基于STFIGARCH模型的權證定價研究

鄒 平， 肖慶憲

（上海理工大學管理學院，上海 200093）

1 文獻綜述

1.1 波動理論

人們對利空消息的反應程度常高于對好消息的反應程度，金融時間序列的顯著特征之一就是波動對沖擊的非對稱反應.負的沖擊相比正的沖擊，產生更大的波動，即“杠桿效應”.為了衡量波動的非對稱性，有許多模型被提出：如Nelson［1］提出EGARCH模型，Glosten等［2］提出GJR模型，Engle［3］提出AGARCH模型等.但是用信息沖擊曲線（Engle和Ng［4］）來分析信息沖擊對波動的影響，所有這些模型只有兩種狀態：正的沖擊產生低波動和負的沖擊產生高波動.Hagerud［5］，Lee和Degennaro［6］，Lubrano［7］擴展了這類模型，在方差方程中引入平滑轉移函數，提出了STGARCH模型來衡量波動性.STGARCH模型在兩個狀態之間，還允許中間狀態的平滑移動.STGARCH模型的方差方程在本質上是一個ARMA過程，不能反映波動的長記憶性.

Dacorogna等［8］和Ding等［9］的研究發現，收益率的平方序列與收益率的絕對值序列均存在長期自相關，這意味著波動具有長記憶性.Baillie等［10］提出用FIGARCH模型來刻畫波動的長記憶性，并被廣泛應用.但是FIGARCH模型的信息沖擊曲線是對稱的，不能反映波動的非對稱性，與事實不符.

Kilic［11］在FIGARCH模型中引入平滑轉移函數，提出STFIGARCH模型來同時刻畫波動的長記憶性和非對稱性，其在FIGARCH模型的條件方差過程中允許非線性動態和非對稱性，并引入了平滑轉移參數.STFIGARCH模型實際上就是FIGARCH模型和STGARCH模型的綜合，可以通過偽極大似然估計（QML）來估計參數.通過模擬仿真發現，當STFIGARCH模型是真實模型時，用FIGARCH模型進行參數估計會產生較大的偏差和標準差.對Canadian Dollar／USA Dollar，Japaneses Yen／USA Dollar，Swiss Francs／USA Dollar和British Pound／USA Dollar這4種匯率，以及S＆P 500和ISE 100股指收益率的實證研究發現，STFIGARCH模型優于FIGARCH模型，非對稱性和長記憶性是并存的.

1.2 定價理論

Black等［12］和Merton［13］開創性地提出Black－Scholes期權定價模型，開啟了期權定價研究的大門.Black－Scholes模型有許多缺陷，它的一個重要假設是波動率為常數.期權定價模型在波動異方差性上的拓展，根據其所指定的波動率函數的特點，大致可以分為兩類：一類是確定波動率模型，將波動率作為標的股票價格序列的函數，如Schroder［14］使用的方差為常數彈性的CEV模型，以及國內學者王植祥等［15］研究期權定價所使用的Lattice方法等；二是隨機波動率模型，通過指定描述瞬時資產波動率動態的外生過程建立期權定價模型，如Hull等［16］提出了著名的隨機波動性SV模型.但是，實際應用中這些模型的困難之處在于波動是不可觀察的.

Duan［17］對風險中性進行了擴展，提出了局部風險中性關系（LRNVR）在風險中性測度和物理測度之間進行變換，并且由此在GARCH模型的框架下構建了歐式期權定價的理論基礎.Duan對GARCH期權定價模型進行了大量的實證分析，結果表明GARCH期權定價模型糾正了Black－Scholes模型的定價偏差.Black－Scholes模型是GARCH期權定價模型的同方差資產收益過程的一個特例.

本文首先用STFIGARCH模型對個股波動的長記憶性和非對稱性同時進行研究.然后，在Duan期權定價理論框架下，建立了STFIGARCH期權定價模型來研究國內權證定價.

2 GARCH族模型及其期權定價模型

2.1 FIGARCH及其權證定價模型

GARCH過程和IGARCH過程所描述的指數式遞減與永久持續性都太具有限制性，嚴格地按照某一種模型理論來進行研究都沒有多大的現實意義.不同于短記憶的GARCH模型和永久記憶的IGARCH模型，Baillie［10］用分形差分算子來代替IGARCH模型中的一階滯后算子，FIGARCH模型的方差方程為

式中，L表示延遲算子；ut代表隨機擾動項；d表示分數差分算子；w為常數表示方差與βi為常系數，q與p為常數.φ（L）和β（L）的所有特征根都在單位圓外，式（1）可進一步表示為

式中，λ（L）＝λ1L＋λ2L2＋…，λ1，λ2…為常系數.

其中，Γ（·）表示Γ函數，k表示兩個隨機擾動值之間的間隔長度.

可以看出波動率序列以雙曲率衰減，呈現模型的長記憶性.FIGARCH模型的局限性在于，其信息沖擊曲線是以y軸為中心對稱分布的，同樣大小的正、負沖擊產生同樣的波動，沒有考慮波動的“杠桿效應”.

根據文獻［17］，可利用LRNVR轉換成Q測度下的FIGARCH（1，d，1）期權定價模型為

式中，St表示t時期的股票價格；r表示無風險利率；ht表示方差；Ωt－1表示t－1期的信息集合；ξt表示Q測度下服從正態分布的隨機變量，且E（ξt）＝0；λ表示單位風險溢價；β為常系數；φ（L）＝1－φL，φ為常系數.

根據該模型，標的價格為

式中，T表示看漲期權的到期時間.

對應的看漲期權價格為

式中，X表示看漲期權的執行價格，EQ（·）表示Q測度下的均值.

式（4）中，GARCH期權定價模型的解析解是不存在的，對該期權價格可以用蒙特卡羅模擬的方法進行計算，得到

2.2 STGARCH（1，d，1）模型

STGARCH模型是EGARCH模型、GJR模型與AGARCH模型等非對稱模型的擴展，有多種設定形式，Hagerud［5］在ARCH項中引入平滑轉移，其方差方程為

式中，β，α，α＊為系數；G（zt－s，γ，c）代表邏輯轉移函數；c表示門限參數；γ表示轉移參數；zt－s表示轉移變量.G（zt－s，γ，c）＝一般取ut－1.易知，0≤G（·）≤1.γ越大，轉移函數G（·）變化越快.當γ→∞時，轉移函數在0和1間突變，此時STGARCH模型變成TARCH模型.可見TARCH模型實際上是STGARCH模型在γ→∞時的一個特例.

該模型可以表示成下面的形式，即

對于660MW等級切圓燃燒Π型鍋爐和對沖燃燒型鍋爐，屏底溫度變化對水冷壁、過熱器及再熱器等受熱面的吸熱量影響規律基本一致。隨著屏底溫度的提高，水冷壁吸熱量明顯降低，而過熱器、再熱器、省煤器吸熱量均有所上升。其中BRL工況下，四角切圓燃燒型鍋爐屏底溫度每提高10℃，水冷壁吸熱量降低1.21%，過熱器吸熱量提高1.74%，再熱器吸熱量提高0.63%；對沖燃燒型鍋爐屏底溫度每提高10℃，水冷壁吸熱量降低1.28%，過熱器吸熱量提高1.20%，再熱器吸熱量提高0.87%。具體結果見圖4。

為了同時考慮波動的非對稱性和條件方差本身的非對稱性，Anderson等［18］在ARCH項和GARCH項中同時引入平滑轉移函數，如式（10）所示，即

2.3 STFIGARCH及其權證定價模型

本文在FIGARCH（1，d，1）的GARCH和ARCH項同時引入邏輯轉移函數，即

式中，φ（L）＝1－φL，φ為系數；系數β和β＊表示波動動態參數.當zt－s→∞，G（·）→1，此時模型變成波動動態參數為β＊的FIGARCH（1，d，1）模型.當zt－s→－∞，G（·）→0，此時模型變成波動動態參數為β的FIGARCH（1，d，1）模型.若zt－s→c，此時模型變成波動動態參數為的FIGARCH（1，d，1）模型.

式（11）可進一步表示為

從而得到STFIGARCH模型的ARCH（∞）表示，即

動態參數β，β＊和分別對應該模型的高端狀態、低端狀態和中間狀態.Conrad等［19］得到了該波動過程在某狀態下的非負條件.例如，在G（∞，γ，c）→1狀態下，該波動過程的非負條件為w＞0，0≤φ≤（1－d）／2，λ＊1＝d＋φ－β＊≥0.注意0≤G（·）≤1，β（1－G）＋β＊G是β和β＊的復合形式，因此可以推導出該條件波動過程的非負條件為w＞0，0≤φ≤（1－d）／2，β≥0，β＊≤d＋φ.

根據文獻［17］，在STFI－GARCH模型中可利用LRNVR轉換成Q測度下期權定價模型為

以后的定價步驟與FIGARCH期權定價方法相同，不再重述.

3 研究方法

3.1 STFIGARCH模型的估計

Kilic［11］用偽極大似然估計（QML）方法估計STFIGARCH模型的參數.模型在高斯過程下的對數似然函數為

式中，Yt表示觀測向量；yt表示預測向量；θ為參數向量；f（·）是概率密度函數；lt表示概率密度函數的對數.式（15）在參數向量θ＝（w，d，φ，β，β，＊γ，c）′處取最大值.

采用Berndt等［20］提出的BHHH算法估計參數?＝（w，d，φ，β，β，＊γ，c，ν），使擬極大似然估計函數（QMLE）最大，其中ν是參數在T分布下的自由度.QMLE估計量的漸進分布如下

式中，N是樣本數；?0是參數的真實值；A（?0）是Hessian矩陣；B（?0）是在?0處的梯度.

3.2 DM檢驗

Diebold等［21］提出DM檢驗，對不同預測模型之間的相對預測能力進行比較.DM的假設分述如下：

其中，g（eA，t），g（eB，t）分別是模型A和模型B預測誤差的函數.令g＝g（eA，t）－g（eB，t），則g被稱為損失函數.考慮一條樣本路徑如果該差分序列是協方差平穩和短記憶的，則可以推導出樣本損失差分的漸進分布.構造DM檢驗統計量為

4 實證分析

4.1 源數據與處理

我國權證市場自2005年8月寶鋼權證開始上市交易，到2011年8月最后一支權證四川CWB1合約期滿，歷時5年，期間一度成為世界上交易最為活躍的市場.對這些寶貴的歷史數據進行分析，有助于深入理解我國的權證定價機制.由于我國上市權證數量較多，作為分析方法上的一種探索，本文僅選取了長電CWB1與僑城HQC1兩支權證，其基本情況如表1所示（見下頁）.數據來源于中信證券交易軟件.收益序列采用收盤價格的對數差分乘以100求得，即

rt＝100（log（pt）－log（pt－1）） （18）式中，rt代表第t期的收益率；pt代表第t期的股票價格指數.

4.2 平穩性檢驗和ARCH效應檢驗

為了消除非平穩性對實證結果的影響，采用ADF方法對指數收益率序列進行平穩性檢驗.由EVIEWS軟件求得P值均為0，因此該收益率序列是平穩的，不存在單位根現象.從圖1（見下頁）可以直觀地看出，收益率的大幅度波動和小幅度波動常常集中在不同的時段，初步判斷該收益率序列存在波動的集聚性特征.為了確定波動的集聚性，對收益率進行滯后5階的ARCH－LM檢驗得到該值大于在1%的置信水平下，拒絕原假設，表明收益率存在條件異方差現象，適合采用GARCH模型族.

表1 基本信息Tab.1 Basic information

圖1 長江電力與華僑城A的收益率序列圖Fig.1 Daily return series of Yangtze power and OCT’s

4.3 收益率絕對值的重標極差（R／S）統計量分析與Hurst指數

由圖2可知，利用R／S分析法進行檢驗時，長江電力的Hurst指數為0.697，而華僑城A的Hurst指數為0.69，均大于0.5，這說明波動的替代指標收益率的絕對值序列表現出較強的長記憶性，從而可以認為收益的波動率呈現較強的長記憶性.圖中，ln N表示時間序列觀測數的對數值，A表示R／S統計量的對數值，R是統計量相關系數.

4.4 參數估計

表2列出了STFIGARCH期權定價模型（STFIGARCH－M）與FIGARCH期權定價模型（FIGARCH－M）的參數值及其標準差.由該表可以發現，無論是FIGARCH模型還是STFIGARCH模型，分整參數d的取值都在0.2～5.8之間，這說明個股波動具有長期記憶性.從最大似然值、AIC準則和BIC準則方面看，STFIGARCH模型均優于FIGARCH模型.與Kilic［11］對S＆P 500和ISE 100的研究結果類似，長江電力的轉移參數γ＝2.057 5，深證股指的轉移參數γ＝1.986 6，均不太大，這說明個股波動狀態變換是較為平滑的.對于長江電力來說，由于β＞β＊，門限參數c＝5.817 1，當ut＞c時代表正的外部沖擊（好消息），并且造成較大的股票波動，顯示出“反向杠桿效應”.而對于華僑城A，β＜β＊，門限參數c＝2.361 5，當負的外部沖擊ut＜c時，造成較大的股票波動，顯示出“杠桿效應”.

圖2 絕對值序列的R／S分析Fig.2 R／Sanalysis of absolute value sequence’s

4.5 期權定價模型結果比較

模型的推導過程中并沒有考慮太多現實中的交易成本問題和市場操縱問題，而是適用了B－S期權定價模型的假設條件.分別利用前面的兩種定價模型對兩支權證自上市之日起存續期間的235和220個價格數據進行預測，然后與市場價格相比較.通過均方誤差（MSPE）和平均絕對值誤差（MAPE）來檢驗模型預測波動的精度和能力，分別為：WMSPE＝對 WMSPE與WMAPE進行DM檢驗，結果見表3.可以看出STFIGARCH－M的預測誤差比FIGARCH－M要小，與實際數據更匹配.而統計量分別在5%，15%及12%的統計性水平上不為零，STFIGARCH－M要優于FIGARCH－M模型，因此用STFIGARCH－M來對我國的個股權證進行定價是適宜的.

表2 各模型估計結果Tab.2 Models’estimation results

表3 權證預測結果比較Tab.3 Comparison of option pricing estimation results

觀察圖3，無論是STFIGARCH－M還是FIGARCH－M，權證定價擬合值比權證的實際值要小.這可能是由于我國權證數量有限，供應量太小，創設機制對券商的要求較高，限制了權證的有效供應量，以及不存在賣空機制，投資者無法通過套利操作使權證價格回歸合理價位，影響了模型定價的合理性.但是隨著行權日越靠近，股票價格的不確定性越來越小，權證價格逐步回歸到模型的理論價格.

圖3 權證定價模型價格比較Fig.3 Pricing comparison with option pricing model

5 結 論

本文探索研究我國權證市場的定價機制，選取了長江電力和華僑城A兩支個股進行分析.對收益率序列的R／S檢驗表明兩支個股存在顯著的長記憶性效應，這表明基于短記憶的二階矩建模對波動結構的擬合可能是不充分的.對個股收益率進行長記憶的FIGARCH和STFIGARCH建模，擬合結果顯示：STFIGARCH的對數最大似然值較FIGARCH大，而BIC值、AIC值較小，說明STFIGARCH擬合得更好，個股波動的長記憶性和非對稱性是共存的.

然后，利用蒙特卡羅模擬進行FIGARCH－M與STFIGARCH－M模型的權證定價，計算出權證的理論價格.實證結果表明，STFIGARCH期權定價模型優于FIGARCH期權定價模型.但是，FIGARCH期權定價模型與STFIGARCH期權定價模型的定價結果在權證發行期均小于真實值，我國權證市場偏向于被高估.隨著行權日越靠近，股票價格的不確定性越來越小，權證價格也逐步回歸模型的理論價格.

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