分數階系統的二自由度PID預期動態整定法

李明大,王 京,李東海

(1.北京科技大學冶金工程研究院,北京,100083；2.清華大學熱能工程系,北京,100084)

分數階微積分將微分、積分的階次擴展到實數范圍，拓展了人們所熟知的整數階微積分的描述能力。計算機仿真軟件的快速發展使得越來越多的學者將分數階微積分算法用于控制器的設計。分數階控制最早應用于CRONE控制器[1]。隨后，Podlubny等將分數階PID控制器(FO-PID)引入分數階系統的控制中，取得了良好的效果[2-4]。針對分數階模型，文獻[5]提出了一種基于幅相裕度的分數階PID整定方法。此外遺傳算法、根軌跡法等也被用于分數階PID的參數選取[6-7]。文獻[8-9]詳細討論了分數階PID控制器積分與微分的階次變化對控制系統的影響。對于兩類分數階模型，文獻[10]與文獻[11]分別設計了形如(Kp+Ki/s)λ的分數階[PI]控制器(FO-[PI])和形如Kp(1+Kds)μ的分數階[PD]控制器(FO-[PD])，仿真結果表明分數階[PI]、[PD]控制器要優于分數階PI、PD控制器。

分數階微積分能更加準確地描述自然物理現象，但在控制器中分數階特性的實現卻不容易。例如，單一的分數階算子要用高階傳遞函數或有限時間截斷來近似，在離散系統中也要用高階的離散傳遞函數來近似[10-13]。然而在很多生產過程中，如高速中厚板軋制，對控制器和控制算法的快速性要求非常高[14-16]，因此，針對更真實的分數階模型，設計出簡單易整定的控制器是很必要的。文獻[17]研究了一種非線性魯棒控制器，將控制器參數與系統預期動態相結合，使得控制器參數具有實際物理意義，而文獻[18]將此方法與PID控制器相結合，針對常見的工業對象提出了基于預期動態的PID整定方法。文獻[19]研究了分數階系統的自抗擾控制，將分數階動態當作系統擾動進行實時估計并予以抵消。在上述研究基礎上，本文采用二自由度PID控制器，針對分數階模型提出基于預期動態方程的簡單整定方法——DDE法，通過仿真對DDE法的有效性進行驗證，并與其他分數階控制方法的控制效果進行比較。

1 分數階系統簡介

描述分數階控制系統最常見的數學定義是Grünwald-Letnikov分數階微分定義式：

(1)

在零初始狀態下，分數階微分的拉普拉斯變換為

L [Dαf(t)]=sαF(s)

(2)

考慮單入單出時不變分數階系統，其傳遞函數有如下形式：

(3)

式中：q>0，n>0，m≥0，均為整數，且n>m；H為系統高頻增益，H≠0；ai(i=0,1,…,n-1)、bi(i=0,1,…,m-1)為未知系數。令r=n-m/q，r為系統的相對階。

(4)

得到系統的標準型：

(5)

式中：ci(i=0,1,…,n-m)、di(i=0,1,…,m-1)為未知系數；u為控制輸入。

2 預期動態法

(6)

在滿足假設②的條件下，如果f可測，則系統(5)的控制律可化為

(7)

其保證了閉環系統(5)和式(7)的特征值分別與多項式h0+h1s+…+hn-m-1sn-m-1+sn-m以及B(s)相一致。

由于所有狀態不可測并且系數ci、di與H都未知，控制律(7)是不可實現的。在此引入積分器來抵消f的影響，故控制律可重新寫為

(8)

式中：

(9)

(10)

且hii=0,…,n-m-1為適當的正常數。

當n-m=2時，閉環系統的預期動態方程為

(11)

其所對應的控制律為

(12)

將式(6)與式(9)代入式(10)中，遵循簡單控制原則可得到：

(13)

為快速跟蹤f并達到適當的穩定裕度，取k=10。因此式(12)可化為

u=-h0(y-r)-h1sy-

(14)

化簡可得到二自由度PID控制律：

(15)

式中：

(16)

二自由度PID結構如圖1所示，其中虛框所指由DDE法整定。

圖1 二自由度PID結構形式Fig.1 2-DOF PID structure

式(16)中各參數的選取規則如下：

(1)根據控制要求確定預期動力學方程(11)的系數。設定調節時間TS，超調量要盡量小。根據經典控制理論對二階系統的分析，并考慮到實際動態性能與預期動態存在偏差，需要保證足夠的性能裕度，故取：

(17)

式中：T=TS/6。

(2)調整單一參數l。令l值從接近0的一個很小的值(如0.0001)開始單調增加。當系統超調量在0～1%之間變化時，固定此l值為控制器參數。

(3)按式(16)計算二自由度PID控制器其他參數。通過仿真實驗檢驗系統性能，滿足要求則整定結束，否則可能是因為TS設定得太小，需返回(1)重新設計。

3 分數階模型控制仿真

3.1 分數階模型及其控制參數

為了驗證DDE法的有效性，筆者從文獻中選取8個主要的分數階模型(1個加熱爐模型和7個虛擬的分數階模型)進行對比仿真分析，如表1所示，其中模型1為加熱爐模型。文獻[5]～文獻[11]分別采用分數階PID、[PI]和[PD]控制器對8個模型進行控制，控制器參數如表2所示。本文采用DDE方法設計了整數階二自由度PID控制器(DDE-PID)對8個分數階模型進行控制，控制器參數如表3所示。

表1 分數階模型

表2 分數階控制器參數

表3 DDE法整定的二自由度PID控制器參數

3.2 仿真結果與分析

文獻[4]在建立加熱爐的分數階模型(簡稱FOM，即模型1)的同時也建立了其整數階模型(簡稱IOM)，如式(18)所示：

(18)

由圖2可見，在控制更為精確的分數階模型時，無論是分數階PID控制器還是整數階PID控制器均可達到較好的控制效果，并且本文設計的DDE-PID控制效果更好。

8個分數階模型的控制仿真結果如表4所示，控制性能指標如表5所示。由表4和表5可見，分數階PID和DDE-PID都能很好地控制分數階模型，但DDE-PID控制的超調量更小，調節時間更短。同時，兩種方法的控制信號處在同一數量級，甚至DDE-PID的控制代價更小一些。值得注意的是，DDE-PID控制可使系統的動態響應滿足預期，其調節時間小于預期調節時間。另外，雖然FO-[PI]、FO-[PD]控制器比FO-PID控制器的效果更好，但DDE-PID也可達到與FO-[PI]和FO-[PD]相同的控制效果。

圖2 FO-PID和DDE-PID對加熱爐模型的控制效果比較

Fig.2StepresponsecomparisonofFOMandIOMcontrolledbyFO-PIDorDDE-PID

表4 分數階模型的控制仿真結果

續表4

45678

表5 控制性能指標比較

4 結語

本文采用實際模型簡單控制的策略，針對一類分數階模型提出一種基于預期動態方程的二自由度PID整定方法(DDE)。1個加熱爐模型及7個虛擬分數階模型的仿真實例驗證了該方法的有效性。DDE-PID控制可使分數階系統滿足預期動態，并且在控制代價較小或相近的條件下可獲得與分數階PID相當或較其更好的控制效果。

與分數階控制器不同，基于預期動態方程的二自由度PID整定方法不需要對現有的經典PID類型控制器進行大的改動，并且具有結構簡單、整定方便等特點，因此DDE-PID的工業應用前景更為廣闊。

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