亞正定矩陣的基本性質

黃 毅，歐 鵬

(1.成都大學信息科學與技術學院，四川 成都 610106;2.模式識別與智能信息處理四川省高校重點實驗室，四川 成都 610106)

亞正定矩陣的基本性質

黃 毅1，2，歐 鵬1，2

(1.成都大學信息科學與技術學院，四川 成都 610106;2.模式識別與智能信息處理四川省高校重點實驗室，四川 成都 610106)

論述了作為廣義正定矩陣的亞正定矩陣的一些基本性質.

亞正定矩陣;實對稱正定矩陣;特征值

0 引言

對于矩陣正定性的研究，研究人員過去一直局限于實對稱矩陣和 Hermite矩陣.例如，1970年，Johnson［1］引入了不再局限于實對稱矩陣和Hermite矩陣的實正定矩陣的概念，隨后，Horn等［2］提出了實正定矩陣的定義，李炯生［3］對這類廣義正定矩陣的性質和特征做了較深入的研究，屠伯塤［4］提出了亞正定矩陣的概念，并對其做了較系統的論證與研究［4－5］.事實上，實正定矩陣實際上就是亞正定矩陣，這兩個概念是等價的［4］，它們都是把實對稱矩陣的限制去掉了.本研究使用亞正定矩陣的概念，將著重論述亞正定矩陣的一些重要的基本性質.除特別說明的地方外，本研究所討論的矩陣皆為實方陣.

先說明一些本研究所使用的符號:Mn(P)表示數域P上n階方陣的集合;Rn×1表示全體n維實列向量集合;AT表示矩陣A的轉置;ˉA表示矩陣A的復共軛;A*表示矩陣A的共軛轉置，即A*=;λ(A)表示方陣A的特征值;Reλ表示復數λ的實部;Imλ表示復數λ的虛部.

1 定 義

定義1 矩陣A∈Mn(R)稱為對稱矩陣，是指A=AT;如果A=－AT，則稱之為反對稱矩陣;矩陣A∈Mn(C)稱為Hermite矩陣，是指A=A*.

定義2 n階實對稱矩陣A稱為實對稱正定矩陣，如果對于任一非零實向量，X∈Rn×1，都有XTAX＞0.

事實上，實方陣可惟一地表示成，A=(A+AT)/2+(A－AT)/2的分解形式.令，R(A)=(A+AT)/2，S(A)=(A － AT)/2，則，A=R(A)+S(A).其中:R(A)是對稱陣，稱為方陣 A的對稱分支;S(A)是反對稱陣，稱為方陣A的反對稱分支.以下的分解式，A=R(A)+S(A)，均指這種意義的分解.

定義3［1－3］設A∈Mn(R)，如果對于任一非零實向量，X∈Rn×1，都有XTAX ＞0，則稱A為實正定矩陣.

定義4［4］如果實方陣A的對稱分支R(A)是實對稱正定陣，則稱A為亞正定矩陣.

由于實正定矩陣和亞正定矩陣這2個概念是等價的［4］，故本研究使用亞正定矩陣的概念.“亞”字在漢語里有“次一等”的意思，顧名思義，亞正定矩陣就是滿足的條件少于普通的實對稱正定矩陣的正定矩陣.

引理1{實對稱正定矩陣}?{亞正定矩陣}

證明 任給A{實對稱正定矩陣}，則，R(A)=(A+AT)/2=A是實對稱正定矩陣，根據定義3即得，A∈{亞正定矩陣}.因此，{實對稱正定矩陣}?{亞正定矩陣}.

定義5 一個方陣中相同的行標和列標的行和列的交叉元素所形成的矩陣稱為這個方陣的主子陣.

定義6［4］主子式(主子陣的行列式稱為主子式)全大于零的實陣稱為完全主正陣.

2 亞正定矩陣的一些基本性質

定理1 兩個亞正定矩陣之和仍是亞正定矩陣.

定理2 亞正定矩陣的正線性組合仍是亞正定矩陣.即，設ai＞0，Ai∈Mn(R)是亞正定矩陣，i=1，2，…，m，則是亞正定矩陣.

定理3 如果A是亞正定矩陣，S是反對稱實陣，則A+S是亞正定矩陣.

這是因為，R(A+S)=R(A)是實對稱正定矩陣.

引理2［4］亞正定矩陣必是完全主正陣.

由此顯然有，

定理4 亞正定矩陣的行列式必大于零.

從而有，

定理5 亞正定矩陣是非奇異矩陣.

定理6 亞正定矩陣A的主對角元素akk(k=1，2，…，n)全為正實數.

證明 因為A亞正定，故A為完全主正陣，所以，A的主子式全大于零.特別地，其一階主子式也全大于零，即，

一個實方陣A的特征值λ是一個復數，可以惟一地分解成實部Reλ和虛部Imλ之和，而一個實方陣也可惟一地分解成對稱分支R(A)和反對稱分支S(A)之和.另外，矩陣的特征值可以看成是反映矩陣特征的數.例如，實對稱矩陣的特征值是實數，實反對稱矩陣的特征值是純虛數或零，實對稱正定矩陣的特征值是正實數，等等.根據矩陣和數的這種類比關系，可以從直覺上很自然地產生這樣的問題:實方陣A的任一特征值λ的實部是否可以看成和A的對稱分支R(A)對應，虛部是否可以看成和反對稱分支S(A)對應呢?如果是的話，λ的實部是否可以由A的對稱分支R(A)來確定，虛部是否可以由A的反對稱分支S(A)來確定呢?

引理3 (實方陣特征值的實部和虛部的表達式)設實方陣A的特征值λ對應的特征向量為X，則，

其中，i為虛數單位;i2=1.

證明 由AX=λX得，

再得到，

即，

式(1)兩端取轉置共軛得，

式(2)+(3)得，

式(2)－(3)得，

注:引理3給出了實方陣A的特征值的實部Reλ由A的對稱分支R(A)來確定的等式，以及虛部Imλ由A的反對稱分支S(A)來確定的等式.

引理4［4］(Rayleigh-Ritz定理)設A∈Mn(C)是Hermite矩陣，則，

引理5(實方陣的特征值范圍)若A=R(A)+S(A)+Mn(R)，則，

證明 R(A)是實對稱矩陣，所以是Hermite矩陣，由引理3及引理4，對實方陣A的特征值λ(A)和對應的特征向量X有，

又因為，

所以，－iS(A)是Hermite矩陣.又，

故同樣有，

注:①當A為實對稱矩陣時，可以看出式(4)和(5)都是成立的.

②由式(4)和(5)可知，在復平面上，實方陣A的特征值λ(A)分布于以下4個點:

為頂點的閉矩形域內，具體如圖1陰影部分所示.

圖1 復平面上實方陣A的特征值范圍

③引理5給出了實方陣A的特征值實部Reλ的范圍由A的對稱分支R(A)來確定的不等式(4)和虛部Imλ的范圍由反對稱分支S(A)來確定的不等式(5).式(4)表明，實方陣A的特征值的實部Reλ處在對稱分支R(A)的特征值λ(R(A))(是實數)的最小值和最大值之間;式(5)表明，實方陣A的特征值的虛部Imλ處在反對稱分支S(A)的特征值λ(S(A))(是純虛數或零)乘上 －i所得的實數－iλ(S(A))的最小值和最大值之間.

總之，引理3和引理5表明，實方陣A的特征值λ的實部Reλ和A的對稱分支R(A)對應，其數值和范圍可以由R(A)來確定，λ的虛部Imλ和A的反對稱分支S(A)對應，其數值和范圍可以由S(A)來確定.

有了引理3和引理5作基礎，就很容易得出亞正定矩陣特征值的性質.

定理7 亞正定矩陣A的特征值的實部為正實數，即，Reλ(A)＞ 0.

證明 因為A是亞正定矩陣，故R(A)是實對稱正定矩陣，從而λ(R(A))＞0，亦有，

由式(4)得，

因此，Reλ(A)＞ 0.

注意，定理7的逆命題不一定成立，即，特征值實部為正實數的實矩陣不一定是亞正定矩陣.例如，，它的2個特征值為1，1，實部都大于零，但，不是實對稱正定矩陣，從而A不是亞正定矩陣.

定理8 亞正定矩陣集合為一凸集，即，若A、B是亞正定矩陣，則對任意實數t∈［0，1］，tA+(1－t)B是亞正定矩陣.

證明 因為亞正定矩陣的定義和實正定矩陣的定義是等價的，所以，如果A、B是亞正定矩陣，那么對于任一非零實向量X∈Rn×1，都有XTAX ＞0和XTBX＞0.又t與1－t不同時為零，并且都在閉區間［0，1］之內，所以對于任一非零實向量 X ∈Rn×1，XT［tA+(1 － t)B］X=tXTAX+(1 － t)XTBX ＞ 0.

因此，tA+(1－t)B是亞正定矩陣.

［1］Johnson C R.Positive definite matrices［J］.The American Mathematical Monthly，1970，77(3):259 －264.

［2］Horn R A，Johnson C R.Matrix Analysis［M］.Cambridge:Cambridge University Press，1985.

［3］李炯生.實方陣的正定性［J］.數學的實踐與認識，1985，15(3):67－73.

［4］屠伯塤.亞正定陣理論(I)［J］.數學學報，1990，33(4):462－471.

［5］屠伯塤.亞正定陣理論(II)［J］.數學學報，1991，34(1):91－94.

［6］李正良，鐘守銘，黃廷祝.矩陣理論及應用［M］.成都:電子科技大學出版社，1996.

Basic Properties of Metapositive Definite Matrices

HUANG Yi1，2，OU Peng1，2
(1.School of Information Science and Technology，Chengdu University，Chengdu 610106，China;2.The Key Laboratory for Pattern Recognition and Intelligent Information Processing of Higher Education Institutes of Sichuan Province，Chengdu University，Chengdu 610106，China)

This paper gives several basic properties of meta positive definite matrices as one of generalized positive definite matrices.

metapositive definite matrix;real symmetric positive definite matrix;eigenvalue

O151.21

A

1004－5422(2014)01－0020－04

2013－11－12.

成都大學校科技基金(2013XJZ08)資助項目.

黃 毅(1974—)，男，博士，講師，從事計算機數值分析研究.