Markov隨機(jī)場與Gaussian曲線在 MR圖像分割中的應(yīng)用

楊 濤

（云南機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院,云南 昆明 650203）

Markov隨機(jī)場與Gaussian曲線在 MR圖像分割中的應(yīng)用

楊 濤

（云南機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院,云南 昆明 650203）

針對(duì)掃描的人腦組織 MR圖像邊緣分辨率低、模糊性大的特點(diǎn)，本文提出了一種基于模糊 Markov隨機(jī)場和Gaussian曲線相結(jié)合的 MR圖像最佳閾值分割方法。該方法通過對(duì)圖像的像素鄰域?qū)傩缘慕y(tǒng)計(jì)將模糊論引入其中，建立模糊 Markov隨機(jī)場，并利用Gaussian曲線對(duì)二維直方圖最佳一維投影進(jìn)行擬合，確定出圖像中各腦組織的二維閾值點(diǎn)，在二維直方圖上實(shí)現(xiàn)對(duì)腦組織的分割。通過實(shí)驗(yàn)表明，本算法能夠有效提高腦組織的分辨率，對(duì)噪聲的魯棒性、結(jié)果區(qū)域的連通性相對(duì)于一維Otsu和二維Otsu算法都有了很大的提高。

模糊 Markov隨機(jī)場；二維直方圖；投影；Gaussian曲線；閾值

1．引言

腦部核磁共振(magnetic resonance， MR)圖像在成像、傳送和顯示的過程中，會(huì)引入大量的噪聲，使圖像質(zhì)量下降，整體變得模糊、失真，甚至導(dǎo)致各種腦組織無法正確分辨[1]。為了提高各腦組織在圖像中的分辨率，抑制噪聲的影響，改善 MR圖像的顯示效果，對(duì) MR圖像進(jìn)行恢復(fù)對(duì)于神經(jīng)病理學(xué)的研究和臨床診斷具有十分重要的意義， MR圖像中腦組織分割的準(zhǔn)確性、自適應(yīng)性和處理速度在一定程度上影響著具體的臨床應(yīng)用。

在眾多圖像分割方法中，閾值法因?yàn)槠溆?jì)算簡單、算法效率高、速度快等優(yōu)點(diǎn)被廣泛采用。在以往提出的大部分閾值分割方法都是基于一維直方圖，最常見的一種方法是一維最大類間方差法[2](一維Otsu)。然而，由于人腦內(nèi)部組織復(fù)雜，有很多的紋理結(jié)構(gòu)和相互粘連的組織區(qū)域，而且 MR圖像本身模糊，如果只依據(jù)一維直方圖分布來確定各類的分割閾值，不僅抗噪能力弱，而且區(qū)域的一致性和完整性也較差，圖像很難實(shí)現(xiàn)精確分割。劉鍵莊和栗文清提出了二維直方圖上的Otsu分割方法[3]，由于圖像二維直方圖考慮了灰度空間分布，較一維直方圖更能清晰地反映圖像的聚類信息，因此，此方法在一定程度上克服了一維Otsu抗噪聲弱的缺陷，但在區(qū)域連通性和抗模糊方面仍然不夠理想。基于此，本文將模糊集、 Markov隨機(jī)場模型聚類、二維直方圖和Gaussian曲線模型的思想結(jié)合起來，提出了一種腦部 MR圖像多閾值分割算法，用于解決多目標(biāo)的腦部 MR圖像的準(zhǔn)確分割。

2．模糊 Markov隨機(jī)場

為了采用一個(gè)最優(yōu)（能量最小）的 Markov隨機(jī)場來實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像準(zhǔn)確聚類，本文從原始圖像隨機(jī)場Y中以最大后驗(yàn)概率（ MAP）尋求真實(shí)的區(qū)域標(biāo)記隨機(jī)場X，即P(X=x|Y=y)最大的狀態(tài)，即=arg根據(jù)Hamersley Clifford定理， Markov先驗(yàn)?zāi)芰繄鯬(X)可以用Gaussian分布來描述，即式(1)，似然函數(shù)P(Y|X)根據(jù)圖像的一般特征可以認(rèn)為是服從(v，σ2)的正態(tài)模型，由貝葉斯規(guī)則， Markov后驗(yàn)?zāi)芰繄隹捎檬?2)描述。

從式（1）、（2）中不難看出，要建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)?Markov隨機(jī)場關(guān)鍵的問題是如何定義恰當(dāng)?shù)膭莺瘮?shù)。本文考慮到腦部組織結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和 MR圖像本身模糊的缺陷，采用了模糊理論中隸屬度函數(shù)μ來表示勢函數(shù)，即式（5）。同時(shí)，為了更好地體現(xiàn)圖像像素同類值呈Gaussian分布的規(guī)律，文中根據(jù)正態(tài)分布的3σ規(guī)則來定義圖像像素的隸屬度函數(shù)，并將其引入到區(qū)域標(biāo)記隨機(jī)場X中，如式（4），使得圖像中的每一個(gè)像素在被標(biāo)記時(shí)不但具有了區(qū)域標(biāo)識(shí)，而且還根據(jù)式（3）被賦予了隸屬于該區(qū)域的隸屬度，為實(shí)現(xiàn) MR圖像的模糊聚類奠定了基礎(chǔ)。

式（3）中，lij表示在以像素i定義的鄰域中隸屬于于區(qū)域j的像素點(diǎn)數(shù)，li表示像素i所定義的鄰域中像素點(diǎn)數(shù)。式（4）中，ω(yi)i∈S為像素i的區(qū)域隸屬標(biāo)識(shí)，ω(yi)=1，2，3，4。

3．二維直方圖最佳投影和Gaussian曲線模型

圖像的二維直方圖所建立的二維灰度特征空間不僅融合了圖像像素的灰度的分布，還考慮了像素之間的鄰域空間的信息，由此，利用二維直方圖對(duì) MR圖像進(jìn)行多閾值分割的方法既能較清楚地劃分目標(biāo)組織和背景，又能有效消除噪聲。但在二維直方圖上要確定最佳閾值，相對(duì)于一維直方圖的方法較復(fù)雜，運(yùn)算量按指數(shù)增長，耗時(shí)長，難以實(shí)用[4-5]。本文利用了文獻(xiàn)[4]中二維直方圖最佳一維投影方法對(duì)腦部 MR圖像所形成的二維直方圖進(jìn)行了一維投影，并通過建立與分類數(shù)n相同的Gaussian曲線模型逼近該一維投影直方圖，獲得相鄰兩Gaussian曲線模型的交點(diǎn)n-1個(gè)，即作為各腦部組織的投影閾值點(diǎn)。

3．1 二維直方圖的最佳一維投影

李立源等在文獻(xiàn)[4]中提出了一種最佳一維投影定理，即：對(duì)于二維直方圖，當(dāng)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)角度θ滿足tanθ=（其中，d為像素正方形的鄰域窗口寬度，一般取奇數(shù)）時(shí)，其在一維軸上的投影為最佳一維投影[4]。依此定理，本文將二維直方圖上表示灰度值及鄰域平均灰度值點(diǎn)(i，j)據(jù)公式eij=-i·sinθ+j·cosθ把二維直方圖上任意點(diǎn)(i，j)的發(fā)生頻率數(shù)hij在一維軸上的eij處疊加形成二維直方圖的一維投影直方圖。（如圖1c、g所示）

投影后的一維直方圖不可避免地存在偽峰及毛刺，本文為了不影響后續(xù)Gaussian曲線模型的建立，將投影直方圖的任意一點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)值用其臨近點(diǎn)的均值進(jìn)行平滑。

3．2 建立Gaussian曲線的數(shù)學(xué)模型

從Gaussian曲線不難看出，建立模型主要是確定模型包含的灰度級(jí)范圍，本文利用模糊 Markov隨機(jī)場聚類法所確定的類均值vm和相鄰兩類的均值vm-1，vm+1來確定建立該類組織Gaussian曲線的灰度級(jí)中心和范圍，然后根據(jù)Gaussian分布的公式建立Gaussian高斯曲線：

上述公式中pk=g(k)/sum，其中g(shù)(k)表示投影直方圖k點(diǎn)上的統(tǒng)計(jì)數(shù)值；sum表示兩類的均值vm-1和vm+1范圍內(nèi)所有點(diǎn)數(shù)和。v'm表示類均值vm在投影直方圖的投影。(如圖1d、h所示)

圖1 三幅 MR腦核部分圖像二維直方圖最佳一維投影的高斯擬合

4．本文算法實(shí)施及實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

4．1 算法實(shí)施

本文以采用真實(shí)的 MR顱腦圖像作為研究對(duì)象，并使用 C++高級(jí)語言程序?qū)崿F(xiàn)該算法。算法如下：

(1)根據(jù)圖像像素灰度特點(diǎn)，用傳統(tǒng)的K-means方法初步獲取各類別的統(tǒng)計(jì)均值和方差并將類均值設(shè)為該類初始的聚類中心。

(2)根據(jù)式(3)求得像素的隸屬度，并在標(biāo)記場中對(duì)像素的類別以予標(biāo)記。

(4)按照“最大后驗(yàn)概率準(zhǔn)則”使用式（2）進(jìn)行條件迭代，確定每個(gè)像素的類別：

(5)采用像素的新隸屬度，結(jié)合質(zhì)心公式得到新的類均值和方差，即式（8）、（9）：

(7)統(tǒng)計(jì)MR圖像的像素灰度值及鄰域信息得到二維直方圖；

(8)遵循二維直方圖最佳一維投影原理，將二維直方圖進(jìn)行一維投影，并對(duì)其平滑處理；

(9)根據(jù)式（6）建立Gaussian曲線模型，獲得相鄰兩Gaussian曲線模型的交點(diǎn)n-1個(gè)，即作為各腦部組織的投影閾值點(diǎn)，t1，t2，…tc-1；

(10)根據(jù)tm=-i·sinθ+j·cosθ，m=1，2…c-1將n-1個(gè)交點(diǎn)映射回二維直方圖，確定出分割閾值線，按照以下式（10）完成對(duì) MR圖像的分割，即：

4．2 實(shí)驗(yàn)的結(jié)果分析

采用本文提出的模糊 Markov隨機(jī)場與二維直方圖Gaussian曲線多閾值新方法對(duì)兩幅真實(shí)的 MR圖像進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)分析，并于本文提到的一維Otsu方法和二維Otsu方法進(jìn)行了比較。如圖2所示。

圖2 三幅 MR腦核部分圖像分割結(jié)果

從分割結(jié)果可以看出，一維Otsu算法抗模糊和抗噪能力差，分割結(jié)果中含有大量的噪聲點(diǎn)，分割后的區(qū)域一致性較差；二維Otsu算法雖然在抗模糊和噪聲方面相對(duì)于一維Otsu算法有了很大的提高，但是，在區(qū)域連通性方面仍然有所欠缺。本文算法克服以上兩種算法的缺陷，不僅抗模糊和噪聲能力強(qiáng)，而且算法分散點(diǎn)少，即區(qū)域連通性較好。

鑒于本文主要研究如何將 MR圖像中各腦組織有效地區(qū)分開，所以評(píng)價(jià)分割方法是否有效的指標(biāo)之一就是圖像像素是否按其灰度特征正確歸類，因此，本文采用以下兩個(gè)體現(xiàn)分類有效性的指標(biāo)（劃分系數(shù)和劃分熵）對(duì)目標(biāo)圖像進(jìn)行定量分析。兩個(gè)指標(biāo)函數(shù)如下：

式中當(dāng)μij＝0時(shí)，有μijlog(μij)＝0。對(duì)于有效的算法應(yīng)當(dāng)根據(jù)圖像像素特征對(duì)其能正確歸類，而且在不同類別邊緣應(yīng)有明顯的區(qū)分度，用劃分系數(shù)表征時(shí)其值越大越好，而用劃分熵表征時(shí)則反之。

表1 不同算法的劃分系數(shù)和劃分熵指標(biāo)

從表1所示的劃分系數(shù)和劃分熵兩指標(biāo)的定量分析來看，本文算法明顯優(yōu)于一維Otsu算法和二維Otsu算法，它的分類有效性更高、混亂性更小。

5．結(jié)論

本文充分融合了模糊集和 Markov隨機(jī)場模型，并引入二維直方圖的最佳一維投影和Gaussian曲線擬合方法，提出了模糊 Markov隨機(jī)場與二維直方圖Gaussian曲線的最佳閾值分割方法。實(shí)驗(yàn)證明，該方法相對(duì)于一維Otsu算法和二維Otsu算法在抗模糊和噪聲的能力方面有所提高，并在一定程度上克服了分割區(qū)域連通性差的問題，從而得到良好的 MR圖像分割結(jié)果。

[1]楊濤．基于統(tǒng)計(jì)方法的核磁共振人腦圖像的分割及三維數(shù)據(jù)的分析[D]．昆明：昆明理工大學(xué)碩士論文，2011,4．

[2]羅軍輝，馮平．MATLAB 7．0在圖像中的應(yīng)用[M]．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005．

[3]劉鍵莊，栗文清．灰度圖像的二維Otsu自動(dòng)閾值分割法[J]．自動(dòng)化學(xué)報(bào)，1993,19：101-105．

[4]李立源，龔堅(jiān)，陳維南．基于二維灰度直方圖最佳一維投影的圖像分割方法[J]．自動(dòng)化學(xué)報(bào)：1996,22：315-322．

[5]田杰，曾建潮．基于QPSO的二維模糊最大熵圖像閾值分割方法[J]．計(jì)算機(jī)工程,2009，35(3)：230-232．

Application of Markov Random Field and Gaussian Curve in MR Image Segmentation

Yang Tao
(Yunnan Vocational College of Mechanical and Electrical Technology,Kunming 650203,Yunnan)

For the low resolution and the large fuzziness of the organizational structure of human brain at the edge of MR image scanned,a better threshold MR image segmentation method based on fuzzy Markov random field clustering and Gaussian curves is proposed.In the algorithm,fuzzy theory is introduced into the statistics of the pixel neighborhood attributes,and fuzzy Markov random field is set up.Then the optimum one-dimensional projection histogram of two-dimensional histogram is fit with Gaussian curves and found segmentation points in each class region.Finally,image segmentation is realized in the two-dimensional histogram.Experiments show that the proposed algorithm can improve the effective resolution of the various brain tissues,and it is better than the one-dimensional Otsu method and two-dimensional Otsu method in the noise robustness and partition connectivity of the result.

fuzzy Markov random;two-dimensional histogram;projection;Gaussian curve;threshold value

楊濤，男，云南昆明人，碩士，助教，研究方向：嵌入式,應(yīng)用電子。