分數階偏微分方程的完全小波配置解法

李新秀

（南京郵電大學 理學院，江蘇 南京 210046）

0 引言

近幾十年，分數階微積分已經從純數學理論研究逐漸轉到實際應用的研究。與整數階導數相比，分數階微分算子是非局域算子，具有歷史記憶性，更適合描述具有記憶和遺傳效應的物理現象，所以近年來分數階微分算子不斷的被應用到物理和工程中來。關于分數階導數的詳細描述參考[1]。本文中的分數階導數都是指Caputo意義下的導數：

其中 m≤α＜m+1.

分數階微分方程要方便應用于實踐，關鍵在于分數階微積分數值計算。 然而，分數階微積分方程的數值方法及其理論分析是十分困難的課題。分數階微積分數值計算中涉及的主要問題：其一是需存儲整個歷史數據，隨著時間的增加，信息量不斷增加，計算工作量急劇增加；其二是當時間不斷增加時，離散誤差很難進行控制，從而可能導致計算數據的失真。鑒于此，研究可行有效的分數階微分方程數值計算方法是十分有意義的。

文獻[3]把三次樣條小波配置方法成功推廣到一元分數階微分方程的數值求解中。本文的目的是利用完成小波配置方法求解分數階微分方程的數值求解。

1 分數階偏微分方程的三次B-樣條小波配置方法

本節我們考慮用完全小波配置方法求解分數階偏微分方程的初邊值問題。蔡和王在文獻[4]中給出一種自適應的小波配置方法去求解整數階偏微分方程的初邊值問題。他們僅在空間方向即x方向對未知函數進行小波基函數展開，然后在時間方向即t方向利用求解微分方程的時間步進法去求解。由于時間步進法的誤差是非均勻分布，誤差會隨著時間的增加而累積，會產生計算結果的相漂移現象。如果直接用自適應小波配置方法求解分數階偏微分方程，由于分數階導數的記憶效應，會導致計算復雜度和計算誤差的劇烈增加。

本文中所用的三次樣條小波基函數和基函數的分數階導數的表達式，配置點等，見文獻[3].NJ=2JL+3,小波基函數構成的列向量為 ?J（x）= [ω1（x），…，ωNJ（x ）]T.不失一般性，我們考慮帶有非齊次源的一維分數階反常擴散方程：

來近似方程(1)的精確解 u（x，t），其中小波系數 U=（uij）Nt×Nx未知.根據近似公式（2）,可得：

展開系數U可以通過求解廣義Sylvester方程(5)-(6)得到，從而方程(1)的近似解可以通過（2）有效的重建。

2 數值例子

本節我們通過兩個簡單的例子驗證這種方法的可行性和有效性。

例1 考慮分數階偏微分方程

圖1分別表示當α=0.1時利用三次樣條小波方法求解得到的計算解的絕對誤差，這里參數Jx=Jt=3.

圖1 例1中解的絕對誤差

例2 考慮初邊值條件的分數階偏微分方程

圖2表示當α=0.5時利用三次樣條小波方法求解得到的計算解的絕對誤差，這里參數Jx=Jt=3，圖3表示利用文獻[2]中的方法得到的計算解的絕對誤差。從這些圖中我們可以看用小波配置方法得到的計算解的誤差要比用有限差分方法得到的結果要小，所以小波配置方法得到的精度高一些。

圖2 例2中解的絕對誤差

3 結束語

本文我們提出求解分數階偏微分方程的完全小波配置方法.該方法的主要特點是把分數階微分方程轉化成了一個代數方程。這不僅簡化了問題，而且加快了計算速度。數值結果表明該方法是求解分數階微分方程的一種可行有效的方法。從計算精度上看，如果方程的精確解足夠光滑，該方法的結果要比其他方法的好。

圖3 文獻[2]得到的解的絕對誤差

［1］Podlubny I.Fractional differential equations[M].Academic Press，1999.

［2］Gao G，Sun Z，A compact finite difference scheme for the fractional sundiffusion equations[J].Comput.Phys，2011，230：586-95.

［3］Li X，Numerical solution of fractional differential equations using cubic B-spline wavelet collocation method [J].Commun Nonlinear Sci.Numer Simulat,2012,17：3934-3946.

［4］Cai W，Wang JZ，Adaptive multi-resolution collocation methods for initial boundary value problems of nonlinear PDEs[J].SIAM J.Numer.Anal.,1996，33：937-970.