有效值高精度測量量化誤差估計與數值模擬

摘 要： 針對電力系統有效值測量存在的不同步誤差及量化誤差問題，分析了卷積窗加權算法克服不同步誤差的優勢，推導出基于加權算法下量化相對誤差關于采樣頻率和量化位數的解析式，最后對結論進行數值模擬加以證明。

關鍵詞： 有效值； 卷積窗加權算法； 不同步誤差； 量化誤差

中圖分類號： TN911.7?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）01?0141?04

以微處理器為基礎的電工測量儀表在計算電力系統有效值時，信號頻率的不穩定會帶來不同步采樣誤差[1?2]。許多學者就克服這種測量誤差進行了研究，如小波分析法[3]，三點法[4]，微分采樣法[5]，各方法都有其優點。文獻[6]提出電氣參量卷積窗加權算法，可基本消除不同步采樣的測量誤差，且權函數有固定解析式，算法簡單便于實現。但對于加權算法計算有效值時，ADC帶來的量化誤差問題卻沒有進行詳細的研究。本文分析了不同步采樣誤差與相對頻偏和窗階數的關系，重點推導了卷積窗下有效值量化相對誤差關于采樣頻率和量化位數的解析式。

1 電氣參量卷積窗加權算法分析

1.1 有效值定義

設交流電電壓信號[u（t）]的周期為[T，]有效值定義為：在一個信號周期內，通過某純阻負載所產生的熱量與一個直流電壓在同一負載上產生的熱量相等時，該直流電壓的數值就是交流電壓的有效值，通常也稱真有效值，即

[U=1T0Tu2（t）dt] （1）

對于標準正弦信號[u（t）=Umsin（2πft+φ）]，其有效值為：[U=Um2。]

在電信號采樣中，即使等間隔采樣的采樣周期與信號周期存在整數倍關系，但由于信號頻率不穩等原因，導致用式（1）計算有效值時，使得信號周期[T]只能用一個近似值[T0]代入，會出現不同步誤差。

1.2 有效值的卷積窗加權算法[6]

采樣法計算有效值的實質是對信號加長度為[T0，]中心在[t0]的矩形窗函數：

[U21t0=1T0-∞+∞w1τ-t0T0u2τdτ] （2）

其中[w1]為矩形函數：

[w1t=0， t >121， t ≤12 ] （3）

[k]階卷積窗加權有效值測量形式為：

[U2kt0=1T0-∞+∞wkτ-t0T0u2τdτ] （4）

其中[wkt=w1t*w1t*…*w1kt，]為[k]階卷積窗。

[w1t]為寬度為[T0]的矩形窗函數，故[wkt]的時域總寬度為[kT0]，其傅里葉變換為：

[Wkf=sincT0fk] （5）

1.3 加權算法的不同步采樣誤差分析

對于最高諧波次數為[M，]基頻為[f1]的周期信號[u2（t）]，可以表示為：

[u2t=A0+m=1MAmcos2πmf1t+φm] （6）

式中：[A0]為信號[u2t]的直流分量（即[u2t]的平均值）；[Am]及[φm]分別為第[m]次諧波的幅值和初相位。

定義加窗信號[ht，t0]為：

[ht，t0=wkt-t0T0u2t] （7）

[U2kt]為加窗信號[ht，t0]的平均值，根據傅里葉變換的定義，它顯然等于[ht，t0]的直流分量[H0，t0]，[Hf，t0]為[ht，t0]的傅里葉變換，則：

[U2kt0=A0+m=1MWkmf1Amcos2πmf1t0+φm] （8）

根據定義可知[A0=U2]，式（8）第二項便是[k]階加權有效值平方[U2kt0]在非同步采樣[T0≠T1]時所造成的誤差。

為了進一步分析誤差的大小，引入相對同步偏差[x]，即[T0=1+xT1， f1=1+xf0。]

在電力系統中，由于基頻的波動范圍很小，一般來說[x?1]且最高諧波次數[M<20，]故[mx?1]，這時對式（8）進行化簡：

[U2kt0=U2+m=1M-1msinπmx+πmπm1+xkAmcos2πmf1t0+φm≈U2+x1+xkm=1M-1kmAmcos2πmf1t0+φm=U2+x1+xku2t0-kT12-U2]

可以看出測量誤差正比于[x1+x]的[k]次方，比例系數為窗函數起始處信號對其均值的偏離量，若選擇采樣信號段起始處使其采樣值剛好等于信號的均值，則測量誤差將等于0。

若測量值隨[t0]的不同而起伏變化，其數學期望和方差分別為：

[EUk≈EU+12x1+xku2t0-kT1/2-U2U=U] （10）

[DUk≈D12x1+xku2t0-kT1/2-U2U =Du2t4U2x1+x2k ] （11）

因此，由非同步采樣造成的測量相對誤差[σ]為：

[σ=DUkU≈Du2t2U2x1+xk] （12）

由于[x?1]（0.01量級），可以看出隨著權階[k]的增大，不同步采樣的測量誤差急劇減小。對于電力系統中信號，一般只需[k]取2或3，便可把誤差降低到次要的、可以忽略的程度。

2 量化誤差分析

由于利用上述算法基本上可消除不同步采樣對各電氣參量所造成的測量誤差，因此信號的量化對測量造成的誤差將變得重要。在分析有效值卷積窗加權算法的量化誤差之前，先對信號進行時間上的離散