傅里葉級數(shù)在實際中的應(yīng)用

摘 要：傅里葉級數(shù)在實際中的應(yīng)用主要是通過將復(fù)雜的周期函數(shù)表示成三角函數(shù)的線性組合，通過對簡單函數(shù)的分析達到對復(fù)雜函數(shù)的深入理解和研究。傅里葉級數(shù)在數(shù)學(xué)、物理領(lǐng)域以及電子技術(shù)中都有重要的應(yīng)用價值。

關(guān)鍵詞：傅里葉級數(shù)；應(yīng)用；數(shù)學(xué)；電子技術(shù)

傅里葉級數(shù)的發(fā)現(xiàn)不僅為求解物理學(xué)的熱效應(yīng)方程提供了新的思路和解決方法，同時給數(shù)學(xué)中一些復(fù)雜的計算提供了新的方法。用簡單的三角函數(shù)的線性組合代替復(fù)雜的函數(shù)，通過研究三角函數(shù)的線性組合的性質(zhì)達到對復(fù)雜函數(shù)的了解，給出了一種很好的研究函數(shù)性質(zhì)的以種簡單方法。文章就傅里葉級數(shù)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域和物理領(lǐng)域中的實際應(yīng)用具體討論。

1 傅里葉級數(shù)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用

1.1 應(yīng)用傅里葉級數(shù)證明等式

證明兩個式子相等是高等數(shù)學(xué)證明的基礎(chǔ)，它的應(yīng)用非常廣泛，證明兩個式子相等的方法有很多。利用傅里葉級數(shù)就是其中的一種，通常是將其中的一個式子變成傅里葉級數(shù)，由級數(shù)的收斂性直接證明兩式相等。下面以幾道具體的例子介紹應(yīng)用傅里葉級數(shù)證明等式的具體過程。

1.2 利用傅里葉級數(shù)證明不等式

兩個式子比較大小常用的方法就是將其中一個式子變形成另一個式子的形式，變形的方法有很多，需要具體情況具體分析。由于傅里葉級數(shù)的收斂性可以將一個式子展成傅里葉級數(shù)在與另一個式子比較大小。傅里葉級數(shù)為證明不等式提供了一個新的思路。

1.3 利用傅里葉級數(shù)求級數(shù)的和

求一個函數(shù)項的和函數(shù)是級數(shù)中的常見問題，利用傅里葉級數(shù)求級數(shù)的和是通過尋找一個函數(shù)f，使這個函數(shù)f的傅里葉展式為所求級數(shù)。下面通過例題介紹應(yīng)用傅里葉級數(shù)求級數(shù)的和的具體過程。

2 傅里葉級數(shù)在物理及電子技術(shù)中的應(yīng)用

在物理學(xué)中，很多周期現(xiàn)象可以看成是許多不同的簡諧振動的

疊加。在電工學(xué)中，電磁波函數(shù)f（t）常展開為 ，

其中A0，An，？漬n（n=1，2，3，...）都是常數(shù)。這種展開即為諧波分析，其中常數(shù)項A0稱為直流分量， A1sin（wt+？漬1）稱為一次諧波（基波），A2sin（2wt+？漬2）稱為二次諧波，A3sin稱為三次諧波，依次類推。變形后，等式右端變成 這就是一個三角級數(shù)。

在電子技術(shù)中，常用矩形波來輸送信號。例如，一矩形波f（x）是

3 傅里葉級數(shù)的其他應(yīng)用

傅里葉級數(shù)在實際中的應(yīng)用大部分是依據(jù)吉布斯現(xiàn)象的。許多基于傅里葉級數(shù)的預(yù)測都是以吉布斯現(xiàn)象為依據(jù)的。如鐵路客運量的預(yù)測、自然災(zāi)害損失的預(yù)測。傅里葉級數(shù)除了應(yīng)用于現(xiàn)象的預(yù)測，還可以用于數(shù)字信號的處理，抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù)處理等方面。

在實際中經(jīng)常遇到復(fù)雜不易掌握的事物，掌握復(fù)雜事物的常用方法就是將他轉(zhuǎn)換成等價的簡單事物的組合。而傅里葉級數(shù)在實際中的應(yīng)用主要是通過將復(fù)雜的函數(shù)表示成三角函數(shù)的線性組合，通過研究三角函數(shù)的線性組合掌握復(fù)雜函數(shù)的性質(zhì)，達到對復(fù)雜函數(shù)的了解。文章簡單的介紹了傅里葉級數(shù)的理論應(yīng)用，即在純數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，以及在物理及電子技術(shù)中的應(yīng)用等。

參考文獻

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[2]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，1998年.

[3]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)[M].第四版.北京：高等教育出版社，2002年.

作者簡介：王亞男（1981，11～），女，漢族，遼寧省大連市，大連職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部教師，碩士，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教學(xué)。