關于Smarandache雙階乘函數與偽Smarandache函數的混合均值

魯偉陽，高 麗，郝虹斐

(延安大學數學與計算機科學學院，陜西 延安716000)

1 引言及結論

著名的偽Smarandache函數Z(n)定義為最小的正整數m使得n≤m(m+1)/2，即Z(n)= min{m∶m∈N，n≤m(m+1)/2}。關于函數Z (n)的初等性質，許多學者進行了研究，并獲得了不少有意義的結果［4～7］。例如:Yuanbing Lou［6］研究了一個包含偽Smarandache函數的均值問題，得到了一個漸近式:

Lin Cheng［7］也討論了一個包含偽Smarandache函數的均值，得到漸近式:

吳啟斌［8］討論了復合函數S(Z(n))的均值，得到較強的漸近公式

其中，ci(i=1，2，…，k)為可計算的常數，S(n)為著名的Smarandache函數。

劉華［9］討論了復合函數SL(Z(n))的均值，同樣得到一個較強的漸近式

其中，bi(i=1，2，…，k)為可計算的常數，SL(n)為著名的F Smarandache LCM函數。

本文主要在上述文獻的基礎上，利用初等方法和解析方法研究了復合函數Sdf(Z(n))的均值問題，并得到一個較強的漸近公式。下面給出本文的主要結論。

定理:設k≥2是一個給定的整數，則對于任意的實數x＞1，有漸近公式

其中，ai(i=1，2，…，k)是可計算的常數。特別地，當k=1時，有下面簡單的推論成立。

推論:對于任意的實數x＞1，有漸近公式

2 相關引理

(2)若2|n，且n=2αn1，其中α，n是正整數，21，則有Sdf(n)≤max{Sdf(2α)，2Sdf(n1)}。

引理2［3］:對任意的正整數n，若P(n)是n的最大素因子，那么有如下結論成立:

3 定理的證明

其中，ai(i=1，2，…，k)是可計算的常數。

因此有

綜上可知，

其中，ai(i=1，2，…，k)是可計算的常數。證畢。

有趣的發現，如果外函數具有與Smarandache函數S(n)類似的性質，則其與偽Smarandache函數的復合函數均值的漸近公式是相同的。

［1］ Le M H.A conjecture concerning the smarandache dual function［J］.Smarandache Notions Journal，2004，14 (3):153－155.

［2］ 沈 虹.一個新的數論函數及其它的均值分布［J］.純粹數學與應用數學，2007，23(2):235－238.

［3］ 樊旭輝，閆欣榮.關于Smarandache雙階乘sdf(n)函數的均值估計［J］.空軍工程大學學報(自然科學版)，2013，14(4):88－90.

［4］ Kashihara Kenichiro.Comments and Topics on Smarandache Notions and Problems［M］.USA:Erhus University Press，1996.

［5］ Majumdar A A K.A note on the Pseudo-Smarandache function［J］.Scientia Magna，2006，(3):1－25.

［6］ Lou Y B.On the pseudo Smarandache function［J］.Scientia Magna，2007，(4):48－50.

［7］ Lin Cheng.On the mean value of the Pseudo-Smarandache function［J］.Scientia Magna，2007，(3):97－100.

［8］ 吳啟斌.一個包含Smarandache函……