自適應小波閾值函數的指紋圖像去噪

李 雷， 魏連鑫

（上海理工大學理學院，上海 200093）

指紋識別技術被廣泛應用于公安刑偵和產品安全驗證中，然而由于設備和環境等因素的影響，使得采集到的指紋圖像質量比較差，給指紋的快速識別對比帶來了一定的麻煩.傳統的圖像去噪［1］是在空間域實現的，主要方法有均值濾波法、中值濾波法和維納濾波法.小波以其良好的時頻特性和多分辨率特性，使其在去噪領域得到廣泛的應用［2－10］.最早的小波閾值去噪方法是由Donoho提出的VisuShrink方法［7－9］，該方法在減少噪聲的同時能保持圖像的局部奇異性，但仍然會過度“扼殺”小波系數，造成一定程度的細節丟失.Chang［11］，Kaur［12］等改進了閾值的選取方法.本文針對指紋圖像在采集過程中由于儀器或者傳輸通道而產生的高斯白噪聲，改進了VisuShrink方法，提出了一種基于噪聲強度和小波分解層數的自適應指紋去噪方法.

1 VisuShrink方法基本原理

原始圖像和噪聲在小波變換后有不同的統計特性，圖像本身的能量對應著較大的小波系數，主要集中在低頻部分，而噪聲的能量對應著較小的小波系數，分布于整個小波域中.根據這一特性，可以找到一個合適的實數作為閾值，當小波系數的幅值大于該閾值時，予以保留；當小波系數的幅值小于該閾值時，將小波系數置零.

小波閾值圖像去噪的主要步驟：a.選擇合適的小波基函數和分解層數對噪聲圖像進行小波分解；b.在小波域對分解后的各層系數進行閾值處理；c.根據小波分解的低頻系數和處理后的高頻系數進行重構，得到去噪圖像.

2 改進的閾值函數

2.1 改進的閾值函數

小波閾值去噪方法的關鍵是小波閾值的量化和閾值函數的選取.傳統的閾值函數有軟閾值和硬閾值，其函數表達式分別為

式中，sgn（wjk）表示wjk的符號；wjk為噪聲圖像的小波變換系數；w′jk為經過閾值函數處理后的小波系數；δ為閾值.

軟閾值函數連續，處理結果相對平滑，但處理后的小波系數會發生一定的收縮，造成一定程度的邊緣模糊等失真現象.硬閾值函數雖然可以很好地保留圖像的邊緣等局部特征，但由于其在閾值點處不連續，處理后的圖像會出現震蕩、偽吉布斯效應.另外，軟、硬閾值函數都有過度“扼殺”小波系數的缺點，會使指紋圖像中很多重要的細節信息丟失，對此，本文提出了一種改進的閾值函數

式中，α（0≤α≤1）為控制參數，其圖像如圖1所示.

圖1 3種閾值函數的對比（δ＝30，α＝0.2）Fig.1 Comparison of three kinds of threshold functions（δ＝30，α＝0.2）

2.2 風險性分析

Donoho等［7－9］利用極小化極大估計建立了軟、硬閾值理論基礎，并對這些閾值估計方法進行了詳細討論.假設噪聲圖像Y＝（yn）n∈［1，n］為原圖像X＝（xn）n∈［1，n］的觀測值，即Y＝X＋ζb.其中，ζ為噪聲的方差，b＝（bn）n∈［1，n］為獨立同分布的高斯白噪聲.該觀察模型經小波變換后在小波域中可表示為，wi＝fi＋ζbi，i∈［1，n］.wi，fi分別為含噪圖像與原圖像的小波系數，白噪聲bi變換后在小波域中仍為白噪聲bi.

對于小波模型wi＝fi＋ζbi，其Oracle投影子風險［13］為

式中，f為原圖像小波系數；w為去噪后小波系數.

當采用硬閾值估計方法時，其風險為

硬閾值估計的風險大于Oracle投影子的風險.對于軟閾值估計，適當選取δ，其Oracle投影風險接近于Oracle投影子的風險.

對于改進的閾值函數估計的風險rn（f）：

當0＜wi＜δ時，

當－δ＜wi＜0時，

因此，改進的閾值函數估計的風險小于硬閾值函數的.雖然改進的閾值函數的小波系數幅值收縮程度比軟閾值函數的小，其投影風險大于軟閾值函數的，但通過調節參數α和δ的大小，可使其接近于軟閾值函數估計的風險.

2.3 仿真實驗

選取FVC2004指紋數據庫中的102＿3.tif，103＿7.tif，104＿5.tif這3幅圖像，分別利用軟、硬閾值函數和改進的閾值函數進行仿真實驗.采用Chang等［11］提出的自適應閾值（j＋1），其中，M，N為圖像的尺寸，σ為標準差，j為當前分解層數.噪聲圖像經過小波分解后，噪聲系數主要集中在高頻部分，可以用分解尺度為1時的對角細節高頻系數的標準差來估計噪聲標準差.對圖像加入標準差為18的高斯白噪聲，采用db3小波作3層分解，α分別取0.1與0.2.實驗結果如圖2所示.只列舉圖像104＿5.tif的實驗結果，“圖2（e）”為α＝0.1時的去噪圖像.

圖2 不同閾值函數的去噪效果對比（α＝0.1和α＝0.2）Fig.2 The denoising effect comparison between various threshold functions（α＝0.1andα＝0.2）

由圖2看出，經硬閾值函數和改進的閾值函數處理后的圖像，比軟閾值函數處理后的圖像更加清晰，且細節特征更加明顯.表1列出了采用不同閾值函數去噪后的峰值信噪比PSNR.當α＝0.1時，改進的閾值函數去噪法比軟、硬閾值函數去噪法獲得了更高的PSNR.當α＝0.2時，只有圖像102＿3.tif的PSNR值略低于硬閾值函數的.因此，通過適當地選取α值，改進的閾值函數可以獲得比傳統的閾值函數更好的去噪效果.

表1 3種閾值去噪方法的PSNR比較Tab.1 Comparison of PSNR between three kinds of denoising methods dB

3 自適應模型的建立與檢驗

3.1 最優參數α的自適應選取

由以上實驗可知，控制參數α的取值決定了去噪效果的好壞.現通過實驗進一步研究α對去噪效果的影響.

對圖像102＿3.tif分別加入標準差為18，21，24，27，30，33的高斯白噪聲，利用改進的閾值函數進行去噪.在區間［0，1］內，利用二分法逐層確定α的最優值.規定：當二分次數s＝8或PSNR之差ε＜10－4時，終止二分，獲得α最優值.計算結果如表2所示，保留兩位有效數字.j代表分解層數.

表2 不同噪聲強度和分解層數下的控制參數α最優值Tab.2 The bestαunder different noise intensity and different decomposition layers

分析表2的數據可知，參數α在小波分解的第一層取值對去噪結果有著相對較大的影響.隨著噪聲強度的增大和分解層數的增加，α的取值呈變小趨勢.當j＝1時，噪聲的大小與α的取值呈負相關關系，采用多項式擬合將更符合模型的走勢.對表2數據分別進行1～5次多項式擬合，對比模型的復相關系數（R－square）和誤差平方和（SSE），在α的取值范圍內，結合模型圖像，本文選取經3次多項式擬合得出的σ－α模型，該模型復相關系數達到0.998 3，誤差平方和為1.349×10－5.當j＝2時，α＝0.005 0；當j≥3時，α＝0.得到參數α關于噪聲強度和分解層數的σ－j－α模型為

圖3 不同α取值方法的去噪效果對比Fig.3 The denoising effect comparison between processing methods with different values ofα

當σ足夠大，使得α＜0時，取α＝0.

3.2 模型驗證

分別選取軟、硬閾值函數、模型（1）的α值和最優α值對分別加入標準差為14，25，36的高斯白噪聲的指紋圖像103＿7.tif進行去噪.其中，噪聲標準差為25的噪聲圖像的去噪效果如圖3所示.

不同去噪方法的均方根誤差峰值信噪比如表3所示.

其中，均方根誤差

表3 不同α取值的峰值信噪比對比Tab.3 Comparison of PSNR with different values ofα

αj代表j層參數α的取值，j＝1，2，3.3個噪聲圖像的峰值信噪比分別為25.186 4，19.809 5，16.982 9dB.

由圖3和表3可以看出，自適應模型和最優參數去噪效果接近，與軟、硬閾值去噪相比，在更徹底去除噪聲的同時，也保留了更多的圖像細節信息，獲得了更高的峰值信噪比和更小的均方根誤差.由自適應模型得出的α值與最優值去噪后圖像的PSNR值相對誤差在1%以內.當σ分別為14，25，36時，其PSNR相比軟、硬閾值法分別提高了3.5%～7.9%，4.2%～9.5%，4.5%～15.3%.

4 結 論

指紋圖像去噪是指紋識別系統中的一個重要環節，對于指紋圖像的讀取、特征提取等具有重要的意義.本文針對傳統的軟、硬閾值去噪法在指紋圖像去噪中的不足，提出了一種自適應選取參數的閾值函數，在一定程度上彌補了軟、硬閾值函數的缺陷.仿真實驗表明，該方法在有效去除噪聲的同時，保留了指紋圖像中重要的細節特征，與軟、硬閾值法相比，去噪后的指紋圖像有更好的視覺效果和客觀評價.

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