU J P.Use of the D3 model for the estimation of forces acting on a cutter in rock cutting and drilling［R］.SPE 78242,2002.

（修改稿收到日期 2014-09-03）

〔編輯 薛改珍〕

Computing method for cutting parameters of PDC bit in directional drilling

ZOU Deyong1,WANG Jiajun1,YU Jinping1,GUO Yulong1,ZHAO Jian1,LU Wei2
（1.Petroleum Engineering College,China University of Petroleum（East China）,Qingdao266580,China;2.Huabei Oilfield Company,CNPC,Renqiu062552,China）

The optimized design of PDC bit for directional drilling and steering performance analysis need accurate calculation of cutting parameters like cutting area,cutting volume and cutting arc length of PDC cutting teeth.In line with different drilling tools-bent housing screw motor or pushing rotational steering system,this paper analyzed the motion status of PDC bit at bottom hole,established the trajectory of cutting teeth and cutting curvilinear equation.Also the numerical computing method was established for cutting area,cutting volume and cutting arc length of the cutting teeth according to bit deflection angle,complex bit motion,bit structure parameters and the sequence of cutting teeth,providing a analysis method for computerized optimal design of PDC bit and the analysis of steering performance of PDC bit.Practical calculation shows that the model and method are practical and can be further promoted.

PDC bit;cutting teeth;cutting parameters;trajectory;directional drilling

鄒德永，王家駿，于金平，等.定向鉆井PDC鉆頭切削參數計算方法［J］.石油鉆采工藝，2014，36（5）：5-9.

TE249

：A

1000–7393（2014） 05–0005–05

10.13639/j.odpt.2014.05.002

國家“十二五”科技重大專項“薄互層低滲透油藏水平井優快鉆井技術”的子課題“薄互層水平井導向PDC鉆頭優化設計及導向特性研究”（編號：05Z12020300）；中國石油大學（華東）校自主創新基金（編號：12CX06025A）。

鄒德永，1962年生。2004年獲得中國石油大學（華東）油氣井工程專業博士學位，現從事油氣井工程方面的教學與科研工作，教授、博士生導師。電話：18561409382。E-mail：upc-zoudy@163.com。