解析有限開(kāi)區(qū)間上單變量函數(shù)的一致連續(xù)

蔣 品 彭鎮(zhèn)靜 賈桂麗

（1.虞城縣高級(jí)中學(xué)，河南 虞城 476300；2.商丘學(xué)院，河南 商丘 476000）

討論有限開(kāi)區(qū)間上單變量函數(shù)的一致連續(xù)，對(duì)數(shù)學(xué)分析的研究和學(xué)習(xí)，有很重要的意義。而單變量函數(shù)的一致連續(xù)對(duì)多變量函數(shù)的一直連續(xù)有重要的理論指導(dǎo)意義[1]。本文在有限閉區(qū)間上探討。

定義：設(shè) f是 X 上的單變量函數(shù).若?ε＞0,?δ＞0,使得當(dāng) x1,x2∈X,f(x1)-f(x2)＜ε時(shí)總成立,則稱f是X上的一致連續(xù)函數(shù)[2]。顯然,若f是X上的一致連續(xù)函數(shù),則f一定是X上的連續(xù)函數(shù)(反之通常不正確)。

作一個(gè)管子如圖1，存在這樣的一個(gè)管子,可以在一致連續(xù)函數(shù)曲線上平行移動(dòng)。

下面是一致連續(xù)的三個(gè)重要的命題，分別是不一致連續(xù)的定義,一致連續(xù)的柯西定義和一致連續(xù)在開(kāi)區(qū)間的一個(gè)重要命題.

命題1 (不一致連續(xù)的充要條件)X上的單變量函數(shù)f不一致連續(xù)??ε＞0和{xn},{yn}?X使得(xn-yn)=0,并且 f(xn)-f(yn)≥ε 任意n∈N+。

圖1

必要性 假定?ε＞0和 {xn},{yn}?X,使得(xn-yn)=0, 并且≥ε，?n∈N+這 時(shí),?ε＞0,?xN,yN∈X， xN-yN＜δ使 得≥ε.這說(shuō)明f不是X上的一致連續(xù)函數(shù).

命題2 若f是區(qū)間I上的一致連續(xù)函數(shù),δ0＞0是常數(shù),則必存在M＞0使得當(dāng)x,y∈I,x-y ≤δ0時(shí)總成立 f(x)-f(y)≤M.

命題3 有限開(kāi)區(qū)間(a,b)上的連續(xù)函數(shù)一致連續(xù)?存在有限單側(cè)極限 f(a+0)和 f(b-0).

證明 充分性 若f是(a,b)上的一致連續(xù)函數(shù),即?ε＞0,?δ＞0,使得當(dāng) x,y∈(a,b),x-y ＜2δ時(shí)成立 f(x)-f(y) ＜ε,則當(dāng) x,y∈(a,b),0＜x-a＜δ,0＜y-a＜δ時(shí)有 f(x)-f(y)＜ε.根據(jù)函數(shù)單側(cè)極限的Cauchy收斂原理,便知存在有限右極限f(a+0).同理,存在有限左極限f(b-0).

［1］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].3 版.高等教育出版社,2003.

［2］呂通慶.一致連續(xù)與一致收斂[M].人民教育出版社,1981.