周期系數線性系統的穩定性

李 迪,熊良林,和曉萍,程碧輝

(云南民族大學 數學與計算機科學學院,云南 昆明 650500)

線性時變周期系統在科學研究與實際工程問題中經常出現,物理和工程技術中有許多問題最終也都能轉化為具有周期系數的線性微分方程組.用非線性微分方程組描述的周期運動,許多實際方法也是圍繞研究帶有周期系數的線性微分方程[1]來討論的，故周期系數線性方程組穩定性的研究具有重要意義.而在周期系數線性系統中,周期系數情形起著非常重要的作用.

目前,線性時變周期系統的穩定性在很多文獻中都作了深入研究[2-3], 而本文的目的, 在于從周期系數線性系統的系數矩陣入手, 在文獻[1]的基礎上,對周期系統中的矩陣的穩定性進行改進,我們的思想是把矩陣穩定的條件減弱為擬穩定,結果得到相應的周期系統的平凡解由指數穩定變為了穩定的判據.該判據比原有判據所涉及的情形更普遍,也更具有適用性.最后,本文使用仿真例子對所給判據進行驗證.

1 預備知識

本文主要考慮具有周期系數的線性系統[1]:

(1)

其中x∈Rn為狀態向量,A(t)∈Rn×n,A(t+T)=A(t).

為了后面結論的推導與證明方便,特引入如下定義與引理：

引理1[1]系統(1)的平凡解穩定的充要條件是它的Cauchy矩陣K(t,t0)(t≥t0)有界.

引理2[4]X(t)=X(kT+t1)=

X((k-1)T+t1+T)=X((k-1)T+t1)X(T)=

X((k-2)T+t1+2T)=X((k-2)T+t1).

X2(T)=…=X(t1)Xk(T) .

(2)

2 主要結果

本文在文獻[1]的基礎上,對周期系統中的矩陣的穩定性進行改進,放寬條件為擬穩定,得到當矩陣擬穩定時,周期系統平凡解穩定性的判據.下面在給出幾類特殊的周期系數線性系統的穩定性[2-3]判據之前, 引入如下表示:

定理1 若周期系數系統式(1)滿足:

1)A(t)∈μ*:={A(t)|W(1)(t)≡0,?t};

則式(1)的平凡解穩定.

設t∈[kT,(k+1)T],t=kT+t1,由(2)式可知:

X(t)=X(t1)Xk(T)=X(t1)ek(B(T)-B(0)).

(3)

由(3)式及條件2)知,存在常數M>0,使得:

故式(1)的Cauchy矩陣有界,再根據引理1,可得式(1)平凡解穩定.證畢.

定理2 若周期系數系統式(1)滿足:

1)A(t)∈μ**:={A(t)|W(1)(t)≠0,W(2)(t)≡0,?t};

則式(1)平凡解穩定.

(4)

(5)

的Cauchy矩陣,由于W(1)(t)∈μ*,故:

(6)

由條件3)及式(4),式(5),有:

因為W(1)(t)是以T為周期的周期函數,故以下證明類似于定理1的證明,證畢.

定理3 若周期系數系統式(1)滿足定理2的條件1),2),且滿足:

則式(1)平凡解穩定.

故式(1)的Cauchy矩陣有界,由引理1 ,可知式(1)平凡解穩定.證畢.

定理4 若周期系數系統式(1)滿足:

2)A2:=e-A1t0[A(t0)-A1]exp(A1t0),A1A2=A2A1;

3)矩陣A1+A2擬穩定；

則式(1)平凡解穩定.

證明對于等式：

(7)

左乘以e-A1(t-t0),右乘以eA1(t-t0)得:e-A1(t-t0)A1A(t)eA1(t-t0)-e-A1(t-t0)A(t)A1eA1(t-t0)=

A(t)=eA1(t-t0)A(t0)e-A1(t-t0).

(8)

再作變換:x(t)=eA1(t0)y(t),可得:

故有:x(t)=eA1teA2(t-t0)e-A1t0x(t0) .

(9)

從而式(1)的Cauchy矩陣為:x(t)=eA1teA2t=e(A1+A2)t

因為矩陣A1+A2擬穩定,故存在常數M>0,使得:

再由引理1 ,故該定理的結論成立.證畢.

定理5 若周期系數系統式(1)滿足:

1)定理4的條件1)、2成立；

2)矩陣A1和A2=e-A1t0[A(t0)-A1]eA1t0擬穩定；

則式(1)平凡解穩定.

證明由定理4的式(7)、(8)、(9),有式(1)的Cauchy矩陣為:

x(t)=eA1teA2t=e(A1+A2)t.

因為矩陣A1和A2=e-A1t0[A(t0)-A1]eA1t0擬穩定,故存在常數M1>0,M2>0,使得:

故式(1)的Cauchy矩陣有界,再根據引理1,可得式(1)平凡解穩定.證畢.

以上5個定理,是在文獻[1]的基礎上,將相關條件由穩定放寬為擬穩定得到的結論，從而擴展了周期系數線性系統的理論成果.在下一節的數值仿真實例中,將驗證所得結果的時效性.

3 數值實例

為了驗證定理的時效性,特給出如下仿真例子予以說明:

例1 判定下列系統的穩定性:

證明顯然該系統的系數矩陣:

因為Reλ(B(2π)-B(0))≤0,由定義[1]知矩陣B(2π)-B(0)是擬穩定的,故此周期系統是穩定的.給定初始條件x(0)=[-10,25],利用Matlab仿真,可得到系統狀態運行圖(圖1)和系統相圖(圖2).

由仿真圖1和圖2可以看出,在給定初始條件時,所給周期系統是穩定的,從而驗證了本文結論的有效性.

4 結論

將矩陣穩定的條件放寬為擬穩定后,通過計算系統的柯西矩陣并討論其有界性,得到了一系列相關的穩定性結論.從最后的仿真實例可以看出,結論具有一定的可行性.

參考文獻:

[1] 廖曉忻.穩定性的理論、方法和應用[M].2版.武漢:華中科技大學出版社,2010,37-41.

[2] MONTAGNIER P,SPITERI R J,ANGELES J .The control of linear time-periodic systems using Floquet-Lyapunov theory[J].International Journal of Control,2004,77:472-490.

[3] BALAS M J,YUNG J L.Controller design of linear periodic time-varying systems[C]//American Control Conference.USA：Albuquerque,1997,5:2667-2671.

[4] 張勁夫,余躍慶.考慮運動副間隙的曲柄滑塊機構運動穩定性研究[J].機械科學與技術,2004,23(4):533-5361.