6174猜想

葉子

1955年，卡普耶卡（D.R.Kaprekar）研究了對四位數的一種變換：任給出四位數k0，用它的四個數字由大到小重新排列成一個四位數m，再減去它的反序數rev（m），得出數k1=m-rev（m），然后，繼續對k1重復上述變換，得數k2。如此進行下去，卡普耶卡發現，無論k0是多大的四位數。

只要四個數字不全相同，最多進行7次上述變換，就會出現四位數6174。

例如：

k0=5298，k1=9852-2589=7263，

k2=7632-2367=5265，

k3=6552-2556=3996，

k4=9963-3699=6264，

k5=6642-2466=4176，

k6=7641-1467=6174。

后來，這個問題就流傳下來，人們稱這個問題為“6174問題”，上述變換稱為卡普耶卡變換，簡稱 K 變換。

一般地，只要在0，1，2，…，9中任取4個不全相等的數字組成一個整數k0（不一定是四位數），然后從k0開始不斷地作K變換，得出數k1，k2，k3，…，則必有某個m（m≤7），使得km=6174。

更一般地，從0，1，2，…，9中任取n個不全相同的數字組成一個十進制數k0（不一定是n位數），然后，從k0開始不斷地做K變換，得出k1，k2，…，那么結果會是怎樣的呢？現在已經知道的是：

n=2，只能形成一個循環：（27，45，09，81，63）。例如取兩個數字7與3，連續不斷地做K變換，得出：36，27，45，09，81，27，…出現循環。

n=3，只能形成一個循環：（495）。

n=4，只能形成一個循環：（6174）。

n=5，已經發現三個循環：

（53855，59994），

（62964，71973，83952，74943），

（63954，61974，82962，75933）。

n=6，已經發現三個循環：

（642654，…），（631764，…），（549945，…）。

n=7，已經發現一個循環：（8719722，…）。

n=8，已經發現四個循環：

（63317664），（97508421），（83208762，…），

（86308632，…）

n=9，已經發現三個循環：

（864197532），（975296421，…），（965296431，…）

容易證明，對于任何自然數n≥2，連續做K變換必定要形成循環。這是因為由n個數字組成的數只有有限個的緣故。但是對于n≥5，循環的個數以及循環的長度（指每個循環中所包含數的個數）尚不清楚，這也是國內一些數學愛好者熱衷于研究的一個課題。