巧用幾何畫板，突破認知難關

甘永林

【摘要】立體幾何是高中數學里非常重要的一個板塊，它對于學生鍛煉空間思維和想象能力有很大作用。但是學生在剛開始接觸立體幾何時，卻很難下手，很難想象出具體畫面。在這個時候，教師如果能夠合理地利用幾何畫板來進行輔助教學，會達到事半功倍的效果，對于學生空間想象能力的培養也會起到立竿見影的效果。

【關鍵詞】立體幾何 幾何畫板 輔助教學 空間想象

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）10-0125-02

一、實際背景

立體幾何是高中數學的必修課，在課本中占有很大的篇幅，可見其重要性。從短期來看，立體幾何在高考分數中占有很大的比重，學好立體幾何，能使學生在高考中取得更好的成績；從長期來看，學好立體幾何，能夠培養學生的空間想象能力，對于他們空間思維的鍛煉也是很有好處的。

現在的學生雖然物質生活更加優越，但是缺乏動手的機會，空間感知能力較弱；另外，立體幾何又來源于生活，抽象于生活，空間幾何體千變萬化，教師很難擁有那么豐富的教學模型。如果上課在黑板作圖，一方面效果難以達到，再者也給老師帶來很多不便，同時也得不到課堂的有效性。

幾何畫板可以輕松解決這些問題，利用幾何畫板，可以直觀的給學生演示各種空間幾何體，有效的提高課堂效率。

二、具體應用舉例

下面，從幾個方面來舉例說明利用幾何畫板的優越性。

1.利用幾何畫板來探究空間幾何體的結構特征

在人教版高中教材必修2第1章中，需要研究棱柱的結構特征，這時不妨用幾何畫板展示幾個棱柱（圖1.1）

圖1.1

通過這幾個圖，學生就能比較容易的得到幾個圖的共性，也即是棱柱的結構特征。

另外，在這部分內容里，有些問題比較難以理解，學生根據棱柱的概念不好判斷對錯。

例1：有一個面是多邊形，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱嗎？[1]

分析：這個問題的答案是不一定。對于這個問題，只需要給學生舉出一個反例即可（圖1.2）

解：

2.利用幾何畫板來探究空間幾何體的表面積和體積

例2：在四面體ABCD中，AB=CD=■，BC=AD=2■，BD=AC=5，求四面體ABCD的體積。

分析：很多學生看到這個題就會按照平時的思路，畫出一個四面體（圖2.1）。

畫完之后就難以下手，不知該怎么做，原因是學生沒有認識到四面體棱之間的關系。從題目中我們可以發現，四面體兩兩不相交的棱棱長相等。所以可以引導學生將四面體看成是一個長方體的一部分，而四面體的棱長則是長方體各面的對角線。說到這里還是有些抽象，可以利用幾何畫板展示給學生（圖2.2）。

解：以四面體的各棱為對角線還原為長方體，如圖2.2。

設長方體的長、寬、高分別為x、y、z，

則x■+y■=13，y■+z■=20，x■+z■=25，，∴x=3y=2z=4

∵VD-ABE=■DE·S△ABE=■V長方體，

同理VC-ABF=VD-ACG=VD-BCH=■V長方體，

∴V四面體ABCD=V長方體-4×■V長方體=■V長方體，

而V長方體=2×3×4=24，

∴V四面體ABCD=8

例3：已知正三棱臺的上底面邊長為2，下底面邊長為4，高為■，則正三棱柱的側面積S1與底面積之和S2的大小關系為（ ）

A. S1>S2 B.S1

分析：這個題目階梯的關鍵是能夠畫出正三棱臺的直觀圖，通過圖形來解答就較為直觀，故可以利用幾何畫板畫出一個正三棱臺的直觀圖（圖2.3），讓學生直觀感受。

解：斜高DE=■

=■=■

S1=■（c+c1）·DE=9■，S2=■×22+■×42=5■，∴S1>S2，選A。

3.利用幾何畫板探究球的體積和表面積

例4.（2012.新課標全國）平面α截球O的球面多的圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為■，則此球的體積為（ ）

A.■π B.4■π C.4■π D.6■π

分析：利用幾何畫板畫出直觀圖（圖3.1），再畫出截面圖（圖3.2）會對求解有很大幫助。

圖3.1 圖3.2

解：如圖，設截面圖的圓心為O1，M為截面圓上任一點，則

OO1=■，O1M=1

∴OM=■=■，即球的半徑為■

V=■π（■）3=4■π，選B

例5.已知一個表面積為24的正方體，設有一個與每條棱都相切的球，則此球的體積為（ ）

A.■π B.4■π C. ■■π D.■■π

分析：利用幾何畫板畫出該組合圖的直觀圖（圖3.3），再畫出軸截面圖（圖3.4），即可求解。

圖3.3 圖3.4

解：設正方體的棱長為a，則6a2=24，解得a=2，又球與正方體的每條棱都相切，則正方體的面對角線長2■等于球的直徑，則球的半徑為■，則此球的體積為■π（■）3=■π，選D。

三、實際效果測評

在利用幾何畫板進行輔助教學一段時間后，學生對于立體幾何，空間圖形的想象能力有了很大的提高，能夠獨立自主地畫出常見空間幾何體的直觀圖，能夠對常規題型進行求解，空間思維得到有效地鍛煉。并且，對學生進行了問卷調查，其調查結果如圖4.1所示：

圖4.1

從調查結果可以看出，利用幾何畫板進行輔助教學，是學生認可并喜歡的一種教學方式，能夠有效的幫助學生認識空間幾何體，培養空間思維能力，鍛煉空間想象能力。

參考文獻：

[1]王朝銀.創新設計.西安：陜西人民出版社，2009-02