連續體結構拓撲優化方法及存在問題分析

母德強 范以撒

摘 要：文章深入分析國內外連續體結構拓撲優化的研究現狀，介紹了拓撲優化方法的發展及實現過程中存在的問題。對比分析了均勻化方法，漸進結構優化法，變密度法的優缺點。研究了連續體結構拓撲優化過程中產生數值不穩定現象的原因，重點討論了灰度單元，棋盤格式，網格依賴性的數值不穩定現象，并針對每一種數值不穩定現象提出了相應的解決辦法。

關鍵詞：連續體，拓撲優化，均勻化法，漸進結構優化法，數值不穩定

0 引言

結構拓撲優化設計的主要對象是連續體結構，1981年程耿東和Olhof在研究中指出：為了得到實心彈性薄板材料分布的全局最優解，必須擴大設計空間，得到由無限細肋增強的板設計[1]。此研究被認為是近現代連續體結構拓撲優化的先驅。

目前，國內外學者對結構拓撲優化問題進行了大量研究[2]，這些研究大多數建立在有限元法結構分析的基礎上，但由于有限元法中單元網格的存在，結構拓撲優化過程中常常出現如灰度單元，網格依賴性和棋盤格等數值不穩定的現象[3]。本文介紹了幾種連續體結構拓撲優化方法及每種方法存在的問題，并提出了相應的解決辦法。

1.拓撲優化方法

連續體結構拓撲優化開始于1988年Bendoe和Kikuchi提出的均勻化方法，此后許多學者相繼提出了漸進結構優化方法、變密度法等拓撲優化數學建模方法。

1.1.均勻化方法

均勻化方法即在設計區域內構造周期性分布的微結構，這些微結構是由同一種各向同性材料實體和孔洞復合而成。采用有限元方法進行分析，在每個單元內構造不同尺寸的微結構，微結構的尺寸和方向為拓撲優化設計變量。1988年Bendsoe研究發現 [4]，通過在結構中引入具有空洞微結構的材料模型，將困難的拓撲設計問題轉換為相對簡單的材料微結構尺寸優化問題。

很多學者發展了均勻化方法，Suzhk進行了基于均勻化方法結構形狀和拓撲優化協同設計[5]。Hassani等全面系統的總結了基于均勻化理論的拓撲優化理論和算法[6]。該方法的優點：數學理論嚴謹，在理解拓撲優化的理論框架方面有重要的意義。缺點：（1）均勻化彈性張量的求解操作繁瑣，內部微結構的形狀和方向難以確定。（2）計算結果容易產生棋盤格和多孔材料等數值不穩定性問題，可制造性差[7]。

1.2.漸進結構優化法

漸進結構優化的設計理論與方法，是由謝億民于1993年提出的，主要用于連續體結構拓撲優化設計問題。ESO方法通過逐漸將無效或低效的材料刪除，實現連續體結構拓撲優化，避免了多變量數學規劃求解問題。ESO方法中主要有三種方法刪除無效或低效單元。

近年來ESO由于突出的優點而得到迅速的發展，同時存在的問題也不容忽視。主要優點有：不僅可以解決各類結構的尺寸優化，還可以實現形狀和拓撲優化；拓撲形式清晰，迭代過程在計算機上實現，可以對有限元分析結果進行后處理近似得到靈敏度值，且在優化過程中避免二次劃分網格問題。缺點是：迭代次數較多，計算效率較低，且通用性、數值穩定性差。

1.3.變密度法。

密度法是人為假定單元的密度和材料物理屬性之間的某種對應關系，以連續變量的密度函數形式表達這種對應關系。變密度法是基于各向同性材料，以每個單元的相對密度作為設計變量，將結構拓撲優化問題轉化為材料最優分布設計問題，應用優化準則法或數學規化方法來求解材料最優分布設計。

1999年Sigrnund等證實了該方法物理意義的存在性。變密度法主要優點有：設計變量少；程序實現簡單；以結構重量為目標，不存在多目標問題。不足有：（1）優化過程中存在相對密度在[0，1]之間單元。對于中間密度的單元，是否刪除就變得難以抉擇；（2）以柔度最小為優化目標，在解決含有強度和剛度約束的優化問題時不夠方便。

2.拓撲優化中數值不穩定現象及其解決方法

2.1.灰度單元

灰度單元是在優化結構中大量存在密度介于0-l之間的單元，導致優化結果難以確切的給出拓撲構型，從而使優化結果難以在工程實際中應用。存在灰度單元的根本原因是連續模型同原離散模型的逼近問題，灰度單元主要存在于SIMP等變密度法中，兩種主要解決辦法：（1）加大SIMP模型中的懲罰因子，隨著懲罰因子的增大，使設計變量的值越來越接近于拓撲優化特征函數期望的值。（2）濾波半徑過大會產生灰度單元，合理確定濾波半徑的值，可以抑制灰度單元的生成。

2.2.棋盤格式

棋盤格式是指結構優化過程中單元材質密度周期性高低分布，拓撲呈現為黑白相間，如同棋盤。Bendsoe認為，棋盤格式的出現與優化問題解的存在性以及有限元近似的收斂性密切相關，是連續問題的解以弱收斂方式逼近原離散問題的真實解時出現的一種現象。為了獲得清晰的圖形，一些解決的方法如：（1）靈敏度過濾技術（2）采用較為穩定的有限元模式，改變優化目標函數的泛函，使優化過程趨于順暢。（3）Kikuchi等提出 使用“超參元”，可以在一定程度上抑制棋盤格。

2.3.網格依賴性

網格依賴性是指拓撲優化計算結果與計算區域的網格密度有關，選擇不同的網格密度，可能會產生不同的優化結果，且隨著網格的剖分密度增加，優化結果的幾何復雜性增加，幾何尺寸逐步減小。網格依賴性使得計算結果的可制造性下降。

3.總結

文章對拓撲優化的方法、優化時存在的問題及解決問題辦法進行了分析。通過分析可知拓撲優化設計的理論和技術需要進一步的發展。在應用研究中不斷拓展和延伸優化研究的廣度和深度，將是拓撲優化研究工作的必然發展方向。

參考文獻：

[1]Cheng K T， Olhoff N. An investigation concerning optimal design of solid elastic plates [J]. International Journal of Solids and structures， 1981， 17（3）： 305-323.

[2]郭中澤， 張衛紅， 陳裕澤. 結構拓撲優化設計綜述[J]. 機械設計， 2007， 24（8）： 1-6.

[3]Bendsoe M P， Sigmund O. Topology Optimization： Theory， methods， and applications [M]. New York： Springer， 2003.