基于通脹預期的最優消費與投資組合的研究

陸鳳芝 嚴 偉 何陽陽

（安徽工程大學 數理學院，安徽 蕪湖241000）

0 引言

最優消費與投資問題作為微觀金融學研究的重要方向之一，是研究金融經濟學中資本資產定價和風險管理等經濟問題的基礎，對金融經濟理論的發展起著重要的推動作用。早在1970年代，著名的金融經濟學家Merton[1]就己經開始著手研究連續時間下的最優消費和投資問題，并在完備的市場假設條件下建立了經典的消費和投資模型。至今該模型已被眾多相關的學者[2-4]所研究，但他們中多數是在原模型的基礎之上，對相關的假設、條件加以改進而已。基于金融市場的不斷創新與完善，我們需要對更加符合實際的模型加以研究。

基于現有的理論基礎[5]，我們研究了在消費籃子價格完全可觀察的情形下，優先考慮隨機通脹和紅利支付這兩種主要的影響因素，來求解使得投資者來自于消費與終端財富期望效用最大化的最優消費與投資策略，通過解HJB方程從而得到投資者的最優消費和投資策略，同時在理論上得出修正后的互助基金定理，并在不變相對風險厭惡(CRRA)效用這一特殊給定情形之下，得到投資者在通脹條件下最優消費和投資策略的顯式解，通過數值例子說明支付紅利對最優消費和投資組合的影響。

1 金融市場的理論框架

假設(Ω，F,P)是一個帶有 Wiener過程 wI(t)、wz(t)和 W(t)的概率空間，且wI(t)、wz(t)皆為標量，而W(t)是n維的。我們用wI(t)來表示通脹的隨機狀態，用W(t)表示風險資產中的不確定性源。由于在一般情況下市場上風險資產的價格與通貨膨脹有緊密的聯系，故wI(t)和W(t)必定具有一定的相關性。而 wz(t)獨立于 wI(t)和 W(t)。F=σ｛wt(s)，wz(s),w(s)；s≤t｝在此表示除了可能的初始條件外所有過程都應該適應的基本信息流。Y0(t)為無風險資產價格，Y(t)為風險資產價格的n維隨機過程，X(t)為投資者的財富，B(t)為消費籃子價格過程。L(t)=lnB(t),z(t)表示L(t)不可直接觀察時的信號。

價格與通脹過程：

無風險資產的名義價值滿足如下方程：dY(t)=r(t)Y0(t)dt，Y0(0)=y0。其中y0＞0為給定的常數，r(t)為確定性的無風險利率。因為我們在模型中假設即期預期通脹是不變的，所以也假設無風險利率是不變的。

名義風險資產價格滿足：

其中yi＞0為給定的常數，ai(t)和σij(t)分別代表確定性有界的預期回報率和波動率函數。波動矩陣 σ(t)=（σij(t)）1≤i≤n，1≤j≤n對于任一 t都是可逆的。

投資者的消費籃子中包括了幾種消費品及其權重比例。為了簡化起見，在此我們忽略多維方面的情況，直接考慮消費籃子中貨物價格的加權和.該和通常被稱作消費籃子價格或簡稱籃子價格，為了能夠得到來自于名義消費過程與終端財富的實際消費過程與實際終端財富，B(t)在此充當一個計價.消費籃子價格的動力學可表示為：

其中 B0表示初始條件，I與 ζ為常數， 向量 ρ=（ρ1，..，ρN）T表示 wI(t)和 W(t)的相關系數，其中 E[dwi(t)dwI(t)]=ρ=ρidt，i=1,2..，n，且 y 的轉置用yT來表示。預期即期通貨膨脹率在此用實數I來表示，通脹波動率在此我們用ζ來表示且其值大于零，由于消費價格籃子價格一般情況為正值，故預期即期通貨膨脹率也應該為正的，并且易得在消費價格籃子完全可觀察的情形下B0是已知的。為了方便起見，直接用對數籃子價格L(t)來取代B(t)。由于對數函數為增函數，故籃子價格B(t)越高，L(t)就越高。 故：dL(t)=（I-

2 消費籃子價格完全可觀察下的最優消費和投資模型研究

由于紅利的派發將直接影響投資者消費和投資的決定，故在消費籃子價格完全可觀的情形下，考慮通脹和紅利這兩個因素，在上述提供的金融模型框架下，建立消費和投資組合的對應模型，由對HJB方程的求解可獲得最優消費與投資決策，進而在理論上獲得經典互助基金定理的修正形式，同時給出不變相對風險厭惡(CRRA)效用的顯示解。

我們首先利用動態規劃原理得到了最優消費和投資決策，則最優化問題對應的HJB方程是

帶有終端條件 V（x，L，T）＝U2（xe－L）其中 a（t）＝σ（t）σ（t）T，求解上述方程中的消費策略問題為一個凹優化問題，故在此一階條件是充分的，即 e－LU（Ce－L）－Vx（x，L，t）=0，從而得到最優反饋消費策略為（x，L，t）=（Vx（x，L，t）），其中 l1（·）表示 U'（·）的反函數。 得到的最優投資決策問題是二次最大化的問題。現假定在完備市場下，a＝σσT是可逆的，可得到最優的投資組合決策是

定理：在消費籃子價格完全可觀察情況下，考慮通脹和紅利的支付這兩個因素，下面的結論都是成立的

（i）最優投資組合在無風險基金F1與風險基金之間的分配為：F2（t）=（σ（t）T）－1θ（t）和 F3（t）=（σ（t）T）－1ρ，其中 Fk（t）表示 t時刻風險資產的第k個投資組合權重。

（ii）在時間為t時，投資者將財富投資在基金Fk（t）的最優比例分別可表示為

由定理可知，最優投資組合是由三個基金組成的，經典問題中只要兩個基金，與經典問題相同的是，第一基金為無風險資產，第二基金為成長型的最優基金，而第三基金為產生于通脹不確定性和風險市場風險相互關系的基金。

3 小結

本文主要研究了投資者在完全可觀察的情形下，基于通脹環境下建立消費和投資的最優組合。文章首先給出了由三基金組成的互助基金定理的正確性，然后在消費籃子完全可見的情況下，考慮通脹和紅利支付情形下，修正的互助基金定理并明確給出了最優投資組合的三基金及財富在三基金之間的具體分配。

放眼未來隨著世界經濟一體化，金融全球化趨勢的不斷深化，人們對經濟策略也愈發重視，故本文對投資者在金融市場（尤其在通脹環境下）選擇最優的投資和消費策略具有現實的理論指導作用，這也是本文實際應用價值的具體體現。

［1］Merton，RC.Optimal consumption and portfolio rules in a continuous-time model[J].Journal of Economic Theory，1971,3：373-413.

［2］費為銀.考慮紅利支付的最有消費投資模型研究 [J].安徽機電學院學報，1997,12（24）：62-67.

［3］Wang,N.Optimal consumption and asset allocation with unknown income growth[J].Journal of Monetary Economics,2009,56：524-534.

［4］丁傳明，鄒捷中.考慮通貨膨脹率影響的最優消費投資模型[J].中南大學學報，2004,35（1）：167-170.

［5］李淑娟，費為銀，牛艷，陳超.消費籃子價格部分可觀察下帶通脹與紅利支付的最優消費投資問題研究[J].安徽工程大學學報，2011，26（2）：74-79.