活性粉混凝土之破壞分析與尺寸效應研究

鄭瑞濱 博士

（臺灣混凝土學會秘書長）

1 引言

鋼纖維混凝土之破壞機制（mechanism），可分成混凝土漿體達到極限拉力強度應力時先行開裂，并將應力轉移給纖維，纖維開始作用的第一階段，而后，隨著纖維傳遞應力的增加，混凝土與纖維之界面剝離（debonding）以及纖維破壞等三個階段。纖維破壞階段的成因，一般區分成纖維握裹長度不足，隨著剝離作用的進行，將使纖維傳遞之應力漸次減至于零，所形成之拉脫破壞；纖維握裹良好且長度足夠，則纖維就會在一定長度的剝離部位產生斷裂的拉斷破壞；以及受剪切作用產生的剪力破壞等[4-5]。三個階段的破壞機制，使得原為脆性的混凝土材料得以因纖維的添加而展現不同的性質差異。

前述不同性質差異的展現，主要因素乃是由于混凝土與纖維間存在可傳遞交互作用之握裹力使之可提升混凝土之受力行為，同時也制止了裂縫的延伸[4]。破壞過程隨應力轉移給纖維，且纖維兩端因握裹力的錨定因素，錨定于裂縫兩邊漿體上，使纖維于裂縫面間形成架橋效應（bridging effect）抵抗裂縫之伸展。架橋效應使得裂縫于開裂過程可按照纖維的橋接作用程度，區分為如圖1之無纖維束制區（Traction Free Zone）、纖維束制區（Fiber Traction Zone）以及破壞過程區（Fracture Process Zone）等三區域。無纖維束制區中，由于纖維已被拉斷或拉脫，而失去束制能力，因此其裂縫面上的應力為零。纖維束制區內則因纖維束制應力σc與其位置及裂縫面之張開位移量（Crack opening displacement）有關：裂縫尖端處，由于裂縫開口為零，因此其束制能力最大；裂縫開口較大的區域，由于纖維被拔出的比例多，其相對握裹部分少，以致束制能力較差，即是第二章所建立應力隨開口位移越大而呈現遞減現象的意涵[3-5]。破壞過程區，則是位于裂縫尖端之后微細裂縫發生之所在區域，其范圍的大小與添加纖維含量、纖維種類具甚大關系。

圖1 纖維混凝土裂縫開裂過程示意圖

就圖2（a）所示，含預置裂縫之抗彎試體的受力過程而言，抗彎過程中，ABC斷面，由下而上可區分為纖維束制區、纖維橋接區以及破壞過程區等。且就試驗過程外力引致之內應力平衡來說，斷面BC段中，破壞過程區與纖維束制區提供力平衡中之拉力。因此，若裂縫尖端的開口位移（Crack Tip Opening Displacement, CTOD）、破壞過程區頂點為可求得且在開口位移變化由破壞過程區頂點向下發展過程呈現線性變化的假設下，則測試試體可承受之外力，將可透過第二章建立之應力、開口位移關系曲線而求得[12]。

圖2 含預置裂縫之抗彎試體的受力過程

前述問題的探討，在中低降服強度的鋼材材料中，已多所研究[15-21]。彈塑性材料于受力后，在裂縫尖端產生大范圍的降伏區域，此時變形發展較快而應力上升緩慢具變形集中的現象，因而，在前述的狀況下，采用應變或位移作為象征破壞的物理參數將更為適合，如同混凝土裂縫產生后的變形問題探討上，一般建議以應力-開口位移關系來表征破壞模式為一相似的概念。前述采用應變或位移作為象征破壞的方法，已廣泛應用于壓力容器的安全評估中[22-23]。茲以探討RPC材料于前述工程的應用可能，因而，本章在前述條件下，將以試驗的方法，進行相關裂縫尖端的開口位移（Crack Tip Opening Displacement, CTOD）關系、破壞過程區頂點分析等探討，為本文的第一個主題。

此外，對于一般的結構物來說，在實驗室中所使用的試體尺寸均為較小的尺寸，有些與實體相差甚至數十倍之多。同樣的骨材粒徑，于實驗室的試體尺寸中屬于粗骨材，但對于大了數十倍的壩體尺寸而言就微不足道了，這些差異是造成混凝土尺寸效應存在的主要原因[6]。因此，混凝土的強度必須視其結構尺寸與所組成的骨材尺寸大小之間的關系來決定其破壞準則，不能直接用強度準則（Strength Criterion）或線彈性破壞力學（Linear-Elastic Fracture Mechanic，簡稱LEFM）來推算，此即是尺寸效應定律（Size Effect Law）的觀念。

相關尺寸效應定律的應用上，已累積相當的文獻數據：Walsh[24]分別以六種不同的混凝土材料，并將幾何形狀相似但尺寸大小不同的試體，以三點抗彎試驗所求得之結果。整理繪制線性回歸圖形，該文獻的研究結論指出尺寸效應理論與其研究成果契合良好。唐[2]采用Bazant的方法，針對骨材粒徑、纖維含量的不同對于尺寸效應之影響進行探討，亦證明SEL的適用性，其并發現骨材粒徑越大，其抗彎強度越大，卻也影響了鋼纖維在混凝土中之均勻分布，減低對微細裂縫的束制作用，而骨材粒徑小，抗彎強度低，但卻能使鋼纖維在混凝土分布較為均勻，而增加對微細裂縫的束制。因此在考慮鋼纖維含量及最大骨材粒徑之混和效應時，必須考慮何種機制較強，以便決定其抗彎強度的大小。文獻[6]更針對混凝土ModeⅠ及ModeⅡ破壞時之尺寸效應做了探討，結果顯示，不管Ⅰ型破壞或Ⅱ型破壞均具有尺寸效應之情況。

研究文獻的共同結論指出，尺寸效應定律的探討，系乎材料破壞準則適切的選用與否。就RPC的應用上而言，提供使用者可以藉由不同試體尺寸的試驗，來推算其他各種尺寸，甚至是超大尺寸結構所應有的破壞特性及力學參數，是重要的環節。因此，本文將在Bazant的研究基礎下，進行相關的試驗研究，提供破壞準則的選用依據。

2 試驗計劃

2.1 試驗變數

圖3 試驗試體尺寸示意圖

本文使用纖維含量0%、1%及2%等活性粉混凝土配比，經拌和、高溫養生后，于齡期七天時進行試驗。試驗的內容含括φ5×10cm之抗壓試驗試體、用以尺寸效應分析之φ10×20cm劈裂試驗試體以及用以進行破壞分析、尺寸效應探討，含預裂縫寬度為2mm、裂縫長度為梁深一半之3×4×12cm、4×4×16cm、7.5×4×30cm及12×4×48cm四種尺寸試體，用以進行破壞分析、尺寸效應探討。試體之尺寸詳如圖3所示。測試之配比、試體尺寸與代號詳如表1。

2.2 試驗架設與量測數據

本文劈裂試驗系依據ASTM C39規范進行。

相關的尺寸效應探討與破壞分析之試驗進行前，先于試體預置裂縫尖端至試驗受壓側之間，依試體尺寸，黏貼TTI Division所制造，量度范圍5mm~30mm不等之KARK-gage，如圖4（b），以便利于試驗進行時，透過Model 1078之裂縫長度量測工具，量測當產生裂縫時，引發電阻的改變量值，進而量化為裂縫之伸展長度。其量測精度度為0.05% Full Scale。

表1 配比表（a）、試驗試體尺寸與代號表（b）

試驗進行時，試體架設于美國MTS公司所制造之100噸萬能試驗機預置之H型鋼上，圖4（a），試驗加載之速率設定為0.005mm/sec。每次試驗時，除記錄MTS施加之外力歷程及以前述之裂縫規量測裂縫之長度外，亦以日本Tokyo Sokki Kenkyujo制造、量測范圍0mm~25mm、精度為0.05mm的LVDT同時量測中點變位，以及使用MTS系統之5mm量測范圍、精度為0.0002mm之COD gage進行裂縫開口變位的量測，圖4（c）。全部的量測數據，并透過TDS302數據擷取系統，匯集于個人計算機中。試驗進行后，將試驗中同時收集之施加外力、裂縫長度變化、中點變位以及裂縫開口位移等量測結果進行分析完成工作。

3 抗壓與劈裂張力試驗

表2為相關測試試體之強度數據匯整，將提供作為破壞試驗與尺寸效應分析中使用。

表3為相關測試試體之強度數據轉換成抗壓與劈裂張力強度之結果，從表中可見，本試驗使用材料之平均抗壓強度約為168.6MPa～187.3MPa之間，試體之變異性約在1.39%～2.84%之間，與第二章試驗結果相符。表中亦可見劈裂張力強度試驗結果。本試驗使用材料之平均劈裂強度，分別為0%纖維含量的8.37MPa、1%纖維含量的12.63MPa以及2%纖維含量的12.63MPa，并有8.8%～9.6%的變異情形發生。其趨勢呈現隨纖維含量的增加而增加的現象，顯現鋼纖維的添加，對于劈裂張力強度的幫助。

4 中點變位與開口位移關系

圖4 試驗架設示意

表2 相關測試試體之強度資料

表3 抗壓強度與劈裂張力強度

Wells[25]根據大量實驗及工程經驗于提出以裂縫尖端開口位移（Crack Tip Opening Displacement，簡稱CTOD）作為表征破壞的物理參數，從而建立裂縫在彈塑性條件下的破壞準則。Wells提出之準則認為：當裂縫尖端開口位移值δ接近臨界值δc時，裂縫即將開裂，而當δ＝δc時，則裂縫即產生開裂。式中δ可由實驗測出或經計算得到，裂縫尖端開口位移值δc則由實驗測定，為材料彈塑性破壞韌性的材料常數。

CTOD準則應用于焊接結構及壓力容器的破壞安全分析非常有效，而且簡單可行，加上δc的量測方法比較簡單，在工程上應用的較為普遍[22-23]，一般用以計算裂縫開口位移δ的公式，乃是根據Dugdale與Muskhelishvili所建立的D—M模型推導出來。而δc則可以透過三點彎曲（Three Point Bending, TPB）試驗進行量測[26]。

以TPB試驗過程之變形幾何及局部材料行為來看，若試驗試體之試體深度w，預置裂縫長度為a，TPB試驗進行過程，隨中點變位產生之撓度（deflection,Δ）以及以MTS系統COD gage量測之裂縫開口位置產生張開現象（V）如圖5所示。則該裂縫開口位置張開（V）大小，可認為乃是由于裂縫尖端繞圖中，破壞過程區頂點O旋轉的結果。

由圖5（c）的幾何關系來看，應該滿足：

由前述之幾何關系說明，若破壞過程區加上纖維橋接區的尺寸可求出，則裂縫尖端開口位移，即可透過量測之開口位移，按比例關系求得。亦即得到破壞過程區加上纖維橋接區的尺寸，是求得裂縫尖端開口位移δ的關鍵。

破壞過程區加上纖維橋接區尺寸的求得，在相關彈塑性材料中，一般認為其與試驗試體實際深度（w-a）成一比例關系，該比例系數即是所謂塑性轉動因子（plastic rotation factor, rp）。也就是破壞過程區加上纖維橋接區的尺寸應為rp（w-a）的大小[22-23]。據此，則試驗過程量測得到之中點變位關系，存在比例關系的條件，即可求得塑性轉動因子（plastic rotation factor, rp）：

圖5 TPB試驗過程之變形幾何

圖6 為一般材料的試驗外力與CMOD關系曲線，曲線中用以定義臨界裂縫開口位移量δc的方法，一般以最大荷載Pmax或圖中之突降點Pc據以選用。本試驗的進行，以位移控制方式行之，試驗曲線上的任一試驗數據，皆可以加卸除方式，視為單一獨立的試驗過程，本文將據此，使用（4）式進行計算試驗中不同裂縫長度產生時的臨界開口位移量δc。

圖7為裂縫計量測得之裂縫長度隨時間的成長曲線。由試驗曲線中L-、M-、S-系列之試驗結果顯示，隨纖維添加量的摻入，造成裂縫長度的拓延速率亦有所減緩。就試體尺寸的影響來說，越小的試驗試體，其裂縫拓延的速率越慢。

圖6 一般材料的試驗外力與開口位移關系曲線

圖7 裂縫應變計量測得裂縫長度隨時間之成長關系

圖8為不同纖維含量下，不同尺寸試驗試體之荷重與中央載重點位移之關系曲線。S-系列之試驗結果顯示，0%纖維含量之試驗試體于漿體開裂后，可承載外力瞬間降至為零，屬突發性的破壞型態。而1%、2%之纖維含量者，其最大可承載外力并無太大差別。整個含纖維試驗組之外力-變位曲線顯現彈塑性的材料特征。

M-系列之試驗結果顯示，0%纖維含量之試驗試體仍為突發性的破壞型態。而1%、2%之纖維含量者，最大可承載外力與纖維含量呈現正相關。1%、2%纖維含量之試驗試體，其試驗過程之外力-變位曲線亦顯現彈塑性的材料特征。L-系列的試驗現象與M系列相似。

圖8 施加外力與試驗試體中點變位關系

圖9 施加外力與預置裂縫開口位移關系曲線

圖10 預置裂縫開口位移與中點變位關系曲線

圖9 為試驗載重與裂縫開口位移之關系曲線，其趨勢與外力-中點變位關系曲線一致。圖10為預置裂縫開口位移與中點變位關系曲線，由曲線中可以看出無論試體大小如何，除開始階段外，大致呈現一致的線性關系。試體尺寸與1%、2%的纖維含量并不致造成裂縫開口位移與中點變位關系曲線的重大變化。

圖11為依據（4-3）式，以圖7～圖10之試驗數據，進行計算所得之塑性轉動因子（plastic rotation factor,rp）。該計算結果顯示，無纖維含量的試驗試體，其塑性轉動因子在裂縫開口變位很小時，即變為很大的數值，說明裂縫開口位移一產生，則試體將開裂成兩半，并以剛體方式產生繞行轉動半徑為無限大的運動情況，此與試驗結果觀察到無添加纖維試驗組之試驗過程都產生突發性的破壞型態相符。當試驗試體添加有纖維含量時，則裂縫開口位移產生后，塑性轉動因子將因纖維的存在而變小且依裂縫開口位移量的增加而發生非線性的增加。

圖11 塑性轉動因子與預置裂縫開口位移關系

圖12 系1%、2%纖維含量之試驗組，依據圖11之塑性轉動因子與相同時間下的裂縫長度等試驗結果計算而得，顯示破壞過程區加上纖維橋接區的尺寸大小，也就是rp（w-a）的數值與中點變位之關系曲線。

圖11之曲線中可以看出，rp（w-a）的尺寸大小與試體的尺寸、纖維含量有所關聯。L- Vf=1%、M- Vf=1%以及S- Vf=1% 的測試，呈現尺寸越大者，其rp（w-a）的尺寸越大；L- Vf=2%、M- Vf=2%以及S- Vf=2% 的試驗結果亦說明相類似的現象。就相同試體尺寸之L-系列來說，纖維含量的增加，使得rp（w-a）的尺寸相對減少，此趨勢亦顯見于M-、S-系列的測試結果中。

圖12 塑性轉動半徑與試驗試體中點位移曲線

圖13 裂縫尖端開口位移與試驗試體中點位移曲線

圖12 為依據前述的幾何條件，計算之裂縫尖端臨界開口位移量δc，建立之δc-試體中點位移關系曲線，該曲線明確說明試體中點變位的變化歷程與δc之間的關系，至此，在本試驗幾何條件下RPC的δc于焉建構完成。相關建構完成之數據，實可提供如圖13之安全性評估流程中予以應用。

5 應力-開口位移曲線應用分析

依據本試驗結果，吾人可求出相關試驗條件下的最大外力荷載、中點變位及其相關臨界開口位移量、塑性轉動半徑等關系。因此，透過建立之臨界開口位移量，并以第二章建構之應力-開口位移曲線關系，則塑性轉動半徑區間內的應力分布即可求得。在受壓側應變呈現線性關系的假設條件下，即可依據力平衡關系，建構出該應力-開口位移曲線下，試體可承受之外力荷載，從而與試驗荷載比較。表4為相關的計算結果與試驗資料之匯整。

表4顯示計算結果大都呈現低估的數值，大部分計算結果與試驗外力的比對誤差在±10%以內，但少數的計算結果有較大的偏差。圖15為相關試驗與計算結果的比較，其說明文獻1所建構之應力-開口位移曲線與本章建構臨界開口位移關系之計算方法，在提供應用為含裂縫構件承載力分析時，將較為保守。

圖14 RPC應用的安全性評估建議流程

表4 應力-開口位移曲線關系的驗證

圖15 驗證計算與試驗比對

6 尺寸效應分析

若將混凝土材料試驗結果之張力強度 ，荷載達到最大值時之標稱應力強度（Nominal stress）σN以及混凝土試體深度d、使用骨材最大粒徑da等，量化與之坐標關系后，其依據骨材粒徑、試體尺寸等差異，大致可將量化的參數，分成趨近于零、很大以及二者中間的狀況。本文中之標稱應力強度（Nominal其中Pmax為極限載重、S為試體跨距、b為試體厚度、d為混凝土試體深度。

Bazant指出，混凝土材料的標稱應力強度σN，可以表示如下：

其中，B、λ0為試驗常數定義如前所述。（5）式中B、λ0的試驗常數，很難由試驗數據來準確的定出，因此，Bazant建議可將（5）式，以兩邊平方取對數的方式，轉換為一直線方程式，再由統計學上的線性回歸方法（Linear regression），定出B及λ0之值，即是：

（7）式的直線方程式中，Y軸截距將可計算參數B，而后透過斜率A即可計算出λ0。（7）式相較于對數坐標之尺寸效應曲線，若材料傾向于以強度準則分析，則線性回歸曲線將接近一斜率為零的水平線，若材料適合用線彈性破壞力學準則來分析，則線性回歸線的斜率將越大。

圖16 SS-、S-、M- 、L-等試驗系列之試驗數據回歸直線

表5 尺寸效應定律參數

圖17 不同纖維含量試驗之試驗數據與尺寸效應定律模式曲線

圖16 為SS-、S-、M- 、L-等試驗系列之試驗數據回歸結果，其顯示纖維添加量0%、1%、2%的試驗斜率分別為0.1163、0.0105以及0.0069，截距分別為8.36、5.89以及5.39等。據此計算之B及λ0值如表5所示。

圖17為不同纖維含量試驗之試驗數據與尺寸效應定律的模式曲線。由試驗的結果可以看出，使用0%纖維含量的RPC材料，適合以線彈性破壞力學理論進行相關構件應用的計算檢核；而1%、2%纖維含量的RPC材料應用于構件中，傾向無須考慮材料本身缺陷，得以彈性力學及塑性力學模型進行相關分析的強度準則來判斷材料之破壞。

結語

本節完成RPC材料之破壞分析與尺寸效應問題的探討，相關研究成果整理如下：

試驗數據，建構完成不同尺寸、不同纖維含量試驗試體之塑性轉動因子（plastic rotation factor, rp）的計算，塑性轉動因子因纖維的存在而變小且依裂縫開口位移量的增加而非線性的增加。

本研究建構了破壞過程區加上纖維橋接區的尺寸大小與中點變位之關系曲線。

研究完成臨界裂縫開口位移的分析，其可配合第二章應力-開口位移曲線進行含裂縫活性粉混凝土之承載力計算并提供為相關活性粉混凝土安全評估之應用參考。

研究完成不同纖維含量活性粉混凝土尺寸效應的探討，0%纖維含量的活性粉混凝土構件，適合以線彈性破壞力學模式分析，而1%、2%纖維含量的活性粉混凝土構件，則偏向于以強度準則來控制。

[1] 何曜宇(陳振川指導)，”活性粉混凝土破壞行為之研究”，碩士論文， 國立臺灣大學土木研究所，民國89年。

[2] 唐開明(陳振川指導)，”混凝土材料之破壞行為研究及尺寸效應”，碩士論文， 國立臺灣大學土木研究所，民國78年。

[3] 楊錦懷(陳振川、陳清泉指導)，”纖維加強水泥復合材料之干縮、黏彈與破壞行為研究”，博士論文， 國立臺灣大學土木研究所，民國78年。

[4] Betterman L.R.,C. Ouyang,t and S.P. Shah, ”Fiber-Matrix Interaction in Microfiber-Reinforced Mortar,” Advn. Cem. Bas.Mat, 2, pp53-61,1995.

[5] Robert C. Wetherhold, J. Bos,”Ductile reinforcements for enhancing fracture resistance in composite materials,” Theoretical and Applied Fracture Mechanics 33 ,pp 83-91,2000.

[6] Bazant Z.P., J. Planas, Fracture and Size Effect in Concrete and Other Quasibrittle Materials, CRC Press, New York, 1998.

[7] Bazant Z.P., B. Oh, Crack band theory for fracture of concrete, Mater.Struct. 16, pp 155-177, 1983.

[8] Gopalaratnam V., S. Shah, Softening response of plain concrete in direct tension, Struct. J. ACI, 82, pp310-323,1985.

[9] RILEM,50-FMC Committee on Fracture Mechanics of Concrete,“Determination of the fracture energy of mortar and concrete by means of three-point bend tests of notched beams,”Mate'r. Constr.18, pp 285-290,1986.

[10] Gupta A., H. Akbar, Cracking in reinforced concrete analysis, J.Struct. Eng. ASCE 110 pp 1735-1746, 1984.

[11] Koji Otsuka, Hidehumi Date,”Fracture Process Zone in Concrete Tension Specimen,” Engineering Fracture Mechanics, 65 ,pp 111-131, 2000.

[12] Ga'lveza,J.C. , J. C. Cervenkab, D.A. Cendo'nc, V. Saouma ,“A discrete crack approach to normal/shear cracking of concrete,”Cement and Concrete Research, 32, pp1567-1585, 2002.

[13] Elices M., J. Planas, Material models, in: L. Elfgren (Ed.), Fracture Mechanics of Concrete Structures, Chapman & Hall, London, 1989,pp16-66.

[14] Broek D., Elementary Engineering Fracture Mechanics, Martinus Nijhoff Publishers, Dordrecht, 1986, pp. 374-380.

[15] Carol I., P. Prat, M. Lo'pez,“Normal/shear cracking model:Application to discrete crack analysis,” Journal of Engineering.Mechanics. ASCE, 123,pp765-773, 1977.

[16] Weng T.L., C.T. Sun,”A study of fracture criteria for ductile materials,” Engineering Failure Analysis, 7, pp 101-125 , 2000.

[17] Green G, Knoll JF.,”On effect of thickness on ductile crack growth in mild steel,” Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 23,167-174.1975.

[18] Steenkamp PAJM, Latzko DGH, Bakker A.”Engineering application of elastic-plastic fracture assessment method: an exploratory study,”Nuclear Engineering and Design, 87, pp 51-68.1985.

[19] Nikishkov, G.P., J. Heerens, K.H. Schwalbe,”Transformation of CTOD d5 to CTOD dBS and J-integral for 3PB- and CT-specimens,”Engineering Fracture Mechanics, 63, pp573-589,1999.

[20] Schwalbe K-H, Heerens J, Hellmann D, Cornec A.,“Relationship between various definitions of the crack tip opening displacement”.In: Schwalbe K-H, editor.“The crack tip opening displacement in elastic-plastic fracture mechanics,” Berlin: Springer, 1986.

[21] Schwalbe K-H,”Introduction of d5 as an operational definition of the CTOD and its practical use,” In: Reuter WG, Underwood JH, Newman JC, editors. Fracture Mechanics. ASTM STP 1256, 26. Philadelphia:American Society for Testing and Materials,” pp763-778,1995.

[22] BS 5762:1979, “Methods for crack opening displacement (COD)testing,” The British Standards Institution, 1979.

[23] ASTM E 1290-93. “Standard test method for crack-tip opening displacement (CTOD) fracture toughness measurement,” Annual book of ASTM Standards, vol 03. 01. American Society for Testing and Materials,Philadelphia, 1993.

[24] Walsh, P.E.,“Fracture of Plain Concrete,” The Indian Concrete Journal, Vol.46, No.11, , pp.469-470 Nov., 1979.

[25] Wells A.A., ”Unstable crack propagation in metals : cleavage and fast fracture”, In Crack Propagation Symposium, Grand-field,England, 1961.

[26] Dugdale D.S.,”Yielding of Streel Sheets Containing Slits”, J. Mech.Phys. Solids 8, pp.100-104, 1960.