導數理論在經濟分析中的應用探討

王海舟

(硅湖職業技術學院 江蘇昆山 215332)

導數理論在經濟分析中的應用探討

王海舟

(硅湖職業技術學院 江蘇昆山 215332)

數學知識來源于實際生活，也在實際生活中應用。作為一種數學工具，導數被廣泛應用于經濟領域。隨著市場經濟的快速發展，經濟問題的解決需要利用越來越多的數學知識。導數是經濟分析的重要工具，優化分析經濟活動中的實際問題。本文主要對導數理論進行概述，并在此基礎上探究導數理論在經濟分析中的具體應用。

導數理論；經濟分析；應用；優化

在各高校經濟管理類專業中，經濟學、高等數學是主干課程，要求經濟專業的學生不僅具備專業的經濟知識，還需會利用數學知識分析、解決經濟問題。在高等數學中，導數是基礎、重要內容，是《經濟數學基礎》中的重要概念[1]。目前，導數在實際生活中應用廣泛，對經濟管理、經濟分析具有重要意義，是重要的經濟分析工具。同時，利用導數理論分析經濟現象，可為經營者的科學決策提供科學依據，從而使決策者結合導數分析的經濟成果采取經濟措施，提高企業的經濟收益。

一、導數概念

在數學概念里，從數量關系角度定義導數，是在某一函數中，當函數的自變量發生變化時，該函數的值也會相應的發生，而導數反應的是函數值變化的變化率，即快慢程度[2]。例如，在x0有定義的某一范圍內，函數y=f( x)，那么，在x0處，自變量x有增量，記為Δx，且

二、經濟學中常用的函數

(一)需求函數

在經濟管理中，一種商品的需求數量、影響商品需求數量的因素的關系等可用需求函數表示，其是一種單調減少函數。隨著全球經濟的快速發展，越來越多的因素對市場商品需求量產生影響，如消費者需求、銷售其余、市場價格、獲取的方便度等。在需求函數中，自變量是影響需求數量的各種因素，因變量是需求數量。例如，對于某商品而言，如果影響該商品需求量的因素只有市場價格，商品市場價格用p表示，商品需求量用Q表示，那么需求函數為Q=f(p)。

(二)成本函數

成本函數是一個變量、產量的函數式，指的是在保持要素價格、技術水平不變的情況下，成本、產出的關系[3]。例如，在從事產品生產的企業中，生產需要的勞動力、設備、場地、原材料等稱之為生產成本。根據投入不同，生產成本可分為固定成本、可變成本，其中，固定成本指的是在短期時間內，隨著產品的增加，投入不會變化的成本，可用C1表示，如設備、廠房等。而可變成本指的是隨產品數量變化而投入變化的成本，可用C2(q)表示，如工人工資、原材料費用等。這樣，企業在生產q個單位產品的過程中，所投入的總成本為C(q)，其函數表達式為C2(q)=C1+C2(q)。

(三)收入函數

在企業商品銷售中，銷售q數量的產品，其所獲取的收入即用收入函數表示，記為R(q)。同時，隨著產品銷售量的增加，收入增加，所以，收入函數R(q)為單調增函數。若果產品價格p為常數，那么總收入為R(q)=pq。但是，在產品的實際銷售中，當銷售量q值增加到一定程度后，市場對該產品的需求達到飽和，供大于求，從而造成價格下降[4]。

(四)利潤函數

對于市場中的任何產品而言，均存在總投入成本、總收入，而總利潤函數表示的是總收入與總成本的差額，即收入扣除成本后的剩余部分，用總收入減去總成本。如果用L表示利潤函數，根據收入函數R(q)、成本函數C(q)可知L=R(q)-C(q)。

三、導數理論在經濟分析中的具體應用

(一)在資源合理利用中的應用

在市場經濟中，隨著市場范圍的擴大，市場競爭越來越強，企業的經濟收益不僅需要市場收入的增加，還需要資源的合理利用，全面利用市場資源，增強市場競爭力，提高市場影響力。對于資源的合理利用而言，主要體現在資源的最大化使用、資源的合理分布。從數學角度分析經濟問題，資源利用問題，主要是對最大值、最小值問題的解決。而在計算最值中，導數發揮重要的作用，可先對一階導數進行計算進而對駐點進行確定，然后通過二階導數計算最大值點、最小值點，從而對資源利用的合理性進行確定[5]。

例如，某房地產公司在公寓出租時，需要確定最佳的租金，以確保獲取最大值的收入。假如公司有50套公寓，當每間每月租金為180元時，房間全部租出，而當每間每月租金增加10元后，出租出去的公寓便會少一套，且公司每月要對出租的公寓進行維護，維修費為20元。根據導數函數，將最佳房租設定為x元，收入函數為成本函數公司每月獲取的利潤為對函數L進行求導得令L′=0，得x=350。因此，根據導數函數可知，房地產企業的每套公寓的每月租金定為350元時，公司可獲取最大的利潤。

(二)在經濟學邊際分析中的應用

在經濟學中，當經濟變量x發生變化時，經濟變量y隨之變化，其變化值多用邊際概念表示。邊際概念表示在x的變化量Δx→0時，y的變化量Δy與Δx的比值變化，在某一給定值附近，當x發生微小變化后，y將產生瞬間變化。指標因素x與指標y的函數關系為 y=f(x)，f(x)的導數f ′(x)為邊際函數。邊際函數包括邊際成本、邊際收入、邊際利潤等。在經濟分析中，企業總成本隨著產品單位的增加而增加，總成本對產量的變化率即用邊際成本表示，記做MC=C′(q)，因此，總成本函數對產量的導數即為邊際成本函數，利用微分微分近似理論得知，C( q+1)-C( q)=ΔC≈C′( q)，這樣，在一定產量范圍內，再增加一個單位所需要的成本即可用邊際成本表示[6]。例如，當某一產品的成本函數C( q)=200+0.05q2時，生產100個單位產品的邊際成本為C′(100)=0.1× 100=10。

(三)在最小平均可變成本中的應用

成本是企業生產首先考慮的問題，是產品價格定位的關鍵。在經濟活動中，一切活動均離不開費用的節省，企業、營銷商、消費者均希望通過最小的勞動量、資金獲取最大的經濟效益。根據成本函數，可在最小平均可變成本計算中合理應用導數函數。例如，當某企業的成本函數C( q)=q3-9q2-30q+25時( q表示產量，單位為噸；C表示總成本，單位為千元)，那么，在企業的運營中，需要合理計算生產數量，以此保持最小的費用。在最小平均可變成本計算中，用y表示平均可變成本，當y′=0時，q=4.5(噸)。所以，當企業生產4.5噸某產品時，所需最小的費用。

(四)在經濟學彈性分析中的應用

在經濟學中，彈性分析是一個極為重要概念，定量描述一個經濟變量對另一個變化變量的反應狀況，彈性系數=因變量變化率/自變量變化率。例如，在y=f(x)中，在x0可導時，函數的相對改變量為Δy/ y0，其與Δx/x0的比為這樣，在Δx→0時， 在f(x)的相對變化率為極限即為彈性。例如，在某商品的需求量對收入、價格的方程中，設回歸系數為10，當銷售量是80000，收入為10000元時，商品的收入彈性為，其中，N表示的是商品的銷售總量，q為收入，ΔN為銷售量變化，Δq為收入變化。那么，商品的收入彈性為

四、結束語

隨著社會經濟的快速發展，經濟分析需要全面衡量各種因素、利用多種分析工具。在經濟分析，數學知識的利用必不可少，導數理論為經濟分析提供科學的分析依據，導數函數為經濟分析提供有效的分析工具。利用導數理論，結合成本函數、收入函數、利潤函數等，為企業經營者提供精確數值，確保企業以最佳的銷售成本、資源，獲取最大的利潤，并為經營者決策提供科學、準確的市場數據和依據。

[1]劉榮花,楊春艷,孫艷偉,等.導數理論在經濟分析中的應用[J].高師理科學刊,2010,30(4):34-36.

[2]陳海偉.論導數在經濟分析中的應用[J].讀寫算(教育教學研究),2011(6):257.

[3]楊春艷,祝微.淺談導數在經濟分析中的應用[J].金融理論與教學,2010(3):81-82.

[4]農建誠.導數與邊際分析法在經濟分析中的應用[J].產業與科技論壇,2012(9):179-180.

Derivative theory in the application of economic analysis

Wang Hai-zhou
(Silicon Lake Vocational and Technical College, Kunshan Jiangsu, 215332, China)

Mathematics knowledge is derived from the actual life, also in real life applications. As a mathematical tool, derivative is widely applied in the areas of the economy. With the rapid development of market economy, the solution of the economic problems need to use more and more mathematical knowledge. Derivative is one of the important tools of economic analysis, optimization analysis of practical problems in economic activities. This article mainly discusses the derivative theory are summarized, and on this basis to explore derivative theory in the application of economic analysis.

derivative theory; economic analysis; application; optimize

F224.9

A

1000-9795（2014）09-000341-02

[責任編輯：鮑 雨]

王海舟(1982-)，男，江蘇海安人，硅湖職業技術學院講師，理學學士，研究方向：高等數學教學與應用。