可積函數中位值的積分表達式

郭時光

（四川理工學院理學院，四川自貢643000）

可積函數中位值的積分表達式

郭時光

（四川理工學院理學院，四川自貢643000）

研究可積函數在均衡點處的中位值，首先引入可補點、中位值和均衡點的概念，然后使用它們將Rimann引理推廣，得出中位值的積分極限表達式，最后給出中位值的Fourier積分表達式。這個結果主要應用于計算函數的Fourier積分表達式在間斷點處的值。

Rimann引理；Fourier積分公式；可補點；中位值；均衡點

在著名的Rimann引理中，由于沒有給出函數在間斷點處的表達式［1］，這使得難以明 Fourier積分公式［2］在間斷點處成立與否［3-9］。為了改善這種狀況，引入可補點、中位值和均衡點的概念，從而將Rimann引理推廣到間斷點處的討論中。

（1）f（t）在區間（-∞，+∞）內有界。

1 基本概念和主要定理

設函數f()t在點t=x的某個鄰域內有定義，在點t=x處，如果函數f（t）的左極限與右極限f（x±0）均存在，則稱t=x是函數f（t）的可補點。如果t=x是函數f（t）的可補點，則稱是函數f（t）在t=x處的中位值。

設t=x是函數f（t）的可補點，如果存在正數δ，使得集合

均為有界集，則稱點t=x為函數f（t）的均衡點。

定理1設f（t）是定義在區間（-∞，+∞）的函數，如果它滿足下列兩個條件∶

定理2設f（t）是定義在區間（-∞，+∞）的函數，如果它滿足定理1中的兩個條件，則當t=x是f（t）的均衡點時，成立著下列中位值的積分表達式

2 主要引理

引理1如果函數f（t）在區間［a，b］有界且可積，則有

證明由條件可知，對于任意給定的正數ε，存在分

劃a=t0＜t1＜t2＜…＜tn-1＜tn=b，使得

其中，Mk，mk依次是函數f（t）在區間［tk-1，tk］上的最小上界與最大下界，Δtk=tk-tk-1（k=1，2，…，n），作函數

則有

用式（4）與式（5），得

可見式（3）成立。證畢。

3 定理證明

定理1證明分為三個部分。

第一部分∶證明等式（1）左端的積分存在。首先，由于t=x是f（t）的均衡點，故可取得一個正數δ，使得函數關于變數t在區間（0，δ］上有界。再用條件（2），可知積分

第二部分∶證明下列等式成立，

用積分換元法，可得

將等式兩邊同時加上其左邊，然后將所得等式兩邊同除以2，即得式（6）。

第三部分∶證明式（1）成立。用Dirichlet積分，當λ＞0時，得

由此可得

在式（7）中，由于各個被積函數關于變數λ均為奇函數，所以當λ＜0時式（7）也成立。

現在證明當λ→∞時，式（7）中最后一個等號后面的兩個積分均趨于零。用第一部分的結論和引理1，得

而用積分換元法和Dirichlet積分收斂性，得

于是由式（7），得

同理，得

將式（8）與式（9）相加，得

式（10）中令a→+∞，即得

將式（11）左邊的積分換為式（7）左邊的積分，即可得式（1）。證畢。

定理2的證明∶根據條件，分別用交換積分次序和定理1，得

證畢。

4 應用舉例

例2δ-函數δ（x）是無界函數，它不滿足Fourier積分定理的條件。如果一定要用Fourier積分公式將其表示為積分形式，則用篩選性質和積分性質，得

式中最后一個等號右邊的積分在通常意義下是不存在的，但是，在工程技術應用中卻認可上面的計算式。由此可見，δ-函數的引入，是會產生一些不尋常現象的。

［1］江澤堅.數學分析［M］.北京:人民教育出版社'1965.

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Integral Expression of the Median Value of the Integrable Function

GUO Shiguang
（School of Science，Sichuan University of Science&Engineering，Zigong 643000，China）

Themedian value at the equilibrium point of the integrable function is studied.At first，the concepts of the fillable point，themedian value and equilibrium point are introduced，and then by using them to generalize Rimann lemma，the integral limit expression ofmedian value is obtained.Finally，the Fourier integral expression of themedian value is given. This result ismainly used in calculating the value at the discontinuities of the Fourier integral expression of the function.

Rimann lemma；Fourier integral formula；fillable point；median value；equilibrium point

O175

A

1673-1549（2014）01-0088-04

10.11863/j.suse.2014.01.22

2013-09-13

郭時光（1955-），男，重慶榮昌人，副教授，主要從事數學物理方程與代數方面的研究，（E-mail）youare20002000@qq.com