淺談數學方法及其在中學數學中應用

劉繼圓

（武漢理工大學，湖北 武漢430070）

0 引言

義務教育數學課程標準2011 年版有一個十分明顯的變化， 在課程目標中明確提出“四基”，除了教師熟悉的“雙基”（基礎知識、基礎技能）外，還增加了“基本思想”、“基本活動經驗”。 “基本思想”突出了數學的本質，“基本活動經驗”突出了學生主體。

1 數學思想方法綜述

1.1 對數學思想方法的理解

數學思想方法一詞無論是在數學、數學教育范圍內，還是在其他學科中，都已被廣為使用。 數學基礎知識包括數學中的概念、性質、法則、公式、公理、定理等以及它們反映出來的數學思想方法。

1.1.1 對數學方法的理解[1]

方法是一個元概念，它和點、線、面、集合等概念一樣，不能邏輯地定義，只能概略地描述。數學方法具有以下三個基本特征：一是高度的抽象性和概括性；二是精確性，即嚴密的邏輯性以及結論的確定性；三是普遍的應用性和可操作性。數學方法在科學技術研究中具有舉足輕重的地位和作用：一是，提供簡潔精確的形式化語言；二是，提供定量分析及計算的方法；三是，提供邏輯推理的工具。

1.1.2 對數學思想的理解

人們常用數學思想來泛指某些有重大意義、內容比較豐富、體系相當完整的數學成果。一般地說，數學思想是分析、處理和解決數學問題的根本想法，是對數學規律的理性認識。 數學思想是人們對數學內容的本質認識，是對數學知識和數學方法進一步抽象和概括，屬于對數學規律的理性認識的范疇。 而數學方法則是解決數學問題的手段，具有行為規則的意義和一定的可操作性。 相對數學方法而言，數學思想更具有普遍性與可創造性，其抽象程度更高一些，理論的味道更濃一些。 數學方法經常表現為實現某種數學思想的手段，而對于方法的有意識選擇，往往體現出對于數學思想的理解深度。

1.2 中學常用的數學思想方法

1.2.1 字母代表數思想

在數學中，由字母代表數，各種量與量之間進行推理與演算，都是以符號形式來表示的，從而形成一整套形式化的數學語言。 符號是人類思維與交流的工具，它能夠清晰而簡明的表達數學思想和規律。

1.2.2 建立模型思想

所謂數學模型，指的是對現實原型為了某種目的而作抽象、簡化的數學結構。 它是使用數學符號、數學式子及數量關系對原型作一種簡化而本質的刻畫，根據原型進行具體構造數學模型過程稱為數學建模。 數學建模的活動過程主要包括[2]：

（1）問題分析：了解問題的實際背景知識，掌握第一手資料。

（2）假設化簡：根據問題的特征和目的，對問題進行化簡，并用精確的數學語言來描述。

（3）模型建立：在假設的基礎上，利用適當的數學工具、數學知識來刻畫變量之間的數量關系，建立其相對應的數學結構。

（4）模型求解：對模型進行求解。

（5）模型檢驗：將模型結果與實際情形相比較，以此來驗證模型的準確性。

1.3 化歸思想

化歸思想的實質是通過事物內部的聯系和矛盾運動，在轉化中實現問題的規范化 （熟悉或易于處理）， 即將待處理問題轉化為規范問題，從而得到原問題的解答。 化歸思想包含三個要素：化歸的對象、化歸的目標和化歸的方式、方法。在上述例子中，一元二次方程是化歸的對象，一元一次方程是化歸的目標，換元是實施化歸的方法。實施化歸的關鍵是實現問題的規范化、模式化。

1.4 分解組合思想

當面臨的數學問題不能以統一的形式解決時，可把已知條件涉及的范圍分解為若干個子集， 在各個子集中分別研究問題局部的解，然后通過組合各局部的解而得到原問題的解，這種思想就是分解組合思想，其方法成為分類討論法。分解組合是重要的數學思想之一。對于復雜的計算題、作圖題、論證題、等，運用分解組合的思想方法去處理，可以幫助學生進行全面嚴謹的思考和分析，從而獲得合理有效的解題途徑。

1.5 函數與方程思想

函數思想是指變量與變量之間的一種對應思想，或者說是一個集合到另一個集合的一種映射思想。它是數學從常量數學轉入變量數學的樞紐，它能使數學有效地揭示事物運動變化的規律，反映事物間的相互聯系。 而方程思想則是函數思想的具體體現，是已知量和未知量的矛盾統一體，是變量與變量互相制約的條件。 它反映了已知量行業未知量之間的內在聯系。 函數與方程是有效地表示、處理、交流、和傳遞信息的強有力工具，是探討事物發展規律，預測事物發展方向的重要手段。

2 數學思想方法在中學教學中應用

典例一：定理教學——“梯形中位線定理”的教學[3]

導入

緊緊圍繞定理，從特殊、類比、猜想開始，提出研究的課題。

可演示拼圖硬紙片，EF 是梯形中位線， 聯結AF， 沿AF 剪下△ADF，將其與ABCF 拼在一起，得△ABG，回答:

（1）EF 與BG 有何關系?依據的定理是什么？

（2）猜想EF 與AD,BG 之間的關系。

2.1 討論

（1）在上面拼圖的啟示下，你打算怎樣畫輔助線，以便應用三角形中位線定理來證明？ 看誰構造的有用三角形最多。

（2）誰還有什么高招？ （如把梯形轉化為平行四邊形等，此時教師可根據實際情況稍作提示。 ）

（3）誰來做評判，說一說自己的見解：以上兩種方法的共同點與不同點是什么？ 何法較優？

2.2 證明（個體的獨立操作）、閱讀（閱讀書上的證明過程，學習其嚴謹的書寫方式等）、練習

2.3 小結（可根據情況讓學生自己總結）

推正思想：轉化。

推證方法:構造三角形或平行四邊形。

應用：為計算線段的長、梯形面積、直線a∥b 開辟了新途徑。

不僅潛移默化地滲透基本數學思想方法，即劃歸轉化思想，而且很好的把握了新課程理念，激發了學生的探究熱情，擴大了他們的思維方向，同時鼓勵學生探求問題的解法，讓他們在學習過程中自主地建構新知識。

3 總結

數學思想和數學方法， 既要理解為數學中深層次的基礎知識，又要理解為解決問題時的思維策略。 而在數學學科中，這種策略性知識與事實性知識的結合是非常緊密的，是相互滲透、相互融洽的，只要教師在教學中有意識地滲透、傳授，學生就可以通過課堂教學獲得大量的關于解決數學問題的一般和特殊的策略性知識。 在教學中挖掘與滲透數學思想，是使傳統的知識型教學向能力型培養轉化，造就開拓型、創造型人才的有力工具和重要手段。

［1］孔企平，張維忠，黃榮金.數學新課程與數學學習[M].高等教育出版社,2007.

［2］張奠宙，宋乃慶.數學教育概論[M].高等教育出版社，2005.

［3］章士藻.中學數學教育學[M].高等教育出版社，2007.