俄羅斯高中數學教科書研究及啟示

徐乃楠，孔凡哲，史寧中

(1.吉林師范大學數學學院，吉林四平 136000；2.東北師范大學教育學部，吉林長春 130051)

俄羅斯高中數學教科書研究及啟示

徐乃楠1，孔凡哲2，史寧中2

(1.吉林師范大學數學學院，吉林四平 136000；2.東北師范大學教育學部，吉林長春 130051)

俄羅斯高中數學教科書的編寫特征對我國當前高中數學課程改革和教科書編寫具有重要的借鑒意義。通過對俄羅斯高中《代數與數學分析初步》和《幾何》教科書的比較分析，能夠梳理出俄羅斯高中數學教科書的主要特點，為我國高中數學課程改革和教科書編寫帶來一些啟示。

俄羅斯；高中數學；教科書

俄羅斯對中國教育的影響是全面而深刻的。從20世紀50年代初開始，蘇聯時期的教育模式包括教育理論、教育管理、課程結構、教科書等全盤移植到我國并得到進一步的發展。俄羅斯也有一大批數學教科書成為經典。因此，俄羅斯高中數學教科書的編寫特點和發展趨勢值得我們研究、學習和借鑒。

1 俄羅斯高中數學教科書介紹

蘇聯解體之后，俄羅斯的數學教育開始從行政命令和強權思想中解放出來[1]。教科書打破了以往全國通用統一的局面，實現了教科書的多版本化。由數學家和大學教師主編的數學教科書種類豐富，但也都是遵照高中數學教育標準和示范性大綱編寫的[2]。

1.1 俄羅斯高中《代數與數學分析初步》教科書介紹

(1)柯爾莫戈洛夫主編的《代數與數學分析初步》。該書在由俄羅斯聯邦教育部組織開展的中學數學教科書競賽活動中曾獲二等獎(注：當時沒有獲一等獎的《代數與數學分析初步》)[3]。全書共六章，主要涉及三角函數、導數、積分、指數和對數函數。與我國各版高中教科書不同的是，該書從三角函數入手引入函數概念[4]。

(2)巴什瑪科夫主編的《代數與分析初步》。該書在教科書比賽中曾獲第一名[5]，全書共六章，主要包括函數、導數、三角函數、指數和對數函數、積分等內容。他主編的基礎水平(баэовый уровень)分冊教科書，容量上比合訂本大得多，增加了“復數、組合數學、概率統計和多項式”等內容[6]。

(3)科里亞金主編的《代數與數學分析初步》。該書可供具有基礎和專業水平(базовый и профильный уровни)的學生學習使用，內容上與柯爾莫戈洛夫和巴什馬科夫的教科書一樣[7]。他主編的專業水平(профильный уровни)教科書知識容量更大，其中帶有星號的“二階導數，簡單的微分方程，復數的模和幅角的性質”等內容是“選修的、作為補充的更難內容”[8]。

(4)莫爾特戈維奇主編的《代數與數學分析初步》。該書可供具有基礎水平的學生學習使用，分兩部分，第一部分(Часть 1)是教科書，包含具體的數學知識，第二部分(Часть 2)是每一章課業習題的詳細解法，單獨成冊[9]。他主編的專業水平分冊教科書容量和難度大過合訂本[10]。

(5)阿利莫夫主編的《代數與分析初步》。該書主要包括“實數理論、冪函數、指數函數、對數函數、三角公式、三角方程、三角函數、導數、利用導數研究函數、積分”等內容。其中帶有星號的“無理不等式，反三角函數，函數的凸性和拐點”等內容是選修的[11]。再版后書名改成了《代數與數學分析初步》，增加了“組合數學、概率論基本原理、統計學”三章[12]。

(6)普拉圖謝維奇主編的《代數與數學分析初步》。該書可供具有專業水平的學生學習使用，主要涉及“簡單邏輯、集合論等基礎知識，整除問題，多項式，函數，冪和對數，三角函數，數列極限，函數極限和連續性，導數及其應用，不定積分定積分，復數，概率論”等內容。其中“多項式、凸函數、波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理、全概率公式”等，都是我們大學數學專業課程的內容[13]。

(7)尼科利斯基編寫的《代數與數學分析初步》。該書可供具有基礎和專業水平的學生學習使用，主要包括“根式、冪、對數，三角公式、三角函數，概率論初步，函數，導數，積分，方程和不等式、方程組和不等式組，復數”。帶有星號的“需要深入研究的、更高難度的問題”也很多[14]。

1.2 俄羅斯高中《幾何》教科書介紹

(1)阿塔納相主編的《幾何》。該書可供具有基礎和專業水平的學生學習使用。主要包括“直線與平面平行，直線與平面垂直，多面體，空間向量，空間坐標法和變換，圓柱、圓錐和球，物體體積，平面幾何學的一些知識”等內容。其中帶有星號的知識點“三面角、多面角、歐拉定理”等內容，以及“平面幾何學的知識”不是具有基礎水平的學生必須學習的[15]。

(2)巴卡列洛夫主編的《幾何》。該書可供具有基礎和專業水平的學生學習使用，主要包括“立體幾何公理及其簡單推論，線、面平行，線、面垂直，空間笛卡兒坐標系和向量，多面體，旋轉體，多面體體積，旋轉體體積和表面積，平面幾何問題選編”。其中帶有星號的知識點“三面角、多面角、歐拉定理、相似變換、圓柱體的內切球、圓柱體表面的截面”等內容，以及“平面幾何學”不是具有基礎水平的學生必須學習的[16]。

(3)卡利寧、捷列圣主編的《幾何》。該書可供具有專業水平的學生學習使用，主要包括“立體幾何學引論、多面體理論基礎、空間點的幾何軌跡、空間變換、問題解決、旋轉體、空間向量(后續部分)、最大值和最小值問題、物體的體積和表面積”等內容。另選編了“平面幾何學的理論和方法”，包括“賽瓦定理和梅涅勞斯定理”等內容。其中帶有星號的知識點“歐拉定理、空間相似定理”等內容，以及“問題解決”是“高于正常難度的內容”[17]。

(4)斯米爾諾娃、斯米爾諾夫主編的《幾何》。該書可供具有基礎和專業水平的學生學習使用，包括“立體幾何學初步、空間的平行、空間的垂直、多面體、圓形體、體積和表面積、坐標和向量、平面幾何”等內容。其中帶有星號的“歐拉定理，星狀多面體，麥比烏斯帶”等內容，以及“平面幾何”是“高于正常難度的補充資料”[18]。斯米爾諾娃主編的《幾何》是提供給具有人文傾向的學生學習使用的，知識容量和難度較小，并且介紹了大量的數學史料[19]。

2 俄羅斯高中數學教科書的特點及啟示

2.1 教科書內容選取遵循教育標準、示范大綱，知識容量和內容廣度較大

俄羅斯高中幾套《代數與數學分析初步》最基本的內容主要包括：函數、導數、積分、方程和不等式以及“整數整除性和多項式、組合數學、概率論基礎、統計學、復數、數列極限”等內容。《幾何》主要包括：立體幾何基本理論、平行問題、垂直問題、多面體、旋轉體、空間向量、平面解析幾何。平面解析幾何一般是具有基礎水平的學生選學的內容，或作為附錄知識選編出現。

我國高中數學教科書內容都沒有突破課程標準，與俄羅斯相比基本內容仍然較少。受高考指揮棒的影響，很多高中都利用兩年時間學完全部數學課程，剩下的一年時間專門用于重復性的復習和訓練，學生功利性的升學導向導致對數學的興趣索然，機械性的訓練使學生喪失了學習和追求數學精神的興趣和積極性[20]。高中和大學教學內容的銜接問題也值得認真思考，大學課程重講一遍微積分，影響學生學習的興趣和效率。

2.2 教科書知識內容的難度較大，重視數學英才教育內容的設置

俄羅斯數學教科書的難度被世界公認[21]，高中數學教科書中很多代數內容如“閉區間連續函數的性質及其若干定理、高階導數、泰勒級數、微分中值定理、微分方程、多元多項式和對稱多項式、換元積分和分部積分、大數定律、條件概率和全概率公式”等，幾何內容如“向量的數量積、混合積及其幾何意義，梅捏勞斯定理和賽瓦定理，麥比烏斯帶，星狀多面體，變換群”等，都是我國大學課程的教學內容。

我國高中數學課程對一些難度較高的數學知識不是沒有考慮，只是全都安排在選修課程當中，內容與必修課程的聯系不夠密切。現實中很多學校并未開展這樣的專題講座，原因主要是高考不考這些內容，很多教師對這些現代數學內容不好把握。

2.3 教科書編排直線式和螺旋式相結合，幾何內容組織呈公理化特征

俄羅斯《代數與數學分析初步》基本上遵循“函數-導數-積分”的脈絡組織內容，另補充一些組和數學、概率統計內容。在一些知識點的編排上則遵從螺旋的方式，大部分先講冪函數、指數函數、三角函數及其性質，但在導數、積分應用等教學中仍會詳細地討論這些函數性質，并在后面繼續討論這些函數的方程和不等式求解問題。我國的課程教育也是呈螺旋式上升，代數、幾何和概率統計混排，在一些知識內容的螺旋銜接上還需要逐步完善。

俄羅斯高中《幾何》教科書的內容組織建立在公理體系基礎上。理由是“它對數學思維的發展給予良好的影響，有利于理解數學理論的抽象性的本質和意義，保證了有可能把理論應用到種種具體情況中去。”[22]雖受新數運動影響后的俄羅斯數學教育改革中公理化特點逐漸變弱，尤其在中小學階段沙雷金的直觀幾何非常有名，但俄羅斯大部分幾何教科書還是公理化體系組織數學內容，同時綜合向量幾何和坐標幾何，而平面解析幾何基本上是選修。

2.4 教科書重視數學史的編排和設計，滲透和傳播數學文化觀念

俄羅斯高中新版教育標中指出“數學與信息學”課程領域的學習要求應保證學生“形成數學與信息學生成的相關社會、文化和歷史因素觀；形成數學是人類文化組成部分的觀念”[23]。一般教科書中都包含了相對較長的“獨立閱讀”單元，這部分材料專注于介紹數學史，主題甚至與所學的課程內容關系不大。

教科書中數學史料的編排和設計也較為系統，巴什馬科夫的教科書對數學史的編排方式尤其值得我們借鑒，既有“章首導引”，又有正文滲透和旁注，還有“章末閱讀”[24]。我國教科書中也設置很多的數學史內容，但相對零散[25]。

2.5 教科書課后習題的容量較大，編排呈分層化、體系化的基本特征

俄羅斯高中數學教科書精心選擇的習題量非常之大。柯爾莫戈洛夫主編的《代數與數學分析初步》有2026道習題，而科里亞金主編的《代數與數學分析初步》有2412道習題。這些習題不是一個個習題的簡單羅列，而是一個“習題體系”。

我國高中數學課程中的習題量沒有俄羅斯教科書的習題量大，這與我們一直強調素質教育和減負等總體要求有關。實際上，學生有大量的練習冊等輔助習題資料，并未因教科書中的習題量少而減少負擔。教輔材料的質量良莠不齊，質量難以保障，編排也不系統、缺乏層次。

2.6 教科書欄目設計清晰、印刷精良、圖文并茂，裝幀設計精美

俄羅斯教科書的欄目設計豐富，專門設置了章末閱讀欄目，書后會給出這些習題的參考答案。最后附有全書的主題內容索引。正文編排圖文并茂、紙張優良、裝幀設計精美，一般為17cm×22.5cm開本，封皮硬紙殼裝訂，既美觀大方，又耐磨結實。我們高中各版本教科書都是大開本，不好裝置，裝幀設計和印刷質量也不能很好地吸引學生。

[1] Р. С. Черкасов. История отечественного школьного математического образования[J]. Математика в школе, 1997:2,3,4.

[2]徐乃楠,孔凡哲,史寧中.俄羅斯高中數學示范性大綱最新進展研究[J].長春師范大學學報:自然科學版, 2014,33(3):117-124.

[3]朱文芳.俄羅斯數學教育的最新進展[M].北京:北京師范大學出版社,2011:135.

[4] А.Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын, Б. М. Ивлев, С. И. Шварцбурд. Алгебра и начала математического анализа[M]. 10-11 классов. Москва: Просвещение Издательство, 2008.

[5] М. И. Башмаков. Алгебра и начала анализа[M]. 10-11 класс. Москва: Дрофа Издательство, 2005.

[6] М. И. Башмаков. Алгебра и начала анализа[M].10/11 класс (баэовый уровень). Москва: Дрофа Издательство, 2008.

[7] Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. Алгебра и начала математического анализа[M]. 10/11 класс (базовый и профильный уровни). Москва: Дрофа Издательство, 2011.

[8] Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. Алгебра и начала математического анализа[M]. 10/11 класс (профильный уровни). Москва: Мнемозина Издательство, 2009/2010.

[9]А.Г.Мордкович. Алгебра и начала математического анализа[M]. 10-11 класс(базовый уровни) Часть 1. Москва: Мнемозина Издательство, 2009.

[10] А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра и начала математического анализа[M]. 10/11 класс (профильный уровни) Часть 1. Москва: Мнемозина Издательство, 2009/2012.

[11]Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. Алгебра и начала математического анализа[M]. 10-11 классов. Москва: Просвещение Издательство, 2007.

[12]Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. Алгебра и начала математического анализа[M]. 10-11 классов. Москва: Просвещение Издательство, 2012.

[13]М.Я.Пратусевич,К.М.Столбов, А. Н. Головин. Алгебра и начала математического анализа[M]. 10/11 классов(профильный уровни). Москва: Просвещение Издательство, 2009/2010.

[14]С.М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. Алгебра и начала математического анализа[M]. 10/11 классов(базовый и профильный уровни).Москва: Просвещение Издательство, 2009.

[15]Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов,С.Б.Кадомцев,Л.С.Киселева,Э.Г.Позняк. Геометрия[M]. 10-11 классов(базовый и профильный уровни). Москва: Просвещение Издательство, 2011.

[16] A. B. Погорелов. Геометрия[M]. 10-11 классов. Москва: Просвещение Издательство, 2009.

[17] А. Ю. Калинин, Д. А. Терёшин. Геометрия[M]. 10-11 классов(профильный уровни). Москва: МЦНМО, 2011.

[18] И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия[M]. 10-11 классов(базовый и профильный уровни). Москва: Мнемозина Издательство, 2008.

[19] И. М. Смирнова. Геометрия[M]. 10-11 классов(гуманитарный профиль). Москва: Мнемозина Издательство, 2007.

[20]劉鵬飛,徐乃楠. 數學教育的人文化[J].吉林師范大學學報:人文社科版,2013(6):126-129.

[21]史寧中,孔凡哲. 十二個國家普通高中數學課程標準的國際比較研究[M].長沙:湖南教育出版社,2013:92-94.

[22]斯托利亞爾. 數學教育學[M].丁爾陛,等,譯.北京:人民教育出版社,1984:169.

[23]徐乃楠,孔凡哲.俄羅斯高中數學教育標準最新進展及啟示[J]. 數學通報,2013,52(4):5-8.

[24]徐乃楠,孔凡哲,劉鵬飛.俄羅斯高中數學教科書中的數學史及其啟示[J].吉林師范大學學報:自然科學版,2013,(4):152-156.

[25]徐乃楠.中俄高中數學教科書中的數學史研究[M].長春:東北師范大學出版社,2014.

2014-09-06

國家社科基金教育學2012年度國家重點課題(AHA120008)；吉林省教育廳“十二五”社會科學研究項目(吉教科文合字[2013]第156號)。

徐乃楠(1979- )，女，吉林長春人，吉林師范大學數學學院副教授，碩士生導師，博士，從事數學課程與教學論、中俄數學教育比較研究。

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2095-7602(2014)06-0165-04