PID和模糊邏輯控制器控制直流電動機的性能比較

甘家梁,李志敏,徐翠琴,李 驥,談懷江

(湖北工程學院 計算機與信息科學學院，湖北孝感 432100)

比例積分微分控制器(Proportional Integral Derivative Controller，簡稱PID)因其結構簡單、工作范圍寬、穩定性好、可靠性高、魯棒性強等優點，是當前在工業領域使用最為廣泛的控制器之一。PID調節適合于很多工業控制對象，尤其對線性定常系統非常有效，被廣泛應用于汽車、電機驅動器、飛行控制和儀器儀表等諸多方面。對于大多數非線性系統，如果PID參數調整正確，PID控制器能提供魯棒性強、可靠性高的控制性能[1]。1942年，John Ziegler和Nathaniel Nichols首次提出了一種能有效改善PID控制性能的反饋控制策略(簡稱Z-N回路整定技術)，是有經驗的工程師能夠熟練掌握并傳授給其他工程師和工人的一種簡單而有效的PID控制器參數調節方法。經過多年的發展，Z-N方法已經發展成為控制系統在參數設定中處于數學理論推導計算法和經驗法之間的中間方法。該方法首先確定控制系統中控制參數的范圍，然后通過微調方式進一步將控制參數調整到滿足控制系統所需要的精度，因此Z-N法在很多工業控制領域中得到了非常廣泛的應用。

Z-N法則調節PID控制器參數有兩個調整方法：階躍響應法和頻率響應法。與階躍響應法相比，頻率響應法控制性能更加可靠。本文將探討階躍響應法控制直流電機系統的性能，并與模糊邏輯法進行比較。

模糊邏輯控制(Fuzzy Logic Control，簡稱FLC)系統是一種以模糊數學、模糊語言形式作為知識表示，以模糊邏輯推理為理論基礎，采用計算機控制技術作為控制手段，具有閉環結構的數字控制系統，其組成核心是具有智能性的模糊邏輯控制器[2]。與傳統的依賴于系統行為參數的控制器相比，模糊邏輯控制器的設計依賴于專家知識或操作者的成熟經驗。傳統的控制器通過求解表示控制對象狀態的一組微分方程對輸出結果進行調整。而模糊邏輯控制器則以過程函數的狀態變化和邏輯模型產生的規則為基礎，利用模糊邏輯推理構建“一種自由模型”的非線性控制算法，特別適用于那些需要復雜數學推理計算進行定量技術分析的被控對象，或者是定性、非確定性和非精確的被控對象[2]。本文對Z-N法則調整PID控制器進行分析，闡述了精確調整PID控制器和FLC控制器的三種方法，并對三種方法在控制直流電機在速度方面的性能指標進行了比較。

1 直流電機的數學模型

他勵直流電機由勵磁線圈和電樞組成。在不改變勵磁線圈電壓的條件下，通過調整電機的電樞電壓來控制電機。采用控制電樞電壓的他勵直流電機的動態等效電路如圖1所示[3]。

圖1 他勵直流電機等效電路圖

根據圖1的他勵直流電機等效電路圖，其動態數學模型用下列方程式表示[4-5]：

(1)

(2)

上式中，Va為電樞電壓(V)，Ra為電樞電阻(Ω)，La為電樞電感(H)，Ia為電樞電流(A)，Ea為反電動勢(V)，ω為角速度(rad/s)，Tm電動機轉矩(N·m)，Jm是電樞的轉動慣量，Bm為粘性摩擦系數，KT為轉矩常數，Kb為反電動勢常數。

把(1)和(2)式進行拉普拉斯變換，可以得到：

Va(s)=RaIa(s)+LaIa(s)+Kbw(s)

(3)

KTIa(s)=JmW(s)+BmW(s)

(4)

從(4)式中導出電流公式并代入(3)式中得：

(5)

那么，轉子軸速度和施加在電樞電壓之間的關系用傳遞函數表示為：

(6)

則位置和速度之間的關系表示為：

(7)

在無負載的情況下，軸位置和電樞電壓之間的傳遞函數為：

(8)

根據直流電機數學模型，構建直流電機仿真圖，如圖2所示。電機模型被轉換成2個端口輸入和2個端口輸出的子系統。輸入端口是電樞電壓(Va)和負載扭矩(Tload)，輸出端口1是轉軸的角速度(ω)，端口2是轉軸的位置[6-7]。在本文的仿真對比實驗中均采用圖2所示的直流電機數學模型。

圖2 直流電動機的數學模型圖

2 PID控制器與Z-N法則調節PID控制器的設計

2.1 廣義PID控制器模型

在連續的S—域，PID控制器用傳遞函數描述為：

Gc(s)=P+I+D=KP+Ki/S+KdS或Gc(s)=KP(1+1/TiS+TdS)

(9)

式(9)中，KP表示比例增益，Ki表示積分系數，KD表示微分系數。Ti表示積分動作時間，Td表示微分作用時間。針對特定的控制對象，調整PID控制器就是科學合理地設置上述參數，使控制系統獲得最好的控制效果。

實驗中所用的直流電機參數如下：

電動機規格：3.8 kW, 230 V, 10 A,1500 RPM。

電機參數：Ra=2.45 Ω，La=0.035 H，

Kb=1.2 V/(rad/s )，J=0.022 kg·m2/rad，

B= 0.5×10-3N·m/(rad/s )，

下面給出系統的整體傳遞函數，

(10)

圖3 沒有控制器的直流電機的初始響應

2.2 PID 控制器的Z-N整定法則

Z-N整定法則調整PID控制器回路整定技術分為兩步： 第一步構建控制系統閉環回路數學方模型，確定穩定極限，第二步根據數學模型計算控制器參數。

Z-N法則根據被控制對象的動態響應特性，在系統控制過程中采用比例增益KP、積分時間Ti和微分時間Td的組合法則，包括兩種調整方法：階躍響應法和頻率響應法。鑒于頻率響應法比階躍響應法更可靠，本文只對頻率響應法進行實驗驗證[3-4]。

控制系統的穩定極限由比例增益控制(如圖1所示) ， 當系統的振蕩達到了這個極限值時，系統處于穩態。假設系統的臨界系數為Kcr和臨界振蕩周期為Tcr，其中臨界值Kcr是使系統輸出首次呈現持續振蕩的增益值。設Ti=∞，Td=0， 使比例增益KP從零增加到臨界值Kcr，臨界增益Kcr和臨界振蕩周期Tcr通過實驗確定。在N-Z調整法則中，可根據表1給出的公式確定參數KP、和Td的值。

表1 Z-N調整法則確定PID輸出參數

根據公式(8)和(9)，得到用Z-N法則調整的PID 控制器模型[5-7]:

(11)

由公式(11)可以，PID 控制器存在一個極點位于原點處和一對零點位于s=-4/Tcr處。

2.3 PID控制器與Z-N法則調整PID 控制器參數的整定與仿真

圖4 PID控制直流電機仿真圖

不論用何種控制方案對PID參數進行整定，其途徑是通過改變PID控制器的三個參數KP、Ki和Kd， 使其特性與實際控制過程相適應， 達到改善直流電機系統的靜態和動態性能指標。設定Kcr=20 ms，Tcr=100 ms,確定PID控制器的比例增益系數KP、積分時間系數Ti和微分環節時間Td。在此基礎上，優化PID控制器的參數如下：

(12)

在Simulink環境下，依照上述參數對直流電機閉環系統進行仿真，傳統的PID控制和應用Z-N法則整定PID控制器參數的直流電機速度單位階躍響應仿真曲線分別如圖5和圖6所示。

圖5 PID控制直流電機速度響應曲線

圖6采用Z-N法則整定PID
參數控制直流電機響應曲線

由圖5的系統仿真曲線可得傳統的PID控制電機速度響應結果，系統上升時間tr=0.04 s，峰值時間tp=0.08 s，到達穩定時間ts=0.16 s，此時系統的超調量為δ=30%。在實際應用中，系統的飽和超調量明顯小于線性超調量，特別是直流電機在高速工作的情況下。采用Z-N法則對速度調節器進行了優化，調整PID控制器的輸出參數，優化后的參數如文中所述， 此時的仿真曲線如圖6所示。由圖6可知，系統上升時間=0.033 s，到達峰值時間tp=0.06 s，到達穩定的調節時間ts=0.30 s ，線性超調量δ=8.5%。對比圖5和圖6的電機相應曲線可以看出，除到達穩定的調節時間變化不大外， 系統上升時間、到達峰值時間和超調量等指標均有顯著提高。

綜上分析可知，應用Z-N法則能精確快速的計算出需要調整的PID控制器各參數的控制范圍，之后只需進行微調便可達到預期控制效果。

3 模糊邏輯控制器

模糊邏輯控制器是一種語言控制器，其核心是建立一套模糊控制規則，模仿專家經驗，將輸入量按事先建立的模糊控制規則自動進行一系列推理運算，從而獲取問題的求解，在處理不確定性和不精確性問題時具有良好的魯棒性。模糊控制流程如圖7所示[1-2]。

圖7 模糊控制系統的工作原理

由于模糊邏輯控制器結構的特殊性，它具有與某些常規控制器不同的特性，通常憑借人的直覺和經驗進行設計，不需用精確的數學模型刻畫受控系統的特征。一般來說，模糊邏輯控制器的結構設計由如下步驟組成：

1)確定輸入和輸出變量；

2)定義所有變量模糊化條件；

3)設計構建控制規則庫；

4)設計模糊推理結構，構造模糊子集，建立模糊化方法和模糊隸屬函數；

5)選擇精確化的策略方法。

一般來說，FLC控制器控制規則的設計原則為：當誤差較大時，控制量應當盡可能快地減小誤差；當誤差較小時，除了消除誤差外，還必須考慮系統的穩定性，以避免不必要的超調和振蕩。

3.1 FLC控制系統結構設計

根據前面分析可知，FLC控制器控制直流電機可以設計成一個二維的輸出模糊邏輯控制系統，控制系統原理如圖8所示，其中輸入和輸出語言變量為誤差e、誤差變化ec和控制輸出增量u。

圖8 直流電機速度控制的模糊系統控制結構圖

3.2 模糊化設計

在FLC控制器控制直流電機的三個語言變量的論域內分別確定每一變量的語言值個數、語言值的隸屬度函數。考慮到控制系統對直流電機控制時并不要求精度控制，允許有一定的誤差裕度，因此對誤差變量e取兩個語言值，即負偏差(NZ)和正偏差(PZ)；誤差變化量ec也取兩個語言值，即負偏差變化率(NZ)和正偏差變化率(PZ)。為使控制系統獲得較好的控制效果，控制量采用增量方式對控制量進行模糊化，并在其論域內取三個語言值，即負增量(NS)、零增量(ZE)、正增量(PS)[8-9]。三個變量的隸屬度函數如圖9所示。

圖9 變量e′、ec′、μ′的隸屬函數圖

3.3 FLC控制器規則設計

FLC控制器的控制規則是根據操作者的控制經驗，經一定的處理后獲得的。控制規則的多少與變量的輸入輸出數目、每一變量的語言值數目、以及被控制系統精度要求等因素有關。本文設計的FLC控制系統控制直流電機的要求比較簡單，其控制規則僅有四條 ，分別如下：

規則1∶if 誤差e′is NZ and 誤差變化ec′is NZ then 控制 is ZE；

規則2∶if 誤差e′is NZ and 誤差變化ec′is PZ then 控制 is NS；

規則3∶if 誤差e′is PZ and 誤差變化ec′is NZ then 控制 is PS；

規則4∶if 誤差e′is PZ and 誤差變化ec′is PZ then 控制 is ZE。

在構建了控制系統模糊化算法和模糊控制規則后，模糊控制器可對任意輸入狀態進行模糊邏輯推理，最終得到輸出控制增量的模糊子集[9-11]。設某一時刻e=3，ec=1，則有

μNZ(3)=0.2，μPZ(3)=0.8，μNZ(1)=0.33，μNZ(3)=0.67

通過4條推理運算的結果，得到系統控制器的輸出增量為：

μ′ =μ1∪μ2∪μ3∪μ4

=0.2/NS+0.67/ZE+0.33/PS

此時模糊邏輯控制器推理得出的模糊控制增量μ′的形狀如圖9的點線所示，得出的e′、ec′、μ′對應關系如圖10所示。

圖10 模糊邏輯輸入E 和Ec與輸出μ′的對應關系

3.4 精確化計算

由模糊邏輯控制推理機得出的模糊邏輯控制增量是一個模糊子集，不能對精確的模擬或數字系統進行控制[1-2]。因此，必須根據推理規則對系統進行精確化計算，選擇模糊子集中最具有代表意義的確定值作為控制系統的輸出。本文采用重心法進行精確化計算。為便于計算，選取有限個點進行計算，并把控制增量PS>7和NS<-7部分的面積進行抵消。對離散點選擇點線的拐點處(a1=-7，a2=-5.6，a3=-2.31，a4=2.31，a5=4.69，a6=7)進行計算，計算方法如下：

3.5 仿真實驗及分析

FLC控制器所用電機規格與參數同上述PID仿真實驗所用電機一致。仿真電路圖如圖11所示。

圖11 FLC控制器的直流電機調速控制仿真圖

FLC控制器的控制直流電機的系統響應曲線如圖12所示。從圖11可以看出，上升時間tr=0.07 s，峰值時間tp=0.08 s，系統到達穩定的調整時間ts=0.1 s，線性超調量δ=4.6%。比對圖5、圖6和圖11的仿真曲線，可以看出采用FLC控制器對直流電動機控制獲得的各項性能指標均優于傳統PID控制器和基于Z-N法則整定PID控制器的性能，對抑制控制系統的超調量和提高系統響應速度方面具有明顯的優勢。

4 性能比較與分析

為便于比較，將三種控制器控制直流電機的速度仿真系統的仿真結果列于表2中。從表2 中可以看出，任何控制器控制直流電機沒有絕對的優勢，各有不同的優缺點和應用范圍。常規的PID控制器靈敏度高，到達穩態所需的時間稍短，但超調量大，系統的穩定性較差；采用Z-N法則調整PID控制器的參數輸出，系統超調量小，調節過程平穩，但響應速度較慢，進入穩態時間較長；模糊邏輯控制系統的響應時間、超調量控制、到達穩態時間等性能指標明顯優于常規的PID控制系統。在模糊邏輯控制系統下，系統可以快速平穩地進入穩定狀態，系統具有良好的響應速度和穩態控制精度。從實際控制角度而言，要求系統的上升時間、超調量和穩定時間越小越好。在實際應用中，需要根據系統的要求選擇合適的控制器，盡可能滿足實際應用要求。

表2 控制器的性能比較

5 結論

本文對PID控制器、Z-N法則調節PID控制器和FLC控制器控制直流電機的性能進行了比較與分析。仿真結果表明， FLC控制器比常規PID控制器和基于Z-N法則調節的PID控制器具有更快的響應速度，能有效抑制超調量，在控制直流電機速度方面能獲得更好的控制效果。

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