網絡時延數據的統計特性分析

吳 旭,魏利勝

(安徽工程大學電氣工程學院,安徽蕪湖 241000)

網絡時延數據的統計特性分析

吳 旭,魏利勝?

(安徽工程大學電氣工程學院,安徽蕪湖 241000)

研究了網絡時延數據序列的統計特性．分析過程中,分別采用基于譜密度構造統計量方法、周期圖法、JB檢驗方法研究了網絡時延數據序列的平穩性、周期性、正態性．最后,基于校園網應用層獲得時延數據并通過MATLAB仿真．結果表明,網絡時延數據是平穩的、不含有周期項,且呈反正態性的．

譜密度;周期圖法;JB檢驗法

隨著網絡控制系統被廣泛應用于各個領域,網絡時延所帶來的問題不容忽視,它不僅使控制系統傳遞信息滯后,同時也降低了系統的性能甚至影響其穩定性[1-2]．研究網絡時延,分析其統計特性,有利于我們對不同條件下的網絡時延建立更適當的數學模型,提高時延預測的準確性,這對未來網絡化系統的普及具有十分重要的意義．

目前,對于有關網絡時延問題,主要采用確定延時的方法[2],但時延通常是時變的,這種方法浪費資源,甚至有時不具有可行性．針對時變時延,主要采用不確定系統法[3]、時滯系統法[4]等方法進行處理,這些方法都具有較大的保守性,不能依據網絡時延的實際情況進行分析和建模．

本文基于時間序列的方法詳細地研究了網絡時延數據的統計特性．分別采用基于譜密度構造統計量的方法[5]、周期圖法[6]及JB檢驗法[7]分析其平穩性、周期性和正態性,為以后在不同的實際情況下建立適合的時延模型奠定基礎．

1 網絡時延的平穩性檢驗

數據統計性分析的首要問題是平穩性分析,而進行平穩性檢驗是為了判別數據序列是否具有不隨時間原點的推移而變化的特征．如果數據序列是平穩的,且各態歷經,則該數據序列就可用單個樣本平均替代總體平均來表示各種統計特性,這極大地方便了我們進一步處理數據．通常情況下,無法直接判斷出數據序列是否具有平穩性,所以需要選用適當的方法進行判斷．

對于網絡時延數據序列,假設x1,x2,…,xn是其一個長度為N的樣本,N足夠大,將該序列分成s個子序列,每個子序列的長度均為M,且足夠的大．記為:

式中,xij＝x((i－1)·M＋j);i＝1,2,…,s;j＝1,2,…,M;N＝s·M．

目前,檢驗過程平穩性的方法即為檢驗均值的平穩性,而檢驗均值的平穩性主要是檢驗數據{Xi}的均值函數是否為常數,那么,檢驗網絡時延數據序列是否具有平穩性就可轉化為檢驗其均值函數是否是常數．對于平穩序列的p階AR模型可以表示如下:

式中,系數?i,i＝1,2,…,p若是絕對可和的,且條件和不等于0,則當N→∞時2πg(0))[8]．其中,g(0)表示數據序列在0點的譜密度,即:

通過式(2)計算得到的g(0)估計量是易變不相合的,為了得到其一個漸近無偏相合估計,可采用加窗周期圖的譜估計,即:

式中,f(k)表示時窗函數．

根據3σ檢驗法則:

根據德莫佛-拉普拉斯中心極限定理,有p～N(a,a(1－a)/s),其中,p表示的頻率．于是可構造出檢驗統計量:

綜上所述,網絡時延數據平穩性檢驗的具體步驟為:①提出檢驗假設H0:網絡時延數據序列具有平穩性;②構造并計算統計量,即用網絡時延數據計算式(4)的值;③給定一個顯著性水平:α＝0．05,查表得其一側分位點:uα＝1．96;④比較|U|,uα大小,若|U|＞uα,則拒絕假設H0,否則接受假設H0．

2 網絡時延的周期性檢驗

進行周期性檢驗是為了判別平穩數據序列中除了隨機量外是否還具有周期分量的統計特征．首先,可以直接觀察網絡數據時延數據序列的功率譜密度函數,判斷出該序列是否含有周期分量．若序列有隱含周期項,再用周期圖法對該序列進行分析．現假設網絡數據時延數據具有隱含周期項,其函數可表示為:

式中,A1表示振幅;ω1表示頻率;φ1表示相位．

則網絡時延數據函數可表示為:

式中,w(n)表示隨機噪聲序列,均值為零,方差為δ2w;其自相關序列可用式ΦW＝δ2wI表示,I表示N階單位矩陣．

將s(n)、y(n)和w(n)分別用矢量表示,如下:

式中,Ac1表示正弦波的復數振幅:Ac1＝A1exp(jφ1);e1表示信號矢量:e1＝[1,exp(jω1),…,exp(jω1)]．

假設s(n)已知,w(n)是復高斯白噪聲,Y的概率密度函數可表示為:

式中,H表示共軛轉置．

為估計出隱含周期項的A1、ω1和φ1值,需對這些參數進行最大似然估計(MLE),即求式(6)中A1、ω1和φ1最大化解,也就是求式L＝(Y－S)H(Y－S)相對于A1和ω1最小化解．

在數據序列的周期圖中,縱軸最大值對應到橫軸上的頻率值即為ω1的最大似然估計值,記為1,代入式L＝(Y－S)H(Y－S)中并進行最小化求解可得:

3 網絡時延的正態性檢驗

進行正態性檢驗是為了檢驗多數實驗數據是否具有正態分布的統計特性．因為網絡時延數據是復雜的、隨機的,且受到多種因素的影響,所以在分析網絡時延數據正態特性時需要判斷它的概率分布．一般情況下,我們不可能知道網絡時延數據真實的概率分布,所以需要估計和檢驗網絡時延數據的分布．目前,正態檢驗的方法很多,其中JB檢驗(Jarque-Bera檢驗)應用最為廣泛,它是一種基于偏度和峰度統計量的綜合檢驗法．

對于隨機變量X,設其期望為μ,方差為σ2,它的k階中心距可表示為:

式中,p(x)表示概率密度函數;k表示大于1的整數．

那么,它的k階標準矩可表示為:

利用變量X的標準矩定義偏度和峰度．偏度即是變量X的3階標準矩距,峰度即是變量X的4階標準矩,可分別表示為:

偏度和峰度分別度量了隨機變量X以均值為中心分布的對稱性和尖銳性．當序列漸進服從標準正態分布時,有:S＝0,K＝3．

對于不含疏失誤差項的網絡時延數據,為了檢驗其是否具有正態性,給出對應形式的偏度和峰度,分別為:

當n→∞時,可以求得:E(S)＝0,Var(S)＝6,E(K)＝3,Var(K)＝24,于是構造出JB統計量如下所示:

由上可知,若網絡時延數據序列的JB統計量漸進服從自由度為2的卡方分布,則其是正態分布的;反之,則是反正態的．

綜上所述,網絡時延數據正態性檢驗的具體步驟為:①提出檢驗假設H0:網絡時延數據正態分布;②構造并計算JB統計量,即用網絡時延數據計算式(15);③查找卡方分布表,得出臨界值:χ2(2)＝5．991;④比較JB統計量與臨界值的大小,若χ2＞χ2(2),則拒絕假設H0,否則接受假設H0．

4 實驗驗證

4．1 網絡時延數據的測量

為了分析網絡時延數據的統計特性,首先必須獲得網絡時延數據．建立一個基于校園網應用層的測試平臺如圖1所示,并從該平臺上測得足夠多的時延數據．

選用校園網公用以太網,采用TCP/IP協議檢驗系統的延時特性,并在具有較大的負載時測量．由圖1可知,T1、T1′分別表示客戶機發送和接收數據延時;T2、T2′分別表示服務器發送和接收數據延時;T3表示TCP/IP協議執行延時;T4和T5分別表示客戶機發送和接收時以太網的延時．網絡數據延時則可表示為:T＝T1＋T2＋T1′＋T2′＋4T3＋T4＋T5．

在實驗中,客戶機和服務器分別采用時間和事件驅動．客戶機每0．5 s發送長度為36字節的數據包．為了降低軟件延時的影響,服務器收到該數據包后不予任何處理即返回．因為數據包中存在時間標簽,當返回的數據包被客戶機收到后,將數據包中的時間標簽與當前時間相比較,即可計算出數據包延時．

為保證測量獲得準確的數據,在客戶端的VC程序中調用Query Performance Frequency()函數可以獲得計算機內部的時鐘頻率f,然后調用Query Performance Counter()函數,獲得數據發送前的計數值n1,當客戶機接收到返回的數據后,再次調用Query Performance Counter()函數,獲得當前的計數值n2．此時,網絡數據延時則可表示為:T＝f(n2－n1)．

4．2 網絡時延數據的仿真

通過校園網應用層的測試平臺獲得了足夠多的網絡時延數據,在MATLAB中進行編程,具體時延測量結果如圖2所示．由圖2可知,測量數據主要分布在0～20 ms之間,極少數的測量數據超出該范圍．這些數據可能是由于某些原因造成的誤差,所以我們假設大于20 ms的測量數據為疏失誤差,將其剔除后獲得新的網絡時延數據序列如圖3所示．

對于剔除疏失誤差項的網絡時延數據序列平穩性的檢驗,先將該數據分為10個子序列,每個子序列的長度均為150．再在顯著性水平α＝0．05下,采用三角窗時窗函數,計算式(4),得到:|U|＝≈1．923 3＜1．96,所以接受原假設．最后可得到結論:網絡時延數據序列是平穩的．

周期性檢驗時,首先繪出剔除誤差項的網絡時延數據的功率譜密度函數,觀察它的功率譜密度圖．如果功率譜圖中出現明顯的尖峰現象,表明數據中含有很強的周期分量,反之則沒有．校園網絡的時延數據功率譜密度如圖4所示．由圖4可知,除ω＝0點外,網絡時延數據的功率譜密度函數未出現明顯的尖峰現象,那么,我們認為網絡時延數據序列中不含有周期分量,則不用再對數據進行去周期項處理．

最后,利用JB檢驗法對網絡延時數據的正態性進行檢驗．仿真獲得該延時數據的偏度約為1．351,峰度約為6．716,χ2≈1 319．299?5．991．比較卡方表獲得結論:網絡時延數據不具有正態分布的統計特性．

為了驗證本文正態檢驗的有效性,繪出原始網絡延時數據分布直方圖如圖5所示．由圖5可知,原始的網絡時延數據主要分布在0～10 ms之間,約85%,其中,分布在0～2 ms、2～4 ms、4～6 ms、6～8 ms分別約為19%、21%、22%、23%,呈現出緩慢上升的趨勢;約14%的數據分布在10～16 ms之間,6～8 ms間的數據是8～10 ms間的數據一倍多;分布在10～12 ms、12～14 ms、14～16 ms間的數據分別約為3%、2%、1%,這部分呈現下降的趨勢;剩余的測量數據僅約為1%．從整體上看,圖5所示的直方圖呈不對稱分布,不符合正態性對稱分布的特征．由此,不難發現網絡時延數據不呈正態分布,證明了JB檢驗法檢驗結果的正確性．

5 結論

對照時間序列的分析方法,分析了網絡時延數據的數學統計特性．對網絡時延數據序列平穩性的分析采用基于譜密度的方法．比較自相關函數、偏相關函數等平穩性判別法,該方法比較客觀;比較單位根等檢驗法,該方法的計算量較小．對網絡時延數據序列周期性的分析采用周期圖的方法．與常用的相關分析等方法相比,周期圖法不需要計算序列的自相關函數,運算效率得到了很大提升,且能識別出數據序列中的隱含周期函數項的周期、幅值與相位．對網絡時延數據序列正態性的分析采用JB檢驗法．對于大樣本檢驗,JB檢驗法具有客觀、運算簡單、檢驗結果精確的優點．仿真結果表明,網絡時延數據是平穩的、不含有周期項的、反正態的．同時,文章所述檢驗方法也適用于檢驗其他大樣本序列．

[1] 郭詩朦．基于時間序列方法的網絡時延預測與改進型廣義預測控制算法在網絡控制系統中的應用[D]．北京:北京交通大學,2013．

[2] 孔金生,趙靜．網絡延時對網絡控制系統的影響及其控制對策[J]．河南理工大學學報,2006,25(4):310-312．

[3] W A Zhang,L Yu．BIBO stability and stabilization of networked control systems with short time-varing delays[J]．Int．J．Robust and Nonlinear Control,2011,21(3):295-308．

[4] H J Gao,T W Chen,J Lam．A new delay system approach to network-based control[J]．Automatica,2008,44(1):39-52．

[5] 唐誠,陶敏．基于譜分析下的時間序列的平穩性檢驗[J]．南京郵電大學學報,2009,29(2):31-34．

[6] 何銳,陳拴發,段冰．基于周期圖法的路面不平度隨機過程數值分析[J]．鄭州大學學報,2011,32(4):35-37．

[7] 田禹．基于偏度和峰度的正態性檢驗[D]．上海:上海交通大學,2012．

[8] P Hall,C C Heyde．M artingale Lim it Theory and Its A pplication[M]．New York:Academic Press,1980．

Statistical characteristics of network delay analysis

WU Xu,WEI Li-sheng?
(College of Electrical Engineering,Anhui Polytechnic University,Wuhu 241000,China)

The statistical characteristics of the network delay is researched．In the process of analysis,its stability,periodicity and normality are analysized respectively by the method of constructing statistic based on spectral density,the cycle diagram method and the JB test method．Finally,the delay data is obtained based on the application layer of the campus network．Simulation results show that the data of the network delay is smooth,aperiodic but not in normal distribution．

spectral density;cycle diagram method;JB test

TP273

A

1672-2477(2015)04-0043-06

2015-02-02

國家自然科學基金資助項目(61203033);安徽省自然科學基金資助項目(1208085QF124);國家大學生創新創業基金資助項目(3110201204)

吳 旭(1990-),男,江蘇儀征人,碩士研究生．

魏利勝(1978-),男,安徽廬江人,副教授,碩導．