變曲率曲面周銑銑削力建模與分析*

郝洪艷 湯文成 王保升

(①東南大學機械工程學院，江蘇 南京211189;②南京工程學院材料學院，江蘇 南京211167)

在模具、電子、航天航空等產(chǎn)品中存在大量的變曲率曲面，使銑削穩(wěn)定性預測、工藝系統(tǒng)變形分析和銑削參數(shù)優(yōu)化更加復雜。解決這些問題需要建立精確的銑削力模型，揭示曲率對銑削力的影響規(guī)律。一直以來，對銑削力的研究多集中于直線銑削和圓弧銑削，在變曲率銑削方面的研究相對較少。Zhang 建立了圓弧銑削的銑削力模型，通過改變圓弧半徑分析了曲率對等效進給量、切入角、切出角以及銑削力的影響［1］。Rao針對變曲率曲面周銑建立了銑削力解析模型，分析了曲率對平均銑削力的影響［2］，但對最大曲率處的銑削力峰值和谷值變化未做深入研究。浦金鵬分析了曲率對等效每齒進給量的影響，進而定性分析了曲率對銑削力的影響［3］。王小純利用試驗法研究了小直徑銑刀側(cè)銑時刀位路徑曲率對銑削力的影響，建立小直徑銑刀銑削淬硬鋼的切削力與刀位路徑的灰色模型［4］。以上研究所提出的銑削力模型均未考慮刀具偏心跳動的影響。Desai 提出了包含刀具偏心跳動的銑削力模型，給出切削厚度的隱式算法，需要耗費大量計算時間［5］。Yang 提出基于NC 代碼的刀位點確定方法，在將微段曲線簡化為圓弧的基礎上給出了未變形切屑厚度的顯式計算公式［6］。

本文基于直線插補的理念確定刀具位置，在考慮刀具偏心跳動的情況下，通過坐標變換推導未變形切屑厚度的新算法，給出包含工件邊界的切入角與切出角計算方法。最后通過試驗驗證模型的有效性，并進一步分析曲率對切入角、切出角、未變形切屑厚度、進給方向力和法向力的影響。

1 銑削力建模

1.1 銑削力基本模型

變曲率曲面周銑如圖1 所示，oxy 為固定坐標系，osxsys為隨動坐標系，osxs、osys分別為曲線在該點的切線方向和法線方向。(xt(u)，yt(u))、(xw(u)，yw(u))、(x(u)，y(u))分別為刀具中心軌跡曲線、加工前輪廓曲線和加工后輪廓曲線。A、B 表示刀具中心，C、D 表示對應的刀齒切入點。

沿刀具軸向?qū)⒌洱X進行離散化，作用在第i 個刀齒第j 個微元上的切向力dFti，j(u)和徑向力dFri，j(u)為

式中:dz 為軸向?qū)挾?hi，j(u)為瞬時未變形切屑厚度;u 為曲線參數(shù);Kt(hi，j(u))和Kr(hi，j(u))分別表示切向和徑向切削力系數(shù)，與未變形切屑厚度呈冪函數(shù)關系［7］。

將微元切削力轉(zhuǎn)化為osxs與osys方向分量，并對所有微元切削力求和，則總銑削力為

式中:φsi，j(u)為微元在隨動坐標系的位置角。

將銑削力變換到固定坐標系中，銑削力在ox 與oy向的分量為

式中:θ(u)為進給方向角。

1.2 刀具位置確定

與直線銑削和圓周銑削不同，變曲率銑削中刀具位于不同位置時，曲率不同會造成未變形切屑厚度、切入角與切出角等工藝參數(shù)的變化。以加工后工件輪廓曲線為基準，三條曲線對應同一參數(shù)時的坐標關系為

式中:ae為徑向切深;R 為刀具半徑;x'(u)、y'(u)表示參數(shù)化曲線的微分。

利用直線插補方法將刀具中心軌跡曲線離散為若干微段，以兩點間的直線逼近曲線，相鄰點距之和作為刀位軌跡長度。當?shù)段粚獏?shù)uk時，進給方向角θ(uk)、加工時間T(uk)及刀具位置角φs(uk)為

式中:vf為進給速度;n 為主軸轉(zhuǎn)速;Lt(ug，ug+1)為相鄰點距。

1.3 未變形切屑厚度的新算式

不考慮刀具偏心跳動時，未變形切屑厚度可以通過等效進給量、微元在隨動坐標系中的位置角進行計算［2］。但在刀具偏心跳動和曲率變化的共同作用下，未變形切屑厚度的計算將變得比較復雜。

如圖1 所示，P2為刀齒i 瞬時位置，P1為BP2與刀齒i-m 切削路徑的交點。瞬時未變形切屑厚度表示為

式中:Ri，j為微元實際切削半徑;ρ 為刀具偏心量;λ 為偏心方向角;LBP1為BP1長度;Nf為刀齒數(shù);β 為刀具螺旋角;zi，j為微元軸向高度。

為簡化計算，利用坐標平移變換將B 移至原點，再利用旋轉(zhuǎn)變換將AB 旋轉(zhuǎn)至x 軸。坐標變換后，刀齒i-m 的切削路徑方程及直線BP2的方程為

式中:LAB為AB 長度;K =ctan(φs(ub)-θ(ub)+ψ)，ψ=arctan((yt(ub)-yt(ua))/(xt(ub)-xt(ua)))。

解方程(8)得點P1的坐標，并計算LBP1為

式中:γ=φs(ub)-θ(ub)+ψ。

當m 取不同值時，依式(6)、式(7)、式(9)計算出所有可能的未變形切屑厚度，則瞬時未變形切屑厚度為

1.4 切入角與切出角計算

由于刀具偏心跳動的存在，刀齒的切出點可能是該刀齒與前一刀齒軌跡的交點，也可能是與前m 刀齒的交點，需計算當前刀齒與其前Nf個刀齒所有的交點，求解相應的切出角度，取其最小值［5］。因此，在刀具偏心跳動的影響下，切入角與切出角為

式中:φi，j，st(ub)與φi，j，ex(ub)為 切 入 角 與 切 出 角;φ(i，i-m)，j，ex(ub)為當前刀齒與前m 刀齒的交點對應的切出角;DF 為兩點長度。

如圖2 所示，在刀具進入階段和退出階段應分別考慮工件邊界對切出角和切入角的影響，可以通過工件邊界和刀齒軌跡計算出交點(圖中Ee、Dd點)，從而得出進入階段的切出角和退出階段的切入角。

在直線與曲線連接階段，切入與切出角仍可以依據(jù)式(11)、式(12)計算。

2 試驗驗證

試驗在DMC 70V hi-dyn 高速加工中心進行。刀具采用Sandvik 1P240 - 1000 - XA1630，4 齒，直徑10 mm，螺旋角35°。干切削，順銑。工件材料為Al6061 -T6，測力儀為Kistler 9257B。

試驗1:主軸轉(zhuǎn)速3000 r/min，徑向切深3 mm，軸向切深5 mm，進給速度480 mm/min，直線銑削，用于辨識切削力系數(shù)與刀具偏心跳動參數(shù)。

試驗2:主軸轉(zhuǎn)速3000 r/min，徑向切深3 mm，軸向切深2 mm，進給速度360 mm/min，變曲率銑削，用于驗證銑削力模型的有效性。工件目標輪廓如圖2 所示。曲線段為三次貝塞爾曲線，方程為

利用試驗1 的實測銑削力和文獻［7］提出的方法辨識切削力系數(shù)及刀具偏心跳動參數(shù)，結(jié)果為

圖3 是試驗2 的預測銑削力與實測銑削力(ox 方向)，對比發(fā)現(xiàn)，二者變化趨勢和幅值均具有良好的一致性，說明建立的銑削力模型是有效的，能夠精確預測瞬時銑削力。

3 曲率對銑削力的影響分析

為便于分析刀具中心軌跡曲線的曲率變化對工藝幾何參數(shù)和銑削力的影響，忽略刀具偏心跳動，以刀具中心軌跡曲線的參數(shù)(表示刀具中心位置)作為橫坐標，對試驗2 加工過程中的切入角、切出角、最大未變形切屑厚度、進給方向銑削力和法向銑削力進行仿真，結(jié)果如圖4 所示。由仿真結(jié)果可得出以下結(jié)論:

(1)曲率對切入角、最大未變形切屑厚度、銑削力均具有明顯的影響，且凹曲面銑削的影響均較凸曲面銑削更加顯著。

(2)切入角、最大未變形切屑厚度的極值點對應的刀具中心軌跡曲線參數(shù)均小于最大曲率對應的刀具中心軌跡曲線參數(shù)，相對于曲率具有一定的“超前”，這是由刀具半徑引起的，刀具半徑越大，超前越顯著。

(3)切出角受刀具中心軌跡曲線曲率的影響很小，近似為π;凹曲面銑削的切入角小于直線銑削時的切入角，且隨刀具中心軌跡曲線曲率增大而減小。因此，凹曲面銑削的切角區(qū)間(切出角與切入角的差值，表示刀-屑切觸范圍大小)隨曲率增大而增大;凸曲面銑削的切入角大于直線銑削時的切入角，且隨曲率增大而增大，切角區(qū)間隨曲率增大而減小。

(4)凹曲面銑削引起最大未變形切屑厚度增大，且隨曲率增大而增大;凸曲面銑削時結(jié)論完全相反。

(5)凹曲面銑削時，進給方向銑削力和法向銑削力的峰值均隨曲率增大而增大，凸曲面銑削時二者峰值隨曲率增大而減小。由于銑削力的幅值主要受未變形切屑厚度影響，峰值極值點(圖4d 中“A”、“B”區(qū))與最大未變形切屑厚度的極值點發(fā)生在同一位置。法向銑削力峰值比進給方向銑削力峰值受曲率影響更加顯著。

(6)進給方向銑削力和法向銑削力的谷值(圖中“C”區(qū))在凹曲面最大曲率附近發(fā)生明顯變化，進給方向銑削力比法向銑削力變化更加顯著，這主要由切入角變化引起，其極值點與最小切入角發(fā)生在同一位置。如圖5 所示，在徑向切深較小時，如果始終保持單齒銑削，即使曲率變化引起切角區(qū)間增大，銑削力谷值也不變化。只有出現(xiàn)多齒同時參與銑削，銑削力谷值才會出現(xiàn)變化。這一點對銑削參數(shù)優(yōu)化和穩(wěn)定性預測具有重要意義。

刀具偏心跳動對銑削力的影響規(guī)律與直線銑削時類似，本文不再贅述。

4 結(jié)語

變曲率曲面銑削中，當曲率變化較大時極有可能造成銑削力的超值突變，引起切削顫振，從而影響產(chǎn)品加工質(zhì)量和加工效率，降低刀具壽命。本文基于直線插補給出了刀具位置角、進給方向角及加工時間的確定方法;采用坐標變換法推導出包含刀具偏心跳動的未變形切屑厚度新算式，提出包含工件邊界的切入角與切出角計算方法，從而構建出變曲率銑削全過程的銑削力模型。利用本文提出的瞬時銑削力模型以及辨識出的瞬時切削力系數(shù)對銑削力進行預測，預測結(jié)果與試驗結(jié)果具有良好的一致性，證明了該方法的有效性，并進一步分析揭示了曲率對銑削力的影響規(guī)律，為變曲率銑削穩(wěn)定性研究提供了理論基礎。

［1］L Zhang，L Zheng，Z H Zhang，et al. On cutting forces in peripheral milling of curved surfaces［J］. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part B:Journal of Engineering Manufacture，2002，216(10):1385 -1398.

［2］V S Rao，P V M Rao. Effect of workpiece curvature on cutting forces and surface error in peripheral milling［J］.Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part B:Journal of Engineering Manufacture，2006，220(9):1399 -1407.

［3］浦金鵬，莊海軍.基于曲率的圓周銑削銑削力建模［J］.機械工程與自動化，2009(4):120 -122.

［4］王小純，胡映寧，蘇家強.小直徑銑刀銑削力與刀位路徑曲率關系的研究［J］.機械設計與制造，2008(10):205 -207.

［5］K A Desai，P K Agarwal，P V M Rao. Process geometry modeling with cutter runout for milling of curved surface［J］. International Journal of Machine Tools and Manufacture，2009，49(12 -13):1015 -1028.

［6］Y Yang，W H Zhang，M Wan. Effect of cutter runout on process geometry and force in peripheral milling of curved surfaces with variable curvature［J］. International Journal of Machine Tools and Manufacture，2011，54(5):420 -427.

［7］王保升.瞬時銑削力模型參數(shù)辨識及其試驗研究［D］.鎮(zhèn)江:江蘇大學，2011.