PCA法在多變量控制系統中的設計與應用

(陜西理工學院電氣工程學院，陜西 漢中 723003)

0 引言

隨著工業生產過程自動化程度的提高，控制系統的結構越來越復雜，檢測儀表和執行機構的使用數量也越來越多。一個局部故障常會產生鏈式反應，導致整個自動控制系統的崩潰，這不僅會造成巨大的經濟損失，而且會危及人身安全。因此，系統的可靠性是系統安全運行的關鍵，而提高系統可靠性的重要手段是使系統具有一定的容錯能力[1]。而要實現容錯控制，必須預先知道系統某環節出現了故障，所以系統的故障檢測與診斷又是實現容錯控制的前提。決策者根據診斷到的故障源和故障類型，作出相應決策，以改變或修正系統出現的錯誤和故障[2]。

本文采用主元分析(principal component analysis,PCA)法研究多輸入多輸出(multiple input multiple output,MIMO)控制系統，實現系統的故障檢測與診斷，為系統實現容錯控制和安全運行打下良好基礎。

1 主元分析法及基本思路

主元分析法(PCA)是多元統計過程控制故障診斷技術的核心，它是基于原始數據空間，通過降低原始數據空間的維數構建新的數據模型;再從新的映射空間抽取主要的變化信息，以提取統計特征，從而構成原始數據空間特性。新的映射空間的變量由原始數據變量的線性組合構成，大大降低了投影空間的維數。由于投影空間統計特征向量彼此正交，因此消除了變量間的關聯性，簡化了原始過程特性分析的復雜程度。主元分析能對生產過程進行有效故障檢測與診斷。

主元分析法的基本思路是：尋找一組新變量來代替原變量，新變量是原變量的線性組合。從優化的角度看，新變量的個數要比原變量少，并且最大限度地攜帶原變量的有用信息，新變量之間互不相關。主元分析法的內容包括主元的定義和獲取，以及通過主元的數據重構。

目前，針對主元分析的研究與應用綜述比較多，其中大多數文獻都介紹了其基本原理[ 3-5]，甚至包括主元分析的改進型分析方法[6]。本文對此不再贅述，在此主要說明應用主元分析法設計系統時的主要流程和步驟。

2 主元分析法設計步驟

根據主元分析法的概念與設計思路，主元分析法可按以下步驟完成。

① 系統正常運行時進行采樣，獲得原始數據，設多變量數據矩陣為X∈Rm×n，其中每一列對應一個變量，每一行對應一個樣本。

(1)

④ 計算R=[rij]m×n的特征值與特征向量。

解特征方程|λI-R|=0，并把特征值按大小順序排列，記為λ1,λ2,…,λm，相應的特征向量記為p1,p2,…,pm。

⑤ 計算主元：ti=X*pi。

主元ti表示數據矩陣X*在這個主元相對應的負荷向量方向上的投影，其長度越大，表示X*在pi方向上的覆蓋程度或變化范圍越大。

若‖t1‖>‖t2‖>…>‖tm‖，則p1表示數據X*變化的最大方向，pm表示數據變化的最小方向。

⑥ 計算各主元貢獻率及累計貢獻率。

⑦ 繪制統計過程圖，進行故障的檢測與診斷。

3 統計過程控制圖

3.1 診斷模型的建立

PCA統計分析是把過程數據向量投影到兩個正交的主元空間和誤差空間上，建立其相對應的統計信息并進行假設檢驗，依此來判斷過程的運行情況。PCA統計分析主要采用多變量統計過程控制圖，常見的有平方預測誤差(squared prediction error,SPE)圖、Hotelling T2圖、貢獻圖、主元得分圖[7]。

3.2 統計控制圖

建立PCA模型后，要檢測數據中是否包含過程的故障信息，可以通過建立統計量進行假設檢驗，判斷過程數據是否背離了主元模型。通常采用的方法是對主元子空間建立的Hotelling T2統計量和平方預測誤差SP統計量進行統計檢測。若實時數據超出平方預測誤差SPE和Hotelling T2的控制限，則會出現異常狀況。

3.2.1 SPE圖

(2)

式中：ei為誤差矩陣E的第i行；Pk=[p1p2…pk]；I為單位矩陣。

SPE統計量反映了現場數據與建模數據的差異，說明了某時刻測量值對主元模型的偏離程度，它是衡量模型外部數據變化的測度。當SPE統計量太大時，說明生產過程出現了異常情況。

當檢驗水平為α時，其SPE的控制限可根據式(3)來計算。

(3)

3.2.2 Hotelling T2圖

Hotelling T2圖是得分向量的標準平方和，表明每個樣本在變化趨勢和幅度上偏離實際模型的程度。對于第k個時刻主元模型的T2統計量，可定義為：

(4)

T2統計量的控制限可利用F分布按式(5)計算。

(5)

基于Hotelling T2的假設只能判斷主元子空間中某些變量的變化，因此如果有測量變量沒有體現在主元模型中，則這種變量的故障也就不能通過Hotelling T2圖進行檢測。此時可考慮通過分析平方預測誤差(SPE)圖進行故障檢測。

3.2.3 主元得分圖

主元得分圖反映了主元模型內部各主元跟隨時間波動的情況，其得分向量求解式為：

ti=X*pi

(6)

同樣主元得分向量的控制限為：

(7)

式中：ti,α為置信度為α的得分向量。如果ti>ti,α，則說明此時主元得分分析異常；否則，說明統計正常。

3.2.4 貢獻圖

當Q統計量或T2統計量超過其控制限時，則說明過程中出現了異常情況，但并不能從Q統計圖或Hotelling T2圖中找出發生的故障，必須借助貢獻圖來確定故障源的位置。第i個過程變量對在第k時刻的Q統計量的貢獻可表示為：

(8)

4 具體應用

某兩進兩出(2I2O)液位控制系統示意圖如圖1所示。系統要求對兩個水箱的液位進行定值控制，圖1中：1#水箱被控變量為h1，用壓力變送器LT1進行測量，控制變量為q1，通過調節信號u1改變其大小；2#水箱被控變量為h2，用LT2進行測量，控制變量為q2，通過調節信號u2改變其大小[7-8]。兩容器之間通過閥門相互關聯，關聯系數為f0，另外兩個水箱的自泄流分別為d1、d2。

圖1 兩進兩出液位控制系統示意圖

圖2 SPE統計量圖

圖3 Hotelling T2統計圖

由圖2、圖3可以看出，系統在前半階段運行正常，而到后半階段出現了樣本數據超出控制限情況，說明該階段樣本出現了異常，系統某部分出現了故障。通過對得分向量圖進行分析，發現第1個主元得分向量沒有測量點偏移，而第2個主元得分向量圖中后半階段有多個測量點超過置信限；再通過觀察第2個主元負荷向量圖發現，變量u2和變量q2對第2個主元的貢獻率最大，這兩個變量又是控制第2個容器的液位大小的進料情況，由此可判定是第2個控制回路出現故障。經查驗確認為第2個調節閥故障，開度幅度超出系統要求。

5 結束語

針對多輸入多輸出系統的原始復雜數據信息，采用主元分析(PCA)法實現對復雜數據信息的特征提取，并構建了相應過程的主元模型。主元模型通過檢驗新的數據樣本對主元模型的偏離程度發現故障信息。仿真結果與實際運行表明，多變量統計過程能夠根據過程的變化做出判斷，從而達到檢測與診斷的目的，提高系統的安全可靠性[9-12]。

[1] 周東華,葉銀忠.現代故障診斷與容錯控制[M].北京:清華大學出版社,2000:28-30.

[2] Tien X,Lim K,Liu J.Comparative study of PCA approaches in process monitoring and fault detection[C]∥IECON Proceeding,2004:2594-2599.

[3] 朱松青,史金飛.狀態監測與故障診斷中的主元分析法[J].機床與液壓，2007(1):241-243.

[4] 楊瑞明.基于主元分析的生產過程質量控制與診斷[J].制造業自動化，2012(16):81-83.

[5] 李果，張鵬，李學仁，等.基于動態主元分析法的傳感器故障檢測[J].數據采集與處理，2008，23(3):238-241.

[6] Wang Min，Hu Niaoqing.Study on complete analysis of LRE test samples based on PCA[J].Journal of Measurement Science and Instrumentation,2011(3):217-221.

[7] 張杰,陽憲惠.多變量統計過程控制[M].北京:化學工業出版社,2000.

[8] 令朝霞.一類多輸入多輸出系統的冗余設計[J].自動化儀表，2011(11):17-19,22.

[9] 蘇明,陳倫軍,林浩.模糊PID控制及其MATLAB仿真[J].計算機應用,2004(4):51-55.

[10]汪璇炫.模糊PID控制在工業過程控制中的應用研究[D].合肥：合肥工業大學,2005.

[11]劉彪.基于Wincc的環境模擬試驗監控系統設計與實現[D].南京：南京理工大學,2013.

[12]焦舟波,石紅瑞.模糊PID控制在S7-300 PLC中的實現及應用[J].工業儀表與自動化裝置,2011(3):64-67.