傅里葉級數(shù)在實際中的應用

摘 要：傅里葉級數(shù)在實際中的應用主要是通過將復雜的周期函數(shù)表示成三角函數(shù)的線性組合，通過對簡單函數(shù)的分析達到對復雜函數(shù)的深入理解和研究。傅里葉級數(shù)在數(shù)學、物理領(lǐng)域以及電子技術(shù)中都有重要的應用價值。

關(guān)鍵詞：傅里葉級數(shù)；應用；數(shù)學；電子技術(shù)

傅里葉級數(shù)的發(fā)現(xiàn)不僅為求解物理學的熱效應方程提供了新的思路和解決方法，同時給數(shù)學中一些復雜的計算提供了新的方法。用簡單的三角函數(shù)的線性組合代替復雜的函數(shù)，通過研究三角函數(shù)的線性組合的性質(zhì)達到對復雜函數(shù)的了解，給出了一種很好的研究函數(shù)性質(zhì)的以種簡單方法。文章就傅里葉級數(shù)在數(shù)學領(lǐng)域和物理領(lǐng)域中的實際應用具體討論。

1 傅里葉級數(shù)在數(shù)學領(lǐng)域中的應用

1.1 應用傅里葉級數(shù)證明等式

證明兩個式子相等是高等數(shù)學證明的基礎(chǔ)，它的應用非常廣泛，證明兩個式子相等的方法有很多。利用傅里葉級數(shù)就是其中的一種，通常是將其中的一個式子變成傅里葉級數(shù)，由級數(shù)的收斂性直接證明兩式相等。下面以幾道具體的例子介紹應用傅里葉級數(shù)證明等式的具體過程。

1.2 利用傅里葉級數(shù)證明不等式

兩個式子比較大小常用的方法就是將其中一個式子變形成另一個式子的形式，變形的方法有很多，需要具體情況具體分析。由于傅里葉級數(shù)的收斂性可以將一個式子展成傅里葉級數(shù)在與另一個式子比較大小。傅里葉級數(shù)為證明不等式提供了一個新的思路。

1.3 利用傅里葉級數(shù)求級數(shù)的和

求一個函數(shù)項的和函數(shù)是級數(shù)中的常見問題，利用傅里葉級數(shù)求級數(shù)的和是通過尋找一個函數(shù)f，使這個函數(shù)f的傅里葉展式為所求級數(shù)。下面通過例題介紹應用傅里葉級數(shù)求級數(shù)的和的具體過程。

2 傅里葉級數(shù)在物理及電子技術(shù)中的應用

在物理學中，很多周期現(xiàn)象可以看成是許多不同的簡諧振動的

疊加。在電工學中，電磁波函數(shù)f（t）常展開為 ，

其中A0，An，？漬n（n=1，2，3，...）都是常數(shù)。這種展開即為諧波分析，其中常數(shù)項A0稱為直流分量， A1sin（wt+？漬1）稱為一次諧波（基波），A2sin（2wt+？漬2）稱為二次諧波，A3sin稱為三次諧波，依次類推。變形后，等式右端變成 這就是一個三角級數(shù)。

在電子技術(shù)中，常用矩形波來輸送信號。例如，一矩形波f（x）是

3 傅里葉級數(shù)的其他應用

傅里葉級數(shù)在實際中的應用大部分是依據(jù)吉布斯現(xiàn)象的。許多基于傅里葉級數(shù)的預測都是以吉布斯現(xiàn)象為依據(jù)的。如鐵路客運量的預測、自然災害損失的預測。傅里葉級數(shù)除了應用于現(xiàn)象的預測，還可以用于數(shù)字信號的處理，抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù)處理等方面。

在實際中經(jīng)常遇到復雜不易掌握的事物，掌握復雜事物的常用方法就是將他轉(zhuǎn)換成等價的簡單事物的組合。而傅里葉級數(shù)在實際中的應用主要是通過將復雜的函數(shù)表示成三角函數(shù)的線性組合，通過研究三角函數(shù)的線性組合掌握復雜函數(shù)的性質(zhì)，達到對復雜函數(shù)的了解。文章簡單的介紹了傅里葉級數(shù)的理論應用，即在純數(shù)學中的應用，以及在物理及電子技術(shù)中的應用等。

參考文獻

[1]華東師范大學數(shù)學系編.數(shù)學分析[M].第三版.北京：高等教育出版社，2002年.

[2]北京大學數(shù)學系編.數(shù)學分析[M].北京：高等教育出版社，1998年.

[3]同濟大學數(shù)學教研室.高等數(shù)學[M].第四版.北京：高等教育出版社，2002年.

作者簡介：王亞男（1981，11～），女，漢族，遼寧省大連市，大連職業(yè)技術(shù)學院基礎(chǔ)教學部教師，碩士，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學、數(shù)學教學。