淺談數形結合思想在初等數學中的應用

張曉鵬

一、數形結合方法概說

所謂數形結合方法，就是在研究數學問題時，由數思形、以形思數、數形結合考慮問題的一種思想方法。

數學研究的是現實世界的數量關系和空間形式，只是為了方便，人們才分別將數量關系和空間形式從現實世界中單獨抽取出來進行研究，因而形成了代數與幾何。但是，現實世界本身是同時兼備數與形兩種屬性的，當數學發展到一定階段時必然要將數形結合起來，充分地運用數形結合、數形轉化的方法來解決各種數學問題，解析幾何就是數形結合的典范。運用數形結合方法研究數學問題，對于溝通代數、三角與幾何的聯系，具有重要指導意義。理解并掌握數形結合方法，有助于增強學生的數學素養，提高分析問題和解決問題的能力。

數形結合是培養和發展學生的空間觀念和數感，進行形象思維與抽象思維的交叉運用，使多種思維互相促進，和諧發展的主要形式;數形結合教學又有助于培養學生靈活運用知識的能力。

從初中學習數軸開始，我們就建立起了有理數與數軸上點的對應關系。這可以算是數與形結合的開端。即而，學習實數之后，把這種對應轉變為實數與數軸上點的一一對應。因而數形結合通常是與數軸、平面直角坐標系相聯系的。新一輪課程改革中的數學課程，其基本出發點是促進學生全面、和諧、持續的發展，它要求學生通過學習數學知識、技能和方法，逐漸形成自己的數學思想和方法，讓學生學會用數學的眼光看待生活中的人和事物，學會用數學的方法解決生活中的實際問題。

數形結合是數學解題中常用的思想方法，使用數形結合的方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷。所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解 決數學問題的一種重要思想方法。數形結合思想通過“以形助數，以數解形”，使復雜問題 簡單化，抽象問題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，它是數 學的規律性與靈活性的有機結合。 這種思想方法體現在解題中，就是指在處理數學問題時，能夠將抽象的數學語言與直觀 的幾何圖象有機結合起來思索，促使抽象思維和形象思維的和諧復合，通過對規范圖形或示 意圖形的觀察分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得到簡捷解決。

二、數與形的內在聯系

數學的研究對象大致可以分為兩類：一類是研究數量關系的;一類是研究空間形式的。整個數學，不論初等數學還是高等數學，都是以形和數作為研究對象的。數和形是數學的兩個基本概念的提煉、演變、發展而逐步展開的。

三、數形結合思想方法在初等數學中的重要性

“數形結合”作為數學中的一“數”與“形”作為數學中最古老最重要的兩個方面，一直就是一對矛盾體。正如矛和盾總是同時存在一樣，有“數”必有“形”，有“形”必有“數”。華羅庚先生曾說過：“數與形本是相倚依，怎能分作兩邊飛，數缺形時少直覺，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離！”寥寥數語，把數形之妙說得淋漓盡致。

數形結合這種重要思想，在高中數學中占有極其重要的地位。關于這一點，查查近年高考試卷，就可見一斑。在多年來的高考題中，數形結合應用廣泛，大多是“以形助數”，比較常見的是在解方程和不等式、求函數的最值問題、求復數和三角函數等問題中，巧妙運用“數形結合”思想解題，可以化抽象為具體，效果事半功倍。

四、數形結合方法的具體應用

縱觀多年的高考試題，巧妙運用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題，可起到事半功倍的效果，數形結合的重點是研究“以形助數”。數形結合思想方法應用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數的值域、最值問題中，在求復數和三角函數問題中，運用數形結合思想，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優越，要注意培養這種思想意識。

五、數形結合思維總結

數形結合的思想方法應用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數的值域，最值問題中，在求復數和三角函數問題中，運用數形結合思想，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優越，要注意培養這種思想意識，要爭取胸中有圖，見數想圖，以開拓自己的思維視野。數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題 與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代 數特征，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義;第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數思形，以形想數，做好數形轉化;第三是正確確定參數的取值范圍。