三次Hermite插值曲線的能量?jī)?yōu)化

裴 芳，高 屾，韓旭里

PEI Fang1,GAO Shen1,HAN Xuli2

1.山西財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，太原 030006

2.中南大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)與計(jì)算技術(shù)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410083

1.College of Applied Mathematics，Shanxi University of Finance&Economics,Taiyuan 030006,China

2.School of Mathematics and Computing Technology,Central-South University,Changsha 410083,China

1 引言

在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中，構(gòu)造一條滿足給定端點(diǎn)條件的光順曲線是一個(gè)基本問題。幾何Hermite插值（Geometric Hermite Interpolation，GHI），要求插值給定端點(diǎn)及端點(diǎn)處的切方向和曲率等條件，在幾何造型和工程設(shè)計(jì)中有著廣泛的應(yīng)用。目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者在這方面作了大量的研究，文獻(xiàn)[1-11]分別從不同的角度研究了幾何Hermite插值曲線。一般地，幾何連續(xù)的條件要弱于參數(shù)連續(xù)的條件。三次幾何Hermite插值曲線只具有G1連續(xù)性。本文要在保持C1連續(xù)性的前提下，實(shí)現(xiàn)三次Hermite插值曲線的優(yōu)化問題。

2 插入兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的三次Hermite插值曲線

則曲線 p(u)的表達(dá)式為：

其中，hi=ui+1-ui，t=(u-ui)/(ui+1-ui)，u∈[ui，ui+1]，ui為 pi點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值[12]。

上述分段三次Hermite插值曲線 p(u)在節(jié)點(diǎn)處是C1連續(xù)的，而幾何Hermite插值在節(jié)點(diǎn)處的連續(xù)性由C1降為G1，獲得自由度，實(shí)現(xiàn)對(duì)插值曲線形狀的修改。本文保持曲線在節(jié)點(diǎn)處C1連續(xù)，通過在每個(gè)參數(shù)區(qū)間插入兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，增加自由度，實(shí)現(xiàn)對(duì)三次Hermite插值曲線p(u)的幾何優(yōu)化。

在參數(shù)區(qū)間[ui，ui+1]插入兩個(gè)節(jié)點(diǎn)和，且令：

構(gòu)造C1連續(xù)的三分段次Hermite插值函數(shù) p(u)，使之滿足如下條件：

其中，α1、α2、β1和β2是四個(gè)自由變量。

通過推導(dǎo)，得到插值曲線 p(u)表達(dá)式如下：

3 三次Hermite插值曲線的優(yōu)化

光順性是一個(gè)在CAGD中應(yīng)用很普遍又很重要的概念，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)此作了大量研究，提出了很多光順方法，如Kjellander法、量法及最小二乘法等[13]。其中，能量法是一種整體優(yōu)化方法，其光順效果好，為人們普遍采用的一種曲線光順方法。光順法的關(guān)鍵是：能量函數(shù)的確定，優(yōu)化問題的求解。

對(duì)于曲線 p(u)，一般選用 ∫||p(u)″||2du 和 ∫p?(u)du 作為曲線的能量函數(shù)。其中，p″(u)為 p(u)的二階導(dǎo)數(shù)，體現(xiàn)了曲線的曲率因素。 p?(u)為 p(u)的三階導(dǎo)數(shù)，體現(xiàn)了曲線的撓率因素。由于上述兩個(gè)能量函數(shù)不依賴曲線的參數(shù)化，能取得較好的光順效果，且計(jì)算量較小，便于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，故在曲線光順優(yōu)化中得到了普遍的應(yīng)用。

3.1 基于曲率的能量函數(shù)對(duì)曲線進(jìn)行優(yōu)化

對(duì)于曲線式（2），在區(qū)間 [ui，ui+1]上，考慮曲線的曲率因素，定義能量函數(shù)為：

其中，u∈[ui，ui+1]，||·||表示向量的范數(shù)。

下面討論當(dāng)自由變量 α1，α2，β1，β2取何值時(shí)，曲線p(u)的能量函數(shù) f(α1，α2，β1，β2)最小。

對(duì)曲線式（2）求二階導(dǎo)數(shù)得：

這里，

為使能量函數(shù)值最小，必須滿足：

經(jīng)化簡(jiǎn)得：

進(jìn)而得：

即當(dāng) α1，α2，β1，β2滿足式（3）時(shí)得到的曲線 p(u)是能量函數(shù) f(α1，α2，β1，β2)最小的曲線。

此時(shí)，對(duì)于曲線式（1），

即在區(qū)間 [ui，ui+1/3]，曲線式（1）和曲線式（2）的表達(dá)式在本質(zhì)上是一致的。

同理可得，在區(qū)間 [ui，ui+2/3]、[ui+2/3，ui+1]，曲線式（1）和曲線式（2）的表達(dá)式在本質(zhì)上也是一致的。

由此可得，未插入節(jié)點(diǎn)時(shí)所構(gòu)造的分段三次Hermite插值曲線式（1）與插入兩個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)所構(gòu)造的插值曲線式（2）在各區(qū)間的表達(dá)式是一致的。即以式（3）為能量函數(shù)的約束條件下，插入節(jié)點(diǎn)與不插入節(jié)點(diǎn)的情形是一致的，這體現(xiàn)了三次Hermite插值曲線本身所具體的特性。

3.2 基于撓率的能量函數(shù)對(duì)曲線進(jìn)行優(yōu)化

對(duì)于曲線式（2），在區(qū)間 [ui，ui+1]上，考慮曲線的撓率因素，定義能量函數(shù)為：

其中，u∈[ui，ui+1]，p?(u)表示 p(u)的三階導(dǎo)數(shù)。

下面討論當(dāng)自由變量 α1，α2，β1，β2取何值時(shí)，曲線p(u)的能量函數(shù) g(α1，α2，β1，β2)最小。

對(duì)式（2）求三階導(dǎo)數(shù)得：

這里，

為使能量函數(shù)值最小，必須滿足：

其中β2是一個(gè)自由度，可用來調(diào)整曲線的形狀。即當(dāng)參數(shù) α1，α2，β1，β2滿足式（5）時(shí)得到的曲線 p(u)使能量函數(shù) g(α1，α2，β1，β2)最小。得到了一種新的曲線構(gòu)造方法，具有新的幾何意義。

（1）參數(shù)a作用

下面通過對(duì)a取不同值時(shí)的插值曲線的分析來討論參數(shù)a對(duì)曲線的調(diào)節(jié)作用。取插值區(qū)間[u0，u1]為[-1，1]，插值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的切向量分別為：

取b為固定值，例如b=0.66，a取不同的值進(jìn)行曲線插值。如圖1所示，實(shí)線表示未優(yōu)化的三次Hermite插值曲線，虛線表示a=0.8時(shí)的優(yōu)化后的三次Hermite插值曲線，點(diǎn)虛線表示a=1.2時(shí)的優(yōu)化后的三次Hermite插值曲線[14]。經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)，參數(shù)a越小時(shí)最值點(diǎn)越向右移動(dòng)，這表明曲線是可以水平方向上修改的。這體現(xiàn)了較好的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

圖1 能量最小條件下a取不同值的三次Hermite插值曲線

表1 插值點(diǎn)及其切向量

（2）參數(shù)b作用

取與圖1一致的插值點(diǎn)與對(duì)應(yīng)切向量進(jìn)行作圖。這里取a為固定值，例如a=1.0，b取為不同的值進(jìn)行曲線插值。如圖2所示，實(shí)線表示未優(yōu)化的三次Hermite插值曲線，虛線表示b=0.4時(shí)的優(yōu)化后的能量最小的三次Hermite插值曲線，點(diǎn)虛線表示b=0.6時(shí)的優(yōu)化后的能量最小的三次Hermite插值曲線，星號(hào)線表示b=1.0時(shí)的優(yōu)化后的能量最小的三次Hermite插值曲線。經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)，b越大時(shí)最值點(diǎn)越向下移動(dòng)，這表明曲線是可以垂直方向上修改的。這也具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

圖2 能量最小條件下b取不同值的三次Hermite插值曲線

4 圖例

取表1所示的插值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的切向量進(jìn)行作圖。隨著自由參數(shù)β2取值的不同，分別得如圖3所示的優(yōu)化后的三次Hermite曲線。

圖3 β2取不同值的優(yōu)化后的三次Hermite插值曲線

5 結(jié)論

在給定插值點(diǎn)的位置矢量及切矢量的情況下，通過在兩相鄰節(jié)點(diǎn)引入兩個(gè)新的節(jié)點(diǎn)，提出了一類保持C1連續(xù)的三次Hermite插值曲線的構(gòu)造方法。如果以基于曲率的能量函數(shù)對(duì)曲線進(jìn)行優(yōu)化，證明了插入節(jié)點(diǎn)與不插入節(jié)點(diǎn)的情形是一樣的，體現(xiàn)了三次Hermite插值曲線本身所具有的一種特性。如果以基于撓率的能量函數(shù)對(duì)曲線進(jìn)行優(yōu)化，給出了能量最小化的參數(shù)取值公式，含有一個(gè)自由度，可實(shí)現(xiàn)對(duì)曲線形狀的調(diào)整。實(shí)例表明了方法的有效性。

[1]李建軍.一類三次幾何Hermite插值及其優(yōu)化[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2008，28（1）：155-201.

[2]吳宗敏.參數(shù)有理三次GC2Hermite插值[J].高校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1993，15（2）：70-76.

[3]徐良敏，孟勇.空間曲線的幾何Hermite插值問題[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2001，13（2）：158-162.

[4]宋家宏，李成，王建華.空間曲線的高階幾何Hermite插值[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2004，16（6）：789-794.

[5]雍俊海，鄭駿恒.一類五次PH曲線的Hermite插值的幾何方法[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2005，17（5）：990-995.

[6]Hagen H.Variational design of smooth rational Bezier curves[J].CAGD，1991，8：393-399.

[7]Hosaka M.Theory of curve and surface synthesis and their smooth fitting[J].Information Processing in Japan，1969，9：60-68.

[8]Kjellander J A P.Smoothing of cubic parametric splines[J].CAD，1983，15（3）：175-179.

[9]Imre J.Cubic parametric curve of given tangent and curvature[J].Computer Aided Geometric Design，1998，30（1）：1-9.

[10]Han Xuli.Cubic trigonometric polynomial curves with a shape parameter[J].Computer Aided Geometric Design，2004，21（6）：535-548.

[11]Hollig K，Koch J.Geometric Hermite interpolation[J].Computer Aided Geometric Design，1995，13（6）：567-580.

[12]蘇步青，劉鼎元.計(jì)算幾何[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1980.

[13]朱心雄.自由曲線曲面造型技術(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2000：1-200.

[14]張志涌.精通MATLAB[M].6.5版.北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2003：38-359.