多項(xiàng)式直接擬合在鉑電阻高精度測(cè)溫中的研究

吳志祥 ，周祥才 ，黃 亮 ，陳 功

（1.常州工學(xué)院 電子信息與電氣工程學(xué)院，常州213002；2.常州工學(xué)院 光電工程學(xué)院，常州213002）

溫度是表征物體冷熱程度的物理量，是工業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中一個(gè)非常重要的參數(shù)。鉑電阻以其性能穩(wěn)定、測(cè)溫范圍寬、易標(biāo)定及互換性好等特點(diǎn)，在溫度測(cè)量中得到了廣泛應(yīng)用。國(guó)際溫標(biāo)ITS－90中還規(guī)定，將特殊構(gòu)造的鉑電阻作為-259℃～961.78℃標(biāo)準(zhǔn)溫度計(jì)來(lái)使用。

因鉑電阻的電阻值與溫度之間存在非線性關(guān)系，復(fù)現(xiàn)溫度時(shí)需要進(jìn)行非線性運(yùn)算，即“非線性校正”。非線性運(yùn)算的基礎(chǔ)是分度函數(shù)或分度表[1-3]，是高精度測(cè)溫不可缺少的環(huán)節(jié)，方法多樣。應(yīng)用牛頓迭代法對(duì)鉑電阻分度函數(shù)求解，二次迭代后即可獲得滿意的精度[4]，但迭代運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)，占用內(nèi)存多。采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法對(duì)0℃～600℃測(cè)溫范圍分六段進(jìn)行3次多項(xiàng)式擬合，誤差小于0.02℃水平[5]。通過(guò)根號(hào)運(yùn)算的解析式由電阻值可求解溫度值[6]。對(duì)稱函數(shù)非線性法[7]，在0℃～150℃范圍內(nèi)，誤差≤0.02℃。應(yīng)用最小二次法，獲得了48℃～50℃范圍內(nèi)，誤差≤0.05℃[8]。以及樣條插值法[9-10]等。采用非平衡電橋非線性校正方法[11]，則增加了電路復(fù)雜性。

高精度測(cè)控溫，通常為智能式數(shù)字儀表。其核心單元通常為單字節(jié)8位單片機(jī)。因此，研究鉑電阻與溫度值之間的簡(jiǎn)易直接算法且占用內(nèi)存少，頗有價(jià)值。

1 鉑電阻（PT100）非線性特性

Pt10、Pt100及Pt1000三種鉑電阻中，Pt100為最常用溫度復(fù)現(xiàn)元件。

在0℃～850℃范圍內(nèi)，鉑電阻與溫度的關(guān)系為

式中：a＝3.90802×10－3/℃；b＝－5.80195×10－7/℃；R（100℃）/R（0℃）＝1.38500。因式（1）表達(dá)的是溫度與電阻值的關(guān)系，所以由電阻值求溫度值是求逆的過(guò)程。

設(shè)溫度上限量程tF對(duì)應(yīng)的電阻值為RF，量程內(nèi)溫度與電阻值為線性化，則非線性誤差為

對(duì)式（2）求導(dǎo)，并令為 0：

整理得：

對(duì)應(yīng) 0～650℃、0～850℃溫區(qū)，非線性誤差最大溫度值點(diǎn)與電阻值分別為325℃/6.127 Ω與425℃/10.478 Ω，見(jiàn)圖1所示。折合非線性誤差約為27℃。

2 最小二乘法與權(quán)函數(shù)

離散數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi，yi）（i=0，1，2，……，m），期望構(gòu)造近似函數(shù)曲線S（x），描述這組數(shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律。即選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)類（集合）

圖1 0～650℃、0～850℃非線性誤差分布Fig.1 Non-linear errors distribution diagram within the range of 0～650℃ and 0～850℃

φ0，φ1，φ2，……，φn，是［a，b］上 n+1 個(gè)線性無(wú)關(guān)的連續(xù)函數(shù)。尋求一個(gè)函數(shù)

使 S*（x）與 y=f（x）在上述 m+1 個(gè)點(diǎn)上的偏差（殘差）

滿足

最小二乘法追求“平方差（殘差平方和）”最小。曲線擬合時(shí)，按其形態(tài)可選擇復(fù)合函數(shù)、增長(zhǎng)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)或邏輯函數(shù)等本質(zhì)線性模型進(jìn)行。但在程序編譯時(shí)，仍然采用泰勒級(jí)數(shù)等方法展開(kāi)為多項(xiàng)式，故，惟有多項(xiàng)式最適用是程序運(yùn)算。

多項(xiàng)式擬合時(shí)，提高多項(xiàng)式次數(shù)能改善擬合效果，但將導(dǎo)致方程病態(tài)。如采用分段擬合處理，可采用移動(dòng)最小二乘法 MLS （moving least square）[13]提高擬合精度。

將式（1）按一定溫度值間隔點(diǎn)繪制t-R曲線，再對(duì)曲線進(jìn)行R-t擬合。為方便程序運(yùn)算，采用按溫區(qū)段進(jìn)行擬合?？紤]最大限度地逼近原函數(shù)曲線，或誤差分布伴隨原曲線呈對(duì)稱性，先令權(quán)函數(shù)ω（x）為“1”的定常數(shù)進(jìn)行擬合。然后觀察誤差分布情況，調(diào)整權(quán)函數(shù)中對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的權(quán)重，重新擬合，如此反復(fù)，直至誤差分布接近對(duì)稱時(shí)結(jié)束。

3 鉑電阻多項(xiàng)式擬合

多項(xiàng)式可寫(xiě)成乘積—相加的循環(huán)運(yùn)算，占用內(nèi)存小，運(yùn)算速度快。

式中：t（r）為溫度值；r為實(shí)測(cè)鉑電阻值。 一旦測(cè)得了鉑電阻值，便可使用式（6）直接計(jì)算出對(duì)應(yīng)溫度值。

鉑電阻測(cè)溫，通常把0～650℃稱為標(biāo)準(zhǔn)溫區(qū)段，650℃～850℃稱為擴(kuò)展區(qū)段，而0～850℃稱為全局區(qū)段。為此，在本擬合中分三組進(jìn)行擬合計(jì)算。

依據(jù)前述原理，利用數(shù)學(xué)計(jì)算工具軟件Matlab等，可求得多項(xiàng)式（7）各系數(shù)，如表1所示。

表1 正溫區(qū)三區(qū)段范圍3次、4次多項(xiàng)式系數(shù)表Tab.1 Cubic polynomial and quartic polynomial graph within three temperature ranges

全局區(qū)段，三次多項(xiàng)式最大絕對(duì)值誤差為0.1567℃，已滿足現(xiàn)場(chǎng)溫控之需要。四次多項(xiàng)式擬合后最大絕對(duì)值誤差為0.0249℃，可確保0.1℃精度的精確測(cè)溫之需。

標(biāo)準(zhǔn)區(qū)段，三次、四次多項(xiàng)式擬合最大絕對(duì)值誤差分別為0.0320℃與0.0024℃。四次多項(xiàng)式擬合可確保0.005℃計(jì)量測(cè)溫要求。

對(duì)于擴(kuò)展區(qū)段，二次、三次多項(xiàng)式擬合最大絕對(duì)值誤差分別為0.0194℃與0.0053℃。

表1顯示，各區(qū)段三次多項(xiàng)式已能滿足絕大多數(shù)工程測(cè)溫精度需要。對(duì)于計(jì)量要求，可采用四次多項(xiàng)式運(yùn)算。表1中擴(kuò)展區(qū)段還顯示，采用最小二乘法擬合時(shí)，同樣的階數(shù)，區(qū)段范圍越小，精度越高。

為了更清楚地顯示擬合效果，顯示全局區(qū)段及標(biāo)準(zhǔn)區(qū)段的誤差分布情況，分別見(jiàn)圖2及圖3所示。

圖2 0～850℃溫區(qū)三次、四次擬合誤差分布Fig.2 Error distribution of cubic and quartic fitting within the range of 0～850 ℃

圖3 0～650℃溫區(qū)三次、四次擬合誤差分布Fig.3 Error distribution of cubic and quartic fitting within the range of 0～650 ℃

4 C語(yǔ)言與運(yùn)算速度

以單片機(jī)或SOC（system on chip）為核心的智能儀器儀表中，現(xiàn)今廣泛采用C語(yǔ)言編程。C語(yǔ)言自身并無(wú)精度標(biāo)準(zhǔn)。實(shí)型變量分為單精度（float型）、雙精度（double 型）及長(zhǎng)雙精度（long double型）3類。其中float型占用內(nèi)存4個(gè)字節(jié)，運(yùn)算速度最快。且SOC系統(tǒng)中，考慮內(nèi)存較小的原因，幾乎全部采用float型運(yùn)算。

為了方便起見(jiàn)，仍以標(biāo)準(zhǔn)版8051單片機(jī)12 MHz振蕩頻率為例，在Keil平臺(tái)用C語(yǔ)言驗(yàn)算，對(duì)0～650℃的四次多項(xiàng)式擬合，將表1中各系數(shù)代入式（7）得具體算式（8），運(yùn)算結(jié)果與EXCEL運(yùn)算結(jié)果，如表2所示。

t（r）=-246.38931+（2.3723080+（9.0186775×10-4+

表2 C語(yǔ)言與EXCEL計(jì)算比較Tab.2 C language and EXCEL calculation comparison

電 阻 值 為 100.000 Ω、212.019 Ω 及 329.508 Ω時(shí)的程序擬合運(yùn)算時(shí)間，分別為1470MT（Machine Period）、1487MT 和 1488MT。 可見(jiàn)式（7）運(yùn)算的快速性。

表2還顯示了Keli C運(yùn)算的正確性。

5 結(jié)語(yǔ)

這里對(duì)鉑電阻非線性函數(shù)求逆運(yùn)算的常見(jiàn)方法及存在問(wèn)題簡(jiǎn)要總結(jié)后，采用最小二乘法調(diào)整權(quán)函數(shù)之方法，對(duì)鉑電阻正溫區(qū)按3種區(qū)段，進(jìn)行了擬合運(yùn)算，得到了三次、四次多項(xiàng)式系數(shù)，并給出了擬合運(yùn)算誤差分布圖。在0～650℃溫區(qū)范圍內(nèi)，應(yīng)用四次多項(xiàng)式擬合運(yùn)算，最大誤差僅為±0.003℃。多項(xiàng)式擬合運(yùn)算，算式簡(jiǎn)單明了，占用內(nèi)存小，運(yùn)算速度快，特別適用于采用C語(yǔ)言編程的單片機(jī)或SOC中。C語(yǔ)言采用單精度實(shí)型變量運(yùn)算后的精度與速度，進(jìn)一步證實(shí)多項(xiàng)式擬合的優(yōu)越性。文中給出的多項(xiàng)式系數(shù)，可直接用于鉑電阻測(cè)溫需要。多項(xiàng)式擬合方法亦可使用于熱電偶測(cè)溫中。

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