關于不定積分運算的特征分析

徐 森

（陜西省建筑職工大學，陜西 西安 710068）

0 引言

在高等數學的教學過程中，不定積分運算是一個重點也是一個難點。重點主要體現在不定積分起到銜接微積分體系的一個作用。不定積分的學習以微分為基礎，為后面定積分以及微分方程的學習奠定基礎；而難點主要是不定積分是微分運算的逆運算，對于學生而言，屬于一個逆向思維的過程，學習起來較為抽象。

很多學生對于不定積分的計算總是掌握不好，究其原因，主要是對于基本概念以及基本方法的理解還不夠，沒有認清這些概念方法如何應用。本文在總結不定積分的基本概念和常用方法的基礎之上，對不定積分的運算特征進行了分析。

1 不定積分的運算特征分析

1.1 微分與積分的互逆關系

教材[1]中定義1，定義2中關于原函數和不定積分的定義告訴我們，“不定積分是一個求全體原函數的過程，不定積分是微分運算的逆運算”。我們的基本積分公式正是根據微分與積分的互逆關系得出來的。另外，正確認識了這種“互逆關系”后，不定積分的兩個基本性質（1）、（2）也就好理解了。

根據不定積分的兩個基本性質：

發現不定積分運算的一個基本特征是“拆項的思想”，利用不定積分的基本性質，將一個復雜函數拆成若干個簡單函數相加減的形式，然后套用基本積分公式得出答案。

1.2 積分方法

教材[1]中談到的積分方法主要有換元積分法和分部積分法。兩類積分法都包含了一種“乘法的思想”，即都是“處理兩個函數相乘的形式，且其中必有一個函數導函數存在”，即：

如果f（x）與g（x）存在函數關系，則用第一類換元積分法；反之，則為分部積分法。下面通過幾個例題進行說明。

運用“乘法思想”為本解法的第一步變形提供了依據。

解法二：拆項思想與乘法思想的綜合

本題被積函數是一個整體，難以直接處理。考慮到“乘法思想”，希望通過變形，講被積函數整理成為兩個分式相乘的形式，從而想到“通分”。為本題的順利解決提供了思路。

本題最大的特點是被積函數形式簡單，可利用的條件較少。從“乘法思想”入手，考慮向被積函數乘以一個函數，構造微分等式，為解題提供條件。本題需要綜合利用“乘法思想”和“拆項思想”才能順利解決。

2 總結

不定積分運算是高等數學計算中的一個重點也是難點，本文從計算思想上進行了分析，提出兩種解題思想來解決不定積分問題。在遇到較為復雜的運算題目時，從解題思想的角度出發，為題目變形提供思路，這樣處理積分問題也就有了套路可循。

［1］同濟大學數學系.高等數學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2004：114-157.

［2］胡林.淺談不定積分的運算思維[J].佳木斯教育學院學報，2011（5）：166.