一類具有非單調(diào)傳染率的SEIRS時滯傳染病模型的全局穩(wěn)定性

周艷麗， 張衛(wèi)國

（1.上海理工大學理學院，上海200093；2.上海醫(yī)療器械高等專科學校基礎教學部，上海200093）

1 模型建立

在傳染病動力學模型中，傳染率發(fā)揮著重要的作用.在以往經(jīng)典的傳染病模型中，通常采用雙線性或標準的疾病傳染率［1］，使得這些模型的動力學行為比較簡單，但結(jié)果往往不能客觀地反映疾病的傳染機理.Capasso［2］研究了1973年發(fā)生在Bari的霍亂后，引入了飽和傳染率比雙線性傳染率更符合實際.S（t）表示t時刻未染病但有可能被疾病傳染的人數(shù)，I（t）表示t時刻已被感染成為病人而且具有傳染力的人數(shù)，β為接觸率，α為常數(shù)，α＞0.后來，Liu等在文獻［3］中提出了更一般的非線性發(fā)生率均為常數(shù)，p，q＞0.βIp（t）度量疾病的傳染力描述易感者采取措施以抑制傳染力.文獻［4］研究的是當p＝2，q＝2時，傳染病模型的定性分析和分支情況.Xiao和Ruan［5］提出的非線性發(fā)生率為更好地體現(xiàn)了g（I（t））與I（t）之間的變化：如疾病初期人們沒有意識到疾病的危害性，沒有采取有效的措施來阻止疾病的傳播，此時，g（I（t））是單調(diào)增的；隨著染病人數(shù)I（t）的不斷增加，人們逐漸意識到疾病的危害性，采取一些有效的措施，如隔離或減少與患者的接觸，此時，g（I（t））是單調(diào)減的.這能更好地反映疾病的傳染規(guī)律，更符合實際，能為控制疾病傳播提供更有效的防御策略.

另一方面，在建立傳染病模型時，考慮時滯能較好地反映傳染病的潛伏期、免疫期等因素對傳染病動力學的影響，因此，對時滯傳染病模型的研究受到越來越廣泛的重視.近幾十年來，已有許多學者研究了大量的時滯傳染病動力學模型［6－11］.文獻［7］討論了一類特殊的具有雙時滯的SEIRS（易感者、潛伏者、染病者、恢復者）傳染病模型，并得到了模型無病平衡點的全局穩(wěn)定性和地方病平衡點的存在性、唯一性和穩(wěn)定性的充分條件.Xu等［9］考慮了具有飽和傳染率的時滯SEIRS模型，并通過迭代的方法得到了地方病平衡點全局漸近穩(wěn)定的充分條件.Beretta和Takeuchi［6］研究了具有分布時滯的SIR（易感者、染病者、恢復者）傳染病模型的全局穩(wěn)定性.

本文將研究一類具有非單調(diào)感染率的SEIRS時滯傳染病模型.設t時刻的總?cè)丝贜（t）＝S（t）＋E（t）＋I（t）＋R（t），E（t）表示t時刻已經(jīng)感染疾病，但不具有傳染能力的人數(shù)；R（t）表示t時刻從染病者類移出的人數(shù).

式中，Λ，μ，β，γ均為正常數(shù)；τ，δ為非負常數(shù)；Λ表示外界對環(huán)境的人口遷入，假設遷入的均為易感者；μ表示人口的自然死亡率；δ表示免疫喪失率，δ＞0，意味著恢復者具有暫時免疫力，δ＝0，意味著恢復者具有永久免疫力；γ表示染病者的恢復率；τ為時滯（即疾病潛伏期）.

運用微分動力系統(tǒng)的方法，研究潛伏期和非單調(diào)發(fā)生率對系統(tǒng)（1）動力學行為的影響.

2 平衡點和基本再生數(shù)

根據(jù)實際的生物意義，系統(tǒng)（1）將基于以下初始條件：

式中，初始函數(shù)φ1（θ），φ2（θ），φ3（θ），φ4（θ）是Banach空間C＝C（［－τ，0］，?4＋）上的連續(xù)函數(shù).

定義系統(tǒng)（1）的可行域

關于可行域的不變性可得命題1.

命題1 可行域Γ是系統(tǒng)（1）的正不變集，即若滿足初始條件式（2），則當t≥0時，系統(tǒng)（1）所有的解（S（t），E（t），I（t），R（t））都在可行域Γ內(nèi).

證明 若（S（θ），E（θ），I（θ），R（θ））∈Γ（θ∈［－τ，0］），則由文獻［12］可知，系統(tǒng)（1）的解局部存在且唯一.注意到，若對－τ≤θ≤0，有I（θ）≡0，則當t≥0時，I（t）＝0是系統(tǒng)（1）的第3個方程的解.由系統(tǒng)（1）可知，在曲面S（t）＝0上，若（0，E（t），I（t），R（t））∈Γ，則成立.同理，可以證得對所有的t≥0，有E（t）≥0，I（t）≥0，R（t）≥0.由系統(tǒng)（1）的第4個方程可知，在曲面R（t）＝0上，若（S（t），E（t），I（t），0）∈Γ，則在曲面E（t）＝0上，若（S（t），0，I（t），R（t））∈Γ，則在曲面I（t）＝0上，若（S（t），E（t），0，R（t））∈Γ，則0.所以，若（S（θ），E（θ），I（θ），R（θ））∈Γ，則系統(tǒng)（1）的解不可能從邊界S（t）＝0，E（t）＝0，I（t）＝0，R（t）＝0跑出區(qū)域Γ.

將系統(tǒng)（1）的各式相加，得到

其中

因此

所以，（S（t），E（t），I（t），R（t））∈Γ，則Γ是系統(tǒng)（1）的正不變集.

定義系統(tǒng)（1）的基本再生數(shù)為

定理1 當R0≤1時，則系統(tǒng)（1）在Γ內(nèi)有唯一的無病平衡點當R0＞1時，則系統(tǒng)（1）在Γ內(nèi)，除了無病平衡點P0還存在一個正平衡點P＊（S＊，E＊，I＊，R＊）（地方病平衡點），其中

經(jīng)計算，I＊由下面的式子決定：

方程（5）當且僅當R0＞1時，有唯一的正實根（地方病平衡點）.

3 各類平衡點的局部穩(wěn)定性

利用類似于文獻［8－9］的方法，證明系統(tǒng)（1）的無病平衡點和地方病平衡點的局部穩(wěn)定性.

顯然，方程（6）有3個負實根，λ1＝－μ，λ2＝－μ，λ3＝－（μ＋δ）.方程（6）其余的根由方程

決定.令

若R0＞1，則無病平衡點P0是不穩(wěn)定的，因為

因此，方程（7）至少有1個正實根，所以，若R0＞1，則無病平衡點P0是不穩(wěn)定的.

若R0＜1，則方程（7）的所有的根均具有負實部（Reλ＜0）；反之，有Reλ≥0成立.由方程（7）得

所以，當R0＜1時，無病平衡點P0是局部漸近穩(wěn)定的.

當R0＝1時，無病平衡點P0是退化的，因為，若R0＝1，對于方程（6）有唯一的零根和3個負根.

由以上分析得到定理2.

定理2 a.若R0＜1，則系統(tǒng)（1）的無病平衡點P0是局部漸近穩(wěn)定的；

b.若R0＝1，則系統(tǒng)（1）的無病平衡點P0是退化的；

c.若R0＞1，則系統(tǒng)（1）的無病平衡點P0是不穩(wěn)定的.

計算系統(tǒng)（1）在地方病平衡點P＊（S＊，E＊，I＊，R＊）處的線性化系統(tǒng)，并得到相應的特征方程

顯然，有1個根，λ＝－μ，其余的根由下面的式子決定：

其中

當τ＝0時，方程（8）變?yōu)?/p>

如果R0＞1，通過計算可得

顯然

因此，方程（9）當R0＞1和τ＝0時，所有的根均具有負實部.

如果iω（ω＞0）是方程（9）的解，代入方程（9）并分離實部和虛部，得到如下結(jié)果：

對以上兩式兩端平方后加在一起并整理，可得

通過計算可得

同理，可得

通過以上分析可知，當R0＞1時，式（10）不存在正實根，所以，當R0＞1時，系統(tǒng)（1）的地方病平衡點存在且局部漸近穩(wěn)定.

通過以上分析得到定理3.

定理3 若R0＞1，則系統(tǒng)（1）的地方病平衡點P＊（S＊，E＊，I＊，R＊）是局部漸近穩(wěn)定的.

4 無病平衡點的全局穩(wěn)定性

定理4 若R0≤1，則系統(tǒng)（1）的無病平衡點P0是全局漸近穩(wěn)定的.

證明 考慮Lyapunov泛函

當R0≤1時，且等號成立的充分必要條件是R0＝1或I＝0.當I＝0時，有當t→＋∞時，有E→0和R→0，故使得的最大正向不變集為（S，E，I，R），由李亞普諾夫－拉塞爾不變集定理［13］可知，系統(tǒng)（1）的無病平衡點在Γ內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的.

5 地方病平衡點的全局穩(wěn)定性

系統(tǒng)（1）的第1，3，4式中不含E（t），所以，只需要研究下面的子系統(tǒng)：

令u1＝S（t）－S＊，u2＝I（t）－I＊，u3＝R（t）－R＊，并在（0，0，0）處線性化，得到

其中

定理5 若R0＞1，同時滿足mi＞0（i＝1，2，3），則系統(tǒng)（11）的地方病平衡點P～＊（S＊，I＊，R＊）是全局漸近穩(wěn)定的，其中

證明 令

計算V1沿系統(tǒng)（12）的導數(shù)為

令

計算V2沿系統(tǒng)（12）的導數(shù)為

令

計算V3沿系統(tǒng)（12）的導數(shù)為

令

計算V4沿系統(tǒng)（12）的導數(shù)為

定義Lyapunov泛函

其正定性顯然，V沿系統(tǒng)（12）的導數(shù)為

其中

由mi＞0（i＝1，2，3），得負定，所以，地方病平衡點P＊（S＊，E＊，I＊，R＊）在Γ內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的.

6 討論和數(shù)值模擬

通過數(shù)值仿真驗證本文所得主要結(jié)論.在圖1中，取Λ＝2，β＝0.1，α＝6，γ＝0.5，μ＝0.2，δ＝0.2，τ＝2，使得R0＝0.957 6＜1，滿足定理4的條件.從圖1中可以看到，系統(tǒng)（1）的無病平衡點P0（10，0，0，0）是全局漸近穩(wěn)定的，這與定理4的結(jié)論吻合.在圖2中，取Λ＝5，β＝0.8，α＝6，γ＝0.2，μ＝0.4，δ＝0.2，τ＝2，使得R0＝7.488＞1，且m1＝ 0.785 3，m2＝5.424 8，m3＝0.2，滿足定理5.從圖2中可以看到，系統(tǒng)（1）的地方病平衡點P＊（10.477，1.724，0.937 8，0.312 6）是全局漸近穩(wěn)定的，這與定理5的結(jié)論一致.

圖1 系統(tǒng)（1）無病平衡點的漸近行為Fig.1 Asymptotic behavior of the disease－free equilibrium in system（1）

圖2 系統(tǒng)（1）地方病平衡點的漸近行為Fig.2 Asymptotic behavior of the endemic equilibrium in system（1）

本文的疾病傳染率雖然與文獻［10］的疾病傳染率不同，但有著相類似的結(jié)論.本文結(jié)合實際情況，考慮到疾病初期對人們的影響較小，人們沒有采取積極的措施來控制疾病的傳播，這時疾病的傳染力會增大.隨著疾病的不斷傳播，人們逐漸意識到疾病的危害性，人們會采取有效的措施減少與染病者的接觸，同時社會上的有關衛(wèi)生部門也會對染病者采取隔離等一些措施以減少疾病的傳播，這時疾病的傳染力會變小，這樣的傳染率更符合實際，體現(xiàn)了人們的心理作用和社會行為.本文的基本再生數(shù)與文獻［10］相同，同時得到，當R0≤1時，無病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的；當R0＞1時，地方病平衡點全局穩(wěn)定性的充分條件.

文獻［10］主要研究的是傳染率具有飽和性且?guī)в袝r滯的SEIRS模型.

［1］ 周艷麗，王賀橋.具有隔離和接種策略的傳染病模型穩(wěn)定性分析［J］.上海理工大學學報，2010，32（3）：249－252.

［2］ Capasso V.A generalization of the Kermack－Mckendrick deterministic epidemic model［J］.Mathematical Biosciences，1978，42（1／2）：41－61.

［3］ Liu W M，Levin S A，Iwasa Y.Influence of nonlinear incidence rates upon the behavior of SIRS epidemiological models［J］.J Math Biol，1986，23（2）：187－204.

［4］ Ruan S G，Wang W D.Dynamical behavior of anepidemic model with a nonlinear incidence rate［J］.Journal of Differential Equations，2003，188（1）：135－163.

［5］ Xiao D M，Ruan S G.Global analysis of an epidemic model with nonmonotone incidence rate［J］.Math Biosci，2007，208（2）：419－429.

［6］ Beretta E，Takeuchi Y.Global stability of an SIR epidemic model with time delays［J］.Math Biol，1995，33（3）：250－260.

［7］ Cooke K L，Van den Driessche P.Analysis of an SEIRS epidemic model with two delays［J］.J Math Biolo，1996，35（2）：240－260.

［8］ Beretta E，Hara T，Ma W B，et al.Global asymptotic stability of an SIR epidemic model with distributed time delay［J］.Nonlinear Analysis，2001，47（6）：4107－4115.

［9］ Xu R，Ma Z E.Global stability of an SIR epidemic model with nonlinear incidence rate and time delay［J］.Nonlinear Analysis：Real World Applications，2009，10（5）：3175－3189.

［10］ Xu R，Ma Z E.Global stability of a delayed SEIRS epidemic model with saturation incidence rate［J］.Nonlinear Dynamics，2010，61（1／2）：229－239.

［11］ Gao S J，Chen L S，Teng Z D.Impulsive vaccination of an SEIRS model with time delay and varying total population size［J］.Bulletion of Mathematical Biology，2007，69（2）：731－745.

［12］ Hale J K，Lunel S M V.Introduction to functional differential equations［M］.New York：Springer－Verlag，1993.

［13］ Miller R K，Michel A N.Ordinary differential equations［M］.New York：Academic Press，1982.