基于分形的特異媒質層設計及應用于提高天線增益

陳華+陳星

摘 要： 根據分形原理，設計了一種新穎的分形圖案。通過在印刷板（PCB）上周期性地蝕刻該分形圖案制作了一種微帶結構的特異媒質層。仿真計算表明，隨著一些分形結構參數變化，該特異媒質層對電磁波具有連續變化的反射系數幅度和相位。依據部分反射層理論，將該特異媒質層加載在矩形貼片天線前方，在天線的工作頻點、帶寬和定向輻射特性基本保持不變條件下，矩形貼片增益得到不同程度提高。加工制作了特異媒質層和矩形貼片天線，測試結果驗證了設計和仿真計算的正確性。

關鍵詞： 分形； 特異媒質； 部分反射層理論； 矩形貼片天線； 天線增益

中圖分類號： TN82?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）07?0082?04

Design of metamaterial layer based on fractal geometry for increase of antenna gain

CHEN Hua， CHEN Xing

（College of Electronics and Information Engineering， Sichuan University， Chengdu 610064， China）

Abstract： A new fractal pattern was designed according to the fractal principle. A microstrip metamaterial layer was made by periodically etching this pattern on a PCB （printed circuit board）. The simulation calculation results indicate that metamaterial layer possesses an encouraging feature， i.e. the amplitude and phases of its reflection coefficient can vary continuously with its structural parameters. According to the partial reflecting layer principle， this metamaterial layer is placed in front of a rectangular patch antenna. In this way， various degree of gain improvement can be achieved while the antenna′s working frequency， bandwidth and directional radiation property remain unchanged. The metamaterial layer and the rectangular patch antenna are fabricated and measured. The measured result validated the correctness of the simulation and calculation.

Keywords： fractal； metamaterial； partial reflecting ayer principle； rectangular patch antenna； antenna gain

0 引 言

特異媒質（Metamaterial）又稱為電磁超材料，是指具有自然介質所不具有的物理性質的人工復合材料或結構材料 [1]。典型的特異媒質包括：具有負介電常數和負磁導率的左手材料、頻率選擇表面（Frequency Selective Surface，FSS）、高阻表面（High Impedance Surface）等。特異媒質的獨特電磁特性使其在諸多領域有廣闊的應用前景。在天線領域，特異媒質的應用一直是近年熱點課題，應用特異媒質能夠對天線提高增益[2?3]、增加帶寬[4?5]、減小尺寸[6]。

分形（Fractal），源于拉丁詞語fractus，原意是不規則支離破碎形。其概念由法國數學家B.Mandelbrot于20世紀70年代中期在法蘭西學院講學時提出，用以描述人們在研究自然和科學實驗中遇到的無法用傳統歐式幾何描述，卻具有某種自相似特性（局部形態與整體形態相似）的不規則結構和現象[7]。利用分形原理，可以設計出大量形狀各異的分形圖案。

目前，大部分特異媒質設計為由平面單元組成的周期性結構，單元結構對特異媒質的電磁特性有關鍵性影響。但在工程運用中，如何設計有適宜電磁性能的特異媒質單元一直是一個難點，本文探索利用分形圖案設計特異媒質的單元結構，通過蝕刻在微波印刷板上（Printed Circuit Board，PCB）制作為特異媒質層，應用于提高天線性能。

1 一種新的分形圖案設計

分形理論是當今十分風靡和活躍的新理論。其最基本的特點是用分形分維的數學工具來描述研究客觀事物。它跳出了一維線、二維面、三維立體乃至四維時空的傳統概念，更加趨近復雜系統的真實屬性與狀態的描述，更加符合客觀事物的多樣性與復雜性。

構造分形的方法很多：迭代函數法、文法構圖法、逃逸時間算法等。本文采用文法構圖法來構造分形，字符串替換是此法的核心思想[8]。可以理解為：若一個字符串由字母a和b組成（a和b可能出現多次），每一個字母對應一個改寫規則，如a→ab，b→bba。假設初始字符串（稱為公理）僅由字母b組成，那么經過三次改寫后，字符串變成了b→bba→bbabbaab→bbabbaabbbabbaababbba，以此類推，這種做法用來表示生長過程是很有意義的。之后，再將每一種字符賦予不同的操作，就能生成各種圖形。

本文設計的新分形圖案采用公理為[f+f+f+f，]改寫規則為[f→f+f-f-f+f，]這里[f]表示向前移動一步并畫線，步長為[d，]+表示逆時針方向轉90°，-表示順時針方向轉90°。該分形圖案的生成過程如圖1所示，其中[n]為迭代次數。

圖1 一種新的分形圖案

2 基于分形的特異媒質層設計

選用圖1中[n=1]的分形圖案，將其周期性地蝕刻在相對介電常數為2.65，厚度為1 mm，長寬都為100 mm的微波PCB板上，構成了一種微帶結構的特異媒質（Metamaterial）層，如圖2所示。

圖2 基于分形的特異媒質單元和特異媒質層

對該特異媒質層，采用Floquet端口法，仿真計算是其在5.8 GHz電磁波照射下的反射系數。當分形參數[K]和[L]變化時，特異媒質層反射系數的幅度和相位變化曲線如圖3，圖4所示。

從圖3、圖4可以看出，該分形特異媒質層對5.8 GHz電磁波的反射系數幅度和相位隨分形參數[L]和[K]變化而連續變化，當[L=]1 mm，[K]從0.4 mm變化到4 mm，反射系數幅值從0.129變化到0.981，相位從-102.9°變化到-169.1°；而[K=]1.2 mm，[L]從0.2 mm增到3 mm時，反射系數幅值從0.149變化到0.872，相位從-102.3°變化到-151.3°。

圖3 特異媒質層反射系數的幅度隨分形參數

K和L的變化曲線

圖4 特異媒質層反射系數的相位隨分形參數

K和L的變化曲線

根據部分反射層理論，如果該分形特異媒質層放置在某天線前方，其對天線增益的提高量與反射系數密切相關，因此該分形特異媒質層的反射系數連續變化特性能夠應用于不同程度地提高天線增益。

3 分形特異媒質層應用于提高天線增益

本文設計了工作頻率為5.8 GHz的矩形貼片天線，如圖5所示，并進行了加工制作和實驗測試。仿真及實測的[S11]曲線如圖6所示，方向圖如圖7所示。

圖5 矩形貼片天線的結構設計圖和實物照片

根據部分反射層理論提高增益的原理可描述為[9?11]：如圖8所示，[P]點為輻射源，發出電磁波。Ⅰ和Ⅱ分別是兩個相距[H]無限大的均勻反射面。對于頻率為[f，]波長[λ]的電磁波，反射面Ⅰ的反射系數為[ejφG]（全反射，反射系數模值為1，反射相位[φG]），反射面Ⅱ的反射系數為[RejφR]（部分反射，反射系數模值[R，]反射相位[φR，]透射系數模值為[T，][R2+T2=1]）。

圖6 矩形貼片天線的[|S11|]曲線

經過無限次反射，對透射過去的電磁波電場強度進行疊加，可得到[E=n=0∞Rn?ejnφ01?EP?TejφT=TejφT1-R?ejφ01?EP]（[EP]是從P點發出的入射電場，[φT]是射線0從輻射源P到反射面Ⅱ的空間傳播相位，[φ01]為射線0和射線1之間的相位差），[E2=1-R21+R2-2Rcos（φ01）?EP2，]要使[E2]最大，[cos（φ01）=1，]即[φ01=2nπ，n=0，1，2，…，]得到：

[H=λ4πcosθ（φR+φG+2nπ）， n=0，1，2，…] （1）

[E2=1-R21+R2-2R?EP2=1+R1-R?EP2ΔDir（方向性系數的增加值）=1+R1-R] （2）

由此可知，當分形特異媒質層放置在矩形貼片天線前方，按照公式（1）計算貼片天線和分形特異媒質層之間的距離[H，]對應不同的反射系數，分形特異媒質層對貼片天線增益的提高量可由公式（2）計算得到，見表1。

圖7 矩形貼片天線仿真與實測的E面、H面方向圖

圖8 部分反射層理論模型示意圖

4 測試驗證與分析

為驗證本文所設計的分形特異媒質層對天線增益的提高作用，以及對天線回波損耗和方向圖等重要性能指標的影響，從表1中選取[L=]2.2 mm和[K=]1.2 mm這一組數據，加工制作了分形特異媒質層，并安裝在矩形貼片天線前方，如圖9所示。

圖9 加工制作的分形特異媒質層和安裝分形

特異媒質層后的天線

圖10對比了加裝分形特異媒質層后的天線[S11]仿真和測試值。從該圖可清楚地看到，仿真和測試吻合良好。加裝分形特異媒質層后，該天線[S11]曲線沒有發生顯著變化，基本保持不變。

圖10 加裝分形特異媒質層后的天線|S11|仿真和測試對比

圖11對比了加裝分形特異媒質層前后的天線方向圖仿真和測試結果。

同樣可看出，仿真和測試結果吻合良好。加裝分形特異媒質層顯著地提高了矩形貼片天線的增益，由原來的6.51 dBi提高到12.5 dBi，提高了5.99 dB，與部分反射層理論所預計的5.9 dB基本一致。

5 結 語

本文提出一種新的設計特異媒質單元結構的方法。通過利用分形理論中構造分形的文法構圖法，設計出了一種新的單元結構，之后基于此單元結構，通過更改部分參數值的大小設計出了8種應用于提高天線增益的特異媒質層。挑選出其中一種進行加工，并安裝到矩形貼片天線前端進行測試。實測結果顯示其與仿真數據吻合良好，表明本文提出的方法是有效可行的。

圖11 加裝分形特異媒質層后的天線仿真

與實測的E面、H面方向圖

參考文獻

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[7] 宋小弟，馮恩信.分形天線工程及其新進展[J].無線通信技術，2008（2）：48?54.

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[11] FOROOZESH A， SHAFAI L. On the characteristics of the highly directive resonant cavity antenna having metal strip grating superstrate [J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation， 2012， 60（1）： 78?91.

同樣可看出，仿真和測試結果吻合良好。加裝分形特異媒質層顯著地提高了矩形貼片天線的增益，由原來的6.51 dBi提高到12.5 dBi，提高了5.99 dB，與部分反射層理論所預計的5.9 dB基本一致。

5 結 語

本文提出一種新的設計特異媒質單元結構的方法。通過利用分形理論中構造分形的文法構圖法，設計出了一種新的單元結構，之后基于此單元結構，通過更改部分參數值的大小設計出了8種應用于提高天線增益的特異媒質層。挑選出其中一種進行加工，并安裝到矩形貼片天線前端進行測試。實測結果顯示其與仿真數據吻合良好，表明本文提出的方法是有效可行的。

圖11 加裝分形特異媒質層后的天線仿真

與實測的E面、H面方向圖

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同樣可看出，仿真和測試結果吻合良好。加裝分形特異媒質層顯著地提高了矩形貼片天線的增益，由原來的6.51 dBi提高到12.5 dBi，提高了5.99 dB，與部分反射層理論所預計的5.9 dB基本一致。

5 結 語

本文提出一種新的設計特異媒質單元結構的方法。通過利用分形理論中構造分形的文法構圖法，設計出了一種新的單元結構，之后基于此單元結構，通過更改部分參數值的大小設計出了8種應用于提高天線增益的特異媒質層。挑選出其中一種進行加工，并安裝到矩形貼片天線前端進行測試。實測結果顯示其與仿真數據吻合良好，表明本文提出的方法是有效可行的。

圖11 加裝分形特異媒質層后的天線仿真

與實測的E面、H面方向圖

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