球函數加法公式的坐標變換解雙環靜電問題

王禮祥

（西南民族大學預科教育學院, 四川 成都 610041）

球函數加法公式的坐標變換解雙環靜電問題

王禮祥

（西南民族大學預科教育學院, 四川 成都 610041）

用球函數加法公式的坐標變換法與電勢疊加原理導出了雙環靜電問題的電勢解; 繼而由帶電體系的互能與虛功原理給出了帶電雙環的相互作用力表達式并作了特殊討論.

帶電圓環; 坐標變換; 電勢; 疊加原理; 勒讓得函數; 球函數

1 引言

眾所周知, 在靜電問題求解中不少專著與教材都不涉及坐標變換法, 大多數都僅在具有嚴格對稱性的坐標系中求解靜電問題; 本文我們以均勻帶電雙環靜電問題為例, 借助球函數的加法公式[1]實現坐標變換導出雙環靜電問題的電勢解析解[2], 最后通過計算帶電雙環的靜電互能并應用虛功原理討論了帶電雙環的相互作用力問題.

2 單環靜電問題在軸對稱坐標系中的電勢解

文獻[3]給出了如圖1所示的單環靜電問題在坐標原點位于軸線上任意點的軸對稱坐標系中的電勢解為

圖1 單環靜電問題Fig.1 Charged single ring electrostatic problems

3 雙環靜電問題的球函數加法公式坐標變換疊加法解

雙環靜電問題是指真空中任意方向、在任意位置處放置的軸線相交的兩個均勻帶電圓環靜電問題, 如圖2所示.

圖2 雙環靜電問題Fig.2 Charged double ring electrostatic problems

建立如圖2所示的兩個共原點的兩種球坐標Orθφ與Or'θ'φ', 原點位于是雙環各自對稱軸的交點上, 環1的軸線為Z軸, 環1的環心位于球坐標(d1,0,0), 環1半徑為r1, 帶電總量是Q1; 環2軸線方向位于球坐標Orθφ經……