斐波那契數列的研究與應用

摘 要：斐波那契數列是由著名的意大利數學家斐波那契提出的兔子問題引發而生的。它一經被提出就受到了社會的廣泛關注，經過人們的不懈努力，發現了斐波那契數列不可估量的重要作用。文章將對斐波那契數列進行簡單的介紹，然后探討一下斐波那契數列的重要學術意義和實用價值。

關鍵詞：斐波那契數列；研究

意大利數學家斐波那契，出生在一個富商家庭，是12世紀歐亞之間數學交流的重要使者。他涉及的數學領域非常廣泛，對數學的發展有著重要的影響。他在1202年的著作《計算之書》中，提出了“生小兔問題”。此問題一經提出，受到了人們的廣泛關注。從這個十分簡明的遞推關系出發，竟引出了一個充滿奇趣的數列，它不僅與幾何圖形、黃金分割、楊輝三角等數學知識、植物生長等自然現象有著非常微妙的聯系，還在優選法、計算機科學等領域有著廣泛的應用。文章首先對斐波那契數列的產生背景進行介紹。

1 斐波那契數列的產生背景

Fibonacci數列是由意大利的數學家斐波那契提出的兔子問題引發而生的。斐波那契出生在比薩的一個富商家庭，是十二世紀歐亞之間數學交流的重要使者。他是歐洲黑暗時期過后第一個有影響的科學家。他涉及的數學領域非常的廣泛，他在1202年寫成的《計算之書》中，提出了兔子問題，即：若每一對成兔每月生一對幼兔（一雌一雄），幼兔經過二個月后成為成兔，即開始繁殖，試問年初的一對幼兔（沒有死亡疾病）一年后能繁殖成多少對兔子？四百多年后，荷蘭數學家（吉拉爾）注意到與兔子問題有關的數列的一般遞推關系式un=un-1+un-2，后來這個數列被F.E.A.Lucas首先命名為Fibonacci數列。

2 斐波那契數列的應用

2.1 黃金數與斐波那契數列

2.1.1 黃金數w=0.618…與斐波那契數列{un}之間有關系式：

2.1.2 黃金數與幾何圖形的聯系

（1）黃金三角形簡介

定義：底與腰之比為w的等腰三角形。它有很多特殊的性質，這里就不再贅述。

（2）黃金橢圓簡介

定義：設c為橢圓的焦半徑（c2=a2-b2），若以c為半徑的圓（稱為該橢圓的伴隨焦點圓）的面積與橢圓的面積相等，則，且稱此種橢圓為黃金橢圓。類似的還有黃金矩形等等。

2.2 楊輝三角形與斐波那契數列

楊輝三角形按一定的規律排列，并且豎列相加（不進位），則得到斐波那契數列：1，1，2，3，5，8，13，21，…

2.3 斐波那契數列在定理證明上的應用（略）

2.4 斐波那契數列在優選法上的應用（略）

2.5 斐波那契數列與數學拼圖

把一個邊長為8的正方形按如圖1所示的方式剪裁（沿圖中的粗線），然后拼成如圖2所示的矩形，

圖1 圖2

拼后我們發現原來正方形的面積為S正=8×8=64，而得到的矩形的面積為S矩=13×5=65，用原圖形拼接的圖形的面積為何多出一個單位面積呢？細心的話，會有人親自動手剪一下拼接，會發現用圖1拼接出的矩形中間是有一段縫隙的，如圖2所示。

通過觀察我們發現正方形、長方形的邊長分別為8、5、13，調換一下位置變成5、8、13，則它們恰好為斐波那契數列中相鄰的三項，由斐波那契數列的性質2，即n，這里面的un-1un+1相當于上面拼圖問題中的矩形的面積，u是正方形的面積，所以很容易便解釋了上述拼圖中出現的問題。

2.6 斐波那契數列與生活、自然界的聯系

斐波那契數列與自然界也有著緊密的聯系。下面舉出幾個例子加以說明。

2.6.1 斐波那契數列與樹木的生長

樹木在生長過程中，由于新生的枝條，往往需要一段“休息”時間，供自身生長，而后才能萌發新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年，以后長出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發；此后，老枝與“休息”過一年的枝同時萌發，當年生的新枝則次年“休息”。這樣，一株樹木各個年份的枝椏數，便構成斐波那契數列。換句話說，樹枝的繁衍方式是按照斐波那契數列增長的。這個規律，就是生物學上著名的“魯德維格定律”。同樣，許多植物的花瓣數目也具有斐波那契數。

2.6.2 斐波那契數列與臺階問題

有一個樓梯，要求一次最多只能邁兩個臺階。若有一個臺階時，只有一種走法，我們把它記為F1=1；若有兩個臺階，則有兩種走法，即一階一階的走，記為（1，1），一步兩階的走，記為（2），即F2=2；若有三個臺階，則有三種走法，即（1，1，1）、（1，2）、（2，1），記為F3=3；若有四個臺階，則有五種走法，即即我們所熟悉的斐氏數列。

2.6.3 斐波那契數列與雄蜂家族、鋼琴鍵盤

在蜜蜂王國里，有著明確的分工。只有一只雌蜂能產卵，被稱作蜂后，其余的雌蜂都為工蜂。蜂后與雄峰交配后產下蜂卵，大部分是受精卵，其孵化后為雌蜂，少數的未受精卵經孵化后成為雄蜂。如果追溯一只雄蜂的家系，它的任何一代的祖先數目都為斐波那契數列中的數。

2.6.4 斐波那契數列與植物的葉序

植物的葉序即植物生長過程中葉、花、果在莖上的排列順序，開卜勒對此進行了研究，他指出植物葉子在莖上的排列，對于同一種植物是有一定的規律的，如果把位于莖周同一母線位置的兩片葉子叫做一個周期，則將是一個特定的值，它與植物的品種有關。

此外斐波那契數列在很多數學問題當中也有著廣泛的體現，比如概率問題、代數問題等等。以上即為本人在學習斐波那契數列的心得與總結，由于知識有限，會有一些紕漏與疏忽之處，望指正！

參考文獻

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[2]李勇，姜學文，蔣伯浩.關于斐波那契數列性質的簡單證法及其推廣應用[J].太原教育學院學報.

[3]閆萍，王見勇.斐波那契數列與黃金分割數[J].高等教學研究.

作者簡介：賈菲菲，哈爾濱師范大學，教師教育學院，學科教學（數學）專業，2012級研究生，籍貫：黑龍江省齊齊哈爾市。