三角函數(shù)最值問(wèn)題的常見(jiàn)類型

黃發(fā)龍

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）10-0155-02

有關(guān)三角函數(shù)值域的問(wèn)題一直以來(lái)都是學(xué)業(yè)水平測(cè)試和高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)。解決這一類問(wèn)題的基本途徑，同求解其他函數(shù)最值一樣，一方面應(yīng)充分利用三角函數(shù)自身的特殊性（如有界性等），另一方面還要注意將求解三角函數(shù)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一些我們所熟知的函數(shù)（二次函數(shù)等）最值問(wèn)題。下面就介紹幾種常見(jiàn)的求三角函數(shù)最值的方法：

類型一：y=asinx+bcosx+c型的函數(shù)

特點(diǎn)是含有正余弦函數(shù)，并且是一次式。解決此類問(wèn)題的指導(dǎo)思想是把正、余弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為只有一種三角函數(shù)。可設(shè)cosφ=■，sinφ=■逆用和角公式化為：一次函數(shù)型y= ■ sin（x+φ）+c，其中tanφ=■ 。

例1.求函數(shù)f（x） =sinx+■cosx在R上的最大值。

解：∵ f（x）=sinx+■cosx=2（sinx·■+cosx·■）=2（sinx· cos■+cosx·sin■）=2sin（x+■）

∴當(dāng)sin（x+■）=1時(shí)，f（x）最大值是2。

類型二：y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x+d型的函數(shù)

特點(diǎn)是含有sinx，cosx的二次式，處理方式是先逆用二倍角公式降冪，再化歸為類型一的形式來(lái)解。

例2.求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值時(shí)的x的集合。

解：∵y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=（sin2x+cos2x）+sin2x+2cos2x

=1+sin2x+1+cos2x=2+■sin（2x+■）

∴當(dāng)sin（2x+■）=-1時(shí)，y取最小值2-■，此時(shí)x的集合{x|x=kπ-■， k∈Z}。

類型三：y=asin2x+bcosx+c型的函數(shù)

特點(diǎn)是含有sinx，cosx并且其中一個(gè)是二次，處理方式是應(yīng)用sin2x+cos2x=1，使函數(shù)式只含有一種三角函數(shù)，再利用換元化歸為一元二次函數(shù)在區(qū)間上的值域問(wèn)題，注意定義域?qū)χ涤虻南拗啤?/p>

例3.求函數(shù)y=-3cos2x-4sinx+2，x∈■，■的值域。

解：∵y=-3cos2x-4sinx+2=3sin2x-4sinx-1=3（sinx-■）2-■

令sinx=t，由x∈■，■，得t∈■，1∴y=3（t-■）2-■，t∈■，1

∴當(dāng)t=■時(shí)，ymin=-■；當(dāng)t=1時(shí)，ymax=-2故函數(shù)的值域?yàn)?■，-2。

類型四：含有sinx與cosx的和與積型的函數(shù)式

特點(diǎn)是含有或經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)整理后出現(xiàn)sinx+cosx與sinxcosx的式子，處理方式是應(yīng)用（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成二次函數(shù)的問(wèn)題。

例4.求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。

解：令sinx+cosx=t（-■≤t≤■），則1+2sinxcosx=t2，所以2sinxcosx=t2-1，故y=t2-1+t=（t+■）2-■根據(jù)二次函數(shù)的圖像，解出y的最大值是1+■。

類型五：y=■或y=■型的函數(shù)

特點(diǎn)是一個(gè)分式，分子、分母分別含有正弦或余弦的一次式，或分子、分母分別含有正弦、余弦的一次式。 處理方式①是將分式化為整式，再變成類型一利用有界性求解。②是利用幾何意義（斜率公式）求解。

例5.求函數(shù)y=■的最大值和最小值。

解法1：原解析式即：sinx-ycosx=2-2y， 即sin（x+φ）=■，∵|sin（x+φ）≤1|，∴■≤1，解出■≤y≤■。

解法2：■表示的是過(guò)點(diǎn)（2， 2）與點(diǎn)（cosx， sinx）的斜率，而點(diǎn)（cosx， sinx）是單位圓上的點(diǎn)，觀察圖1可以得出在直線與圓相切時(shí)取極值，解出■≤y≤■。

類型六：sinx+■型函數(shù)

特點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)加該實(shí)數(shù)的倒數(shù)，處理方式①是利用均值不等式（注意等號(hào)成立條件）求解。 ②是利用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性求解。

例6.已知x∈（0，π），求函數(shù)y=sinx+■的最小值。

解：∵sinx=■，∴sinx2=2不成立。故不能用均值不等式求最值，適合用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性來(lái)求解。令sinx=t，（0

相信通過(guò)這一歸納整理，知道解決這類問(wèn)題不僅要用到三角函數(shù)的定義域和值域、單調(diào)性、圖像以及三角函數(shù)的恒等變形，還常常涉及到函數(shù)、不等式、方程以及幾何計(jì)算等眾多知識(shí)，概念性強(qiáng)，具有一定的綜合性和靈活性。掌握這幾種類型后，常見(jiàn)的三角函數(shù)最值問(wèn)題都可以迎刃而解。